class No. Name 解答 No-1 ☆公式・Point ◎ P1．変化量とグラフの関係 次の空白を埋めて問題に答えよ。 時間と共にあらゆるものが変化をするので最もよく出てくる変化は時刻の変化 である時間でこれを と表すが単にｔと表すこともある。 変化量（Δ＝ － ）として V= a= ア）位置を S[m], 時刻を t[s] とする。運動 A,B について速さ V と加速度 a を表 す式と単位を示せ。また、その意味を理解するために V －ｔ、a －ｔ平面での 運動を図示せよ。 A t S B イ） 次の V-t グラフを S-t、a-t になおせ。すべて原点から出発しているとする。 t 1)V t 3)V t 2)V t 4)V Δｔ 終わりの値 はじめの値 Δ S/ Δｔ ΔＶ / Δｔ ア）A：等速直線運動 S=vt イ）B: 等加速度運動 S=1/2・at² 1)S 1)a 2)S 3)S 3)a 2)a t 4)S t 4)a ア） Ｖ [m/s] t t a[m/s２] B A B A イ） S-t の傾きが V V-t の傾きが a V が０なら S の接線は平行
class No. Name 解答 No-2 ☆公式・Point ☆ M1．微分 ア）f(x)、f(x+ Δ x) を極限記号を用いて微分の定義を表せ。 イ） 微分はグラフでいうとどういうことに対応しているか。 ウ） 時間で微分することを頭に・で表す。位置をｘとして 速度、加速度を微分記号で表せ。 エ） ｙ＝ｘｎをｘで微分せよ。 M2． 微分の意味 S= ３ｔ２＋２ｔ＋３で運動する物体について答えよ。 ア） この運動はどういう運動をしているか。 イ） S をｔで微分して V の式を求めよ。 ウ） ｔ＝２～ｔ＝４までの平均の速さを求めよ。 エ）ｔ＝２での瞬間の速さを求めよ。 オ） ｔ＝２での S-t グラフの接線の傾きを求めよ。 ☆ M3．微分 次をｔで微分し、V を求めよ。さらに微分し、a を求めよ ア） S= ２ｔ２ イ）S ＝５ｔ３＋２ｔ２ ウ） ｘ＝ｔ３－２ｔ２＋３ エ）ｘ＝ Cos（ｔ） ｔはラジアン単位 オ） ｙ＝ Sin（ｔ） ｔはラジアン単位 ◎ P1． 速度、加速度 水平方向にｘ軸をとり、この x 軸上の運動を記述したい。 ア）物体の運動を記述する、最低限の要素を記号と単位をつけて示せ。 イ）物体の位置ベクトルをｘとした時、速度と加速度をｘで表せ。 ただし、変化量をΔとし、ｘ・をｘのｔによる微分とし、ｘドットと読む。 M1 定義 ア）f (x) = df (x) dx = lim∆x→0 f (x + ∆x)− f(x) ∆x イ） 接線の傾き （これが微分する意味） ウ）微分の意味はイメージとしても理論としてしっかり理解する。 しかし結果としては位置を時間で 1 回微分すれば速度、2 回微分すれば加 速度になる。以下は物理学の基礎式（スタートの式になる） v =∆x ∆t →∆t→0v = dx dt, a = ∆v ∆t →∆t→0a = dv dt = d2x dt2 直線の傾きを接線の傾きに変えていく操作が微分になる。 エ） ｙ ’ ＝ｎｘn －１ ダッシュ ’ はｘで微分するという意味 M2 微分の意味 ア） S 位置がｔ時間の 2 次関数だから等加速度運動である。 イ） V= ６ｔ＋２ ウ） S[4] ＝ 59、S[2] ＝ 19 だから V=（５９－１９）/ ２＝２０ エ）イの結果にｔ＝２を代入して１４ オ） １４ M3 微分 次をｔで微分し、V を求めよ。さらに微分し、a を求めよ ア） V ＝４ｔ a ＝４ イ）V= １５ｔ２＋４ｔ a ＝３０ｔ＋４ ウ） ｘ・ = ３ｔ２ー４ｔ ｘ・・＝６ｔ－４ ｘ・は速さｘ・・は加速度 エ）ｘ・＝－ Sin（ｔ） ｘ・・＝－ Cos（ｔ） オ） ｙ・＝ Cos（ｔ） ｙ・・＝－ Sin（ｔ） ＊エ、オから三角関数はｘ＝－ｘ・・ ｙ＝－ｙ・・の関係があることがわかる 時間の微分・・・dy/dt ＝ｙ・ （ｙドットと読む） 空間の微分・・・dy/dx ＝ｙ ’（ｙダッシュと読む） P1 ア）位置ベクトルｘ [m] と速度ベクトル V[m/s] イ）速度 V ＝Δｘ / Δｔ、＝ｘ・ ただし、Δｔ→０の極限をとる。 ウ）加速度 a=V・＝Δ V/ Δｔ＝ｘ・・ ただし、Δｔ→０の極限をとる。
class No. Name 解答 No-3 ☆公式・Point M2．変化量 ア）次の空白を埋め、問題に答えよ。 平面上をある物体がＡ点 (Ax,Ay) からＢ点 (Bx,By) に移動した。 変位（ベクトル）を図示し、その大きさを求めよ。 またＡＢ間に移動した距離を求めることを考えよ。 Ｂ Ａ イ）速さＶ，位置Ｓの変化量を記号Δで表せ、これはベクトルか スカラーか？ M1．平均変化率 次の空白を埋め、問題に答えよ。 ある値 X が変化した時、終りの値から始めの値を引いた値を といい、 で表す。さらにｘの関数で f(x) が与えられてい ればｘが変化すれば f(x) も変化する。この変化の割合は で表すことができ、これを という。 ア）図のようにｙ＝ f(x) ＝ｘ２の場合 ｘが２から４まで変化した時の ｙ Δｘ、Δｙと平均変化率を求めよ。 イ）同様にｘが１から４までの平均変化率を 求めよ。 ウ）ｙ軸が距離 S, ｘ軸が時間ｔに置き換える ｘ と平均変化率は何を表しているか。 エ）ウの平均変化率が一定な運動を何というか。 オ） エの運動はどんな関数のグラフになるか。 M2．変化量 変位を出すのは単純に始めの点から終わりの点に向かって矢印をひけば いい。その大きさは三平方の定理に従って計算する。 大きさは絶対値記号をつけて |∆AB| = (Bx− Ax)2+ (By− Ay)2 ただし、この大きさはＡＢ間に移動した距離を表すわけではない、実際 の道のりはこの長さより大きい。ではその道のりをどうしたら出せるか。 それにはＡＢ間を細分し、その後で 足し合わせる方法をとる。これは後の 積分のところで紹介する。 ＊変化量は左にΔ（デルタ）をつけて表す。例えば速さの変化はΔＶ イ）ΔＶ，ΔＳ共にベクトルである。 変位ΔＡＢ M1．平均変化率 順に変化量、Δｘ、Δｆ / Δｘ、平均変化率 ア）Δｘ＝４－２＝２、Δｙ＝４２－２２＝１２ 平均変化率＝Δｙ / Δｘ＝６ イ）Δｘ＝４－１＝３ Δｙ＝４２－１２＝１５ 平均変化率＝Δｙ / Δｘ＝５ ウ） ΔＳ / Δｔ＝Ｖ つまり速さである。 エ） 等速直線運動 オ） どこでも傾きが一定だからＳはｔの１次関数である。
class No. Name 解答 No-4 ☆公式・Point M1 関数とグラフ S －ｔグラフ 縦軸を S（距離）、横軸をｔ（時間）のグラフを S-t グラフという。 このグラフで S=2t ＋５を図示し、次に答えよ。 １．このグラフの傾きを求めよ。また何を表しているか。 ２．このグラフで表される運動を何というか。 ３．この運動に力が働いているか。 ４．ｔ＝２からｔ＝４までに運動した距離を求めよ。 また、 ｔ＝２からｔ＝４までの平均の速さとｔ＝２での瞬間の速さを求めよ。 M2 関数とグラフ 接線 ある運動が S= ３t２＋２となった。S-t グラフを図示し、次に答えよ。 １．この運動を何というか。また、運動に力が働いているか。 ２．ｔ＝２からｔ＝４までに運動した距離を求めよ。 また、 ｔ＝２からｔ＝４までの平均の速さとｔ＝２での瞬間の速さを求めよ。 M1 関数とグラフ １．傾きは２これはΔ S/ Δｔだから速さを表し ている。 ２．傾きが一定、つまり速さが一定なので等速運 動である。 ３．グラフが直線なので普通力は働いていいない。 しかし等速円運動のように速さが一定でも向きが変化すると力は働く。 ４．ｔ＝２で S= ９，T=4 で S= １３だから求める距離はΔ S= ４ 平均の速さはこれを経過時間Δｔ＝２で割ればよい。よって V= ２ 当然これはグラフの傾きに等しい。また瞬間の速さもｔ＝２でもどこで も一定で２である。 ２ ４ ｔ S ９ 13 1 2 3 4 5 6 20 40 60 80 100 ｔ S M2 １．傾きが一定の割合で増えてい るから等加速運動である。グラフ が t の 2 次なら等加速 ２． ｔ＝２で S=14、T=4 で S=50 よってΔ S ＝ 50-14 ＝ 36 Δｔ＝２だから よって平均の速さｖ＝⊿ S/ ⊿ｔ＝１８ 瞬間の速さは接線の傾きを求 めることになる。計算上ではΔｔを利用し、次のようにおこなう。 ｔ＝２での S1 ＝１４だったからｔ＝２＋Δｔでの距離 S2 とすると S2= ３( ２＋Δｔ）２＋２＝１４＋ 12 Δｔ＋３Δｔ２だから Δ S=S2-S1 ＝ 12 Δ t+3 Δｔ２となる。よってΔ S/ Δｔ＝ 12+3 Δｔ① を得る。ｔ＝２での速さはΔｔ→０と考えることができるから①におい て後ろの項が落ち、瞬間の速さは 12 となる。
class No. Name 解答 No-5 ☆公式・Point M1 関数とグラフ 変化率 先の運動を一般化し、S=at２＋ b について次にこたえよ。 ただし、速さｖ＝Δ S/ Δｔとし、加速度 a ＝Δｖ / Δｔで定義する。 １．この運動の変化の割合が一定であることを示せ。 ２．この運動のある時刻ｔでの速さｖ (t) を求めよ。 ３．この運動のｖ－ｔグラフを描き、時刻が０からｔまでのグラフと t 軸で囲まれた面積を求めよ。また、はじめの位置をｂとして時刻 が０からｔまでに移動した距離を求めよ。 Δｔ ｔ V 2at M2 関数とグラフ 面積 先の問題３のｖ－ｔグラフを見て次にこたえよ。 ４．もう少し詳しくこの様子を理解しておこう。小さくしたΔｔを少々 大きくし、その間を一定の速さ、（傾きは水平）とみなす。するとこ のｔからΔｔの間に進んだ距離を求めよ。 ５．この長方形を i 番目とし、他の長方形も全部足せば全体の距離 が出る。ただし、たくさんの長方形をつくらないと誤差が多い。 そこで０からｔまでのｎ等分してｎ個の長方形を作成する。 この時、Δｔを求め、すべての長方形の和を求めよ。 M1 傾きの一般式はΔ S/ Δｔである。これが速さの定義でもあるから問題 ２を示せばよい。 ｔでの S を S1=at２＋ b とし、t2 での S を S2=a(t+ Δ t)２＋ b とする。 ｖ (t)= Δ S/ Δｔ＝ 2at+a ΔｔとなるがΔｔ→０とするので２at となる。 よってｖ＝ 2a ｔこれは傾き２a の直線であるから等加速運動である。 ＊なぜ Δｔ＝０としないのか【極限の考え方】 ｔ→０は限りなく０に近づけるが０とはしないという意味である。定義がΔ S/ Δｔのように Δｔに分母があると０で割ることができない。ところが分子にちょうどΔｔが１次でのって いればキャンセルし極限値が存在するという。 V ーｔグラフは次のような１次関数になる。 よって囲まれた面積は at2である。これにはじ めの位置ｂを加えると元の式にもどる。 移動距離は S=at２＋ b である。 ｔ V 2at Δｔ ｔ V 2at Δ t １．図の長方形の面積を求めればいから ２at Δｔである。 ２．Δｔ＝ｔ / ｎ①となる。i 番目でのｔの 値ははじめが０だから０＋ i Δ t, よってこの 時のｖの値は 2ai Δｔ、従って長方形の面積 は 2ai Δｔ２である。これに①を代入すると 2at i 番目の面積は Si=2ai(t/n)２を得る。あとはこれを i=n まで足し合わせる。 １＋２＋・・・・＋ｎ＝（１＋ｎ）ｎ / ２だから足し合わせた結果を S とすると S=2a(n+n2)/2・（t/n）2＝ at2+at/n となる。ここでｎを非常 に大きくすることがΔｔ→０とすることだからｎ→∞と考えると答えは S=at2となる。はじめの位置を b とすると最初の式 S=at2+b に一致する。 ここでは極限のイメージを式の操作と一致できるようにしておくとい い。難しい用語では２が微分、５を積分といい物理数学２で取り扱う。 M2
class No. Name 解答 No-6 ◎ P1． 運動方程式の意味 【慣性力】次の空白を埋め、問題を答えよ。 下の図左のように 3 つの力 F1,F2.F3 で質量ｍの物体がつりあっている。 次の瞬間に力 F1 を取り去るとつりあいがくずれ、同時に 向きに が生じる。この時、水平方向に運動方程式がつくられ となる。 つまり物体のその後の運動は によって完全に決まる。 また、この運動方程式は等式そのものをよく見ると物体に働く と 物体の加速度の向きと 方向に と の積を新たに F1 と すれば、まったくはじめと同じつりあいの式である。そこで加速度と反対向き に働く の式で表される力を という。 よって運動方程式は が一定の場合のつりあいの式を の存在 する場にも拡張した式である。 ア）この時の物体は鉛直方向にはどういう運動をするか。 イ）慣性力の向きと大きさを図に書き込め。 ☆ M2 次の値を求めよ。 ア） √（１０１） イ） √（９９） ウ） １０１２ エ） １／１００５ オ）√（L２＋ｘ２） ただし L ＞＞ｘ カ）√（L２＋ｘ２）－√（L２－ｘ２） ただし L ＞＞ｘ ◎☆ M1 近似 一般にｘが１より非常に小さいなら次の関係が成り立つ （１＋ｘ）ｎ≒１＋ｎｘ これはｘ２以上を無視して得られることを導け。 F1 F2 F3 F2 F3 a θ2 θ１ F2 F3 a θ2 θ１ M2 √は n ＝１／２として公式に代入する。１＋（小さい数）になるように変形 するのがポイント。でも微分が使えれば、 √ｘの微分は 1/（2 √ｘ） 公式には１＋ｘ /2 を使えるように変形する。 ア）√ (100 ＋ 1) ＝ 10 √（1 ＋ 0.01）＝ 10 ＋０．０５＝ 10.05 イ）√ (100 － 1) ＝ 10 √（1 － 0.01）＝ 10 －０．０５＝ 9.95 ｘ２の微分は２ｘ公式には１＋２ｘを使えるように変形する。 ウ）(100 ＋１)２＝ 10000(1 ＋ 0.01）２＝ 10000+200=10200 エ）(1000 ＋５)ー１＝ (1 ＋ 0.005）ー１/1000 ＝ 9.95 × 10－ 4 文字式でもアと同じようにする。 オ）L √ ( １＋ (x/L)2)=L ＋ x2/2L カ）上の結果を利用して x2/L M1 別解 M507 の微分の定義から極限記号を省略してΔｘが小さいならば ｆ（ｘ＋Δｘ）≒ｆ（ｘ）＋ｆ ’（ｘ）Δｘ これは意味としては f'(x) が傾きであることを考えれば傾きにｘの変化量をか ければ f(x) の変化量（f( ｘ＋Δｘ ) ｰ f(x)）がでることから理解できる。この関 係は物理でもよく利用する。２次の導関数までとればもっと正確な近似ができ る。つまり上の近似は曲線を直線で近似していることに等しい、２次以上の近 似については自分で考えて以下の結果と比べてみよう。 M1 ２項定理から（１＋ｘ）ｎ＝１＋ ｎCｎ－１・ｘ＋ｎCｎ－２・ｘ２・・・・ よってｘ２以上を小さいとして無視すれば （１＋ｘ）ｎ≒１＋ｎｘとなる。 P1 順に、右、加速度、ma=F2Cos θ2＋ F3Cos θ３、合力と質量、 合力 反対、質量、加速度、ma、慣性力、速度、加速度 ア）静止、または等速直線運動 イ）右図 F=ma=F2Cos θ2＋ F3Cos θ３
class No. Name 解答 No-7 ☆公式・Point ◎ P1 運動の法則 次の空白を埋め問題に答えよ。 が書いた によれば運動について次の ３つの法則にまとめることができる。 １．物体に が働かないか、働いていても いる ならば物体は または等速直線運動をする。 ２．物体に が働く場合はその 向きに が生じ、 その大きさは に比例し、 に反比例する。 ３．物体 A から B に力が働く場合は必ず物体 から に同じ 大きさの力が働いている。 Q1 上記１，２，３の内容はそれぞれ何と呼ばれているか。 Q2 上の内容から力とは何かを答えよ。 Q3 ふりこを降らした時、両端では速度が０である。ではこの時加速度は どうなっているか。 P3．摩擦のない運動方程式 運動方程式を立て、加速度を求めなさい。 ア） イ） 4N ２kg ２kgw ３kgw 10N 4kg 30° P2．次元 空白を埋め問題にこたえよ。 物理量は次元によって区別できる。次元が異なると はできない。 また すると異なる次元になり、異なる物理量になる。ほ とんどの物理量は質量を M、長さを L、時間を T として [MxLyTz] という次元 表示で表現できる。 Q. 次を次元表示せよ。 ア）加速度 イ）力 ウ）圧力 P1 ニュートン が書いた プリンキピア によれば運動について次 の３つの法則にまとめることができる。 １．物体に力が働かないか、働いていても つりあっている ならば物体は 静止 または等速直線運動をする。 ２．物体に 力 が働く場合はその 合力 向きに 加速度 が生じ、その 大きさは 合力の大きさ に比例し、質量 に反比例する。 ３．物体 A から B に力が働く場合は必ず物体 B から A に同じ大きさの 力が働いている。 Q1．慣性の法則 ２．運動方程式 ３．作用反作用の法則 Q2. 力とは加速度と質量の積である。＊これはそのまま運動方程式を表す。 Q3. 振り子では両端での速度は０であるが加速度は最大である。 ＊ ma=F の F は合力で a と同じ向きの力の和－反対向きの力の和 P2 順に 足し算・引き算 かけ算・割り算 ア）単位 m/s２から考えて[M0L１T－２] イ）単位 N ＝ kg m/s２から考えて[M1L１T－２] ウ）単位 Pa ＝ kg m/m2s２から考えて[M1L-1T－２] P3 ア）右を正として、2a=2g+10-3g=0.2 a=0.1m/s２
イ）斜面上を正として 4a=4 ー 4g × Sin30 a=1-4.9=-3.9 負ということは 斜面下方に 3.9m/s２ ２kg ２kgw ３kgw 10N 4kg 30° 2g=19.6N N mg a a の向きと鉛直方向の力は運動方程式には関 係ない。a と同じ向きー反対向きの合力が F a mg mgSin θ 斜面は斜面方向に加速度をとり あえず向きを決めてとりその向 きを基準に必要な力を考える。 １．加速度の向きを決める。（斜面は斜面方向） ２．力の図示をして、加速度と水平鉛直成分を出す。 ３．F を a と同じ向きの合力ー反対向きの合力として ma=F 力の単位は N ！ 運動方程式 の作り方 次元は DNA の配列のように、MLT の指数があらゆる物理量を決める。
class No. Name 解答 No-8 ☆公式・Point ◎ P1. 運動方程式とつりあい。 次のように物体（５kg）をバネ定数４９N/ ｍのバネにつける。次のように運 動した時のバネの伸び縮みを求めよ。 ア )4[m/s] で引き上げる。イ）4[m/s2] で引き上げる。 ウ）4[m/s2] で引き下げる。 P2． 運動方程式を立て、加速度を求めなさい。（摩擦はない） ア） ２kg ２kgw ３Ｎ 10N 60° イ）水平よりθ上方に初速 Vo で投げ上げる。 Vo θ ウ） 物体の密度ρ、体積 V 液体の密度はρ ’、ρ ’ ＞ρとする。 沈めて放す。重力の加速度はｇとして抵抗は考えない。 エ）ウ） 速度ｖに比例する抵抗 f=kv がある時の運動方程式 を立て、速度が一定になったときの値（この値を終端速度 という）を求めよ。 ＊一定の速さだから静止と 同じ釣り合いで解く。 フックの法則より ｋｘ＝ｍｇ ４９ｘ＝５×９，８ ｘ＝１[m] Ｆ ｍｇ Ｆ ｍｇ Ｆ ｍｇ a a ma ＝ F ーｍｇ ５×４＝ F ー５× 9. ８ F ＝２０＋４９ フックの法則より ４９ｘ＝６９ ｘ＝１．４[m] ma ＝ｍｇー F ５×４＝５× 9. ８ー F F ＝４９ー２０ フックの法則より ４９ｘ＝２９ ｘ＝０．５９[m] P1 運動方程式は ma= 加速度 a と同じ向きの力の和ー反対向きの力の和 a=0 ならつりあい、a ≠０なら運動方程式 加速度が働けば力は釣り合わない。 Vo や V の速度は運動方程式に無関係 ２kg ２kgw ３Ｎ 10N 60° ９．８N N ｍｇ 力の単位は N に直す！ W はｍｇに変える a P2 ア）力の図示を正確にして a と水平方向の力の和を出す。 ma ＝ 9.8+10 －３ ２a ＝ 16.8 a= ８．４[m/s２] Vo θ イ）Vo は速さだから力の図示に関係ない。よって働いている力は重力のみ ｍｇ ma ＝ mg a ＝ g a= ９．８[m/s２] 鉛直下向き a ウ）上向きの加速度を a 体積Ｖとする 物体の質量はｍ＝ρＶ 浮力は N 単位でＦ＝ρＶｇ（ちなみに体積Ｖ＝４／３πｒ３） a Ｆ ｍｇ エ）運動方程式は上向きに a をとり ma=F ー mg ーｆ ρＶ a ＝ρ ’ ＶｇーρＶｇーｋｖ から a=0 とすれば ｋｖ＝Ｖｇ（ρ ’ ーρ） ｖ＝ Vg( ρ ’ ーρ）/ ｋ ＊ρ＝ρ ’ なら静止する。
class No. Name 解答 No-9 ☆公式・Point θ ｈ V0 P1 摩擦のない斜面１ 文字計算 図のように摩擦のないθの斜面の下端から質量ｍ㎏の物体を初速 Vo[m/s] で上方に滑らす。重力加速度ℊとする。 ア）運動方程式を立て、上り、下りの加速度を求めよ。 イ）往復してもどってくるまでの時間を求めよ。 ウ）最高点の高さｈを求めよ。 P2． 連結問題 動滑車 運動方程式を立て加速度と張力、A が B を押す力を求めよ。（摩擦はない） ア） A 2kg B 3kg 30° 10N B 2kg A 2kg イ） 滑車に質量はない。 世界の教科書より
UNIVERSITY PHYSICS WITH MODERN PHYSICS HUGH D. YOUNG ROGER A. FREEDMAN
V0 ｈ θ ｍ gｍｇ Cos θ ｍｇ Sin θ N a P1 ア＊加速度は初速の上向きにとる、初速 Vo は力ではないことに注意する。 斜面を上方をｘ方向として摩擦がないので式はｘ方向の式は S ｘ）ma= ー mgSin θ a= ーｇ Sin θ登りの加速度 ① 下りの場合は明らかに a を下向きにとれば a= ｇ Sin θ下りの加速度 ② θ→９０°なら Sin θ＝１ よって a=g イ）最高点では V=0 よって等加速運動の公式 V=Vo ＋ a ｔから 登りの時間ｔは０＝ Vo ーｇ Sin θ・ｔ ｔ＝ Vo ／ｇ Sin θ 明らかに摩擦が無ければ運動は対称的だから帰りの時間も等しいよって往復 の時間ｔ ’ ＝２Vo ／ｇ Sin θとなる。 ウ）最高点までの距離を S とすると等加速運動の V2－ Vo2＝２aS より最高点 V=0 としてア）の①を代入し、S=Vo2／２ｇ Sin θ よって高さｈ＝ Ssin θだからｈ＝ Vo2/ ２ｇ P3 ア）斜面上を正として A が B を押す力を R とすると、加速度も共通だから 下の物体） 2a=10-2gSin30°-R ① 上の物体） 3a=R-3gSin30° ② ①＋②から５a=10-5gSin30° a=2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s２ ②に代入すると R=3(a+g/2) ＝ 3 × (4.9-2.9) ＝6.0N 斜面上向き A 2kg B 3kg 30° a B 2kg A 2kg a a/2 T 2g 2g T' T T イ）つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車、と 2 つの物 体について式を立てる。A の加速度を a とすると B の加速度は半分になる。 物体 A) 2a=2g-T ① 物体 B) 2a/2=T'-2g ② 動滑車の質量を M とし、 動滑車）Ma/2=2T-T'-Mg ③動滑車と B は同じ加速 度になる。しかし、この問題では動滑車に質量は ないので M=0 から T'= ２T ④となる。 よって②は a=2T-2g ①×２を加えると 5a=2g a=2g/5=3.92m/s2① T=2(g-a)=11.8N
④より T'=23.5N 運動方程式で加速度が出たら 等加速運動の３式を使え。
① V=Vo ＋ at ② S=Vot ＋ 1/2・at2 ③ V2-Vo2＝２aS
class No. Name 解答 No-10 ☆公式・Point ◎ P1 連結物体 運動方程式を立て、加速度と張力を求めなさい。（摩擦はない） ア） 10N イ） 2kg 3kg 30° 3kg `6kg ウ）ゴンドラの質量ｍ、人の質量 M、人が T でロープを引く、滑車の質量 は無視 エ）ゴンドラの質量ｍ、人の質量は共に M、外の人が T でロープを引く、 滑車の質量は無視 θ P1 イ）同じ糸は同じ力 T とし、加速度も向きのみ反対で大きさは共通だから 右の物体） ３a=T- ３g ① 左の物体） ６a=6g-T ② ①＋②から９a= ３g ３．３m/s２ ①に代入すると T=4g ＝３９．２N P1 ア）斜面上を正として同じ糸は同じ力 T とし、加速度も共通だから 下の物体） 2a=T-2gSin30° ① 上の物体） 3a=10-T-3gSin30° ② ①＋②から５a=10-5gSin30° a=2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s２ ①に代入すると T= － 5.8 ＋ 9.8 ＝ 4.0N 2kg 3kg 30° 3kg `6kg m1g m2g 同じ糸は 同じ T a a a 複数物体はそれぞれについて運動方程式 同じ糸であれば同じ T 複数物体は①式と②式を足せば加速度が出る。 T T T 動滑車） ２T=T' この結果はすぐ使え 人について )Ma=T+N-Mg ① ゴンドラ）ma=2T-N-mg ② 人、ゴンドラ、動滑車で式を立てる T T ｍｇ N T'=2T M ｇ a T ①＋②から (m+M)a=3T-(m+M)g a=3T/(m+M)-g ウ） (M+ ｍ ) ｇ T'=2T a エ）T はθに関係なく動滑車のつりあいから２T=T' で ある。よって T' を用いて人とゴンドラは一体化して 考えればよい。 (M+m)a=2T-(M+m)g a=2T/(M+m) ー (M+m)g
class No. Name 解答 No-11 ☆公式・Point P2．摩擦のない運動方程式 運動方程式を立て、加速度を求めなさい。 （摩擦や空気抵抗はない） ア） イ） ウ）質量 2kg のボール ２kg ２kgw ３kgw 10N 4kg 30° P3．運動方程式を立て加速度と張力、A が B を押す力を求めよ。（摩擦はない） ア） イ） A 2kg B 3kg 30° ◎ P1 運動方程式基礎 次の空白を埋め問題に答えよ。 Newton は物体に力が働く場合、その の向きに が生じ、その加速度は質量をｍ、合力を F とすると a= となること を示した。これは力が（ ）と（ ）の積であると示した ことになる。これによって力は特殊な階級の人たちだけのものでなく、人間 の思惑から独立し、自然に存在するものになった。さらにつりあっていない 運動状態でも という を考えることによって 釣り合いの式がそのまま成立することを示した。 空中に投げ出され た状態 2m/s 30° 10N P4．液体の密度 1.2g/cc, 物体の密度 2.0g/cc 、体積 500cm3 ア）抵抗なし物体の加速度を求めよ イ）水の抵抗は速度比例 R= ｋｖとする 4N 運動方程式を立て、一定の速さ になった時の速さ（終端速度） を求めよ。k を用いてよい。 B 2kg A 2kg 滑車に質量はない。 ウ）この物体を糸でつるし、液体中に静止させた時の糸の張力を求めよ。 運動方程式は N 単位にする 動滑車について式を立てる。質量が０なら T'=2T 等速と静止は同じ 加速度 a の向きを基準に ma=a と同じ向きの力の和ー反対向きの力の和 P2 ア）右を正として、2a=2g+10-3g=0.2 a=0.1m/s２
イ）斜面上を正として 4a=4 ー 4g × Sin30 a=1-4.9 斜面下方に 3.9m/s２
ウ）力と速度は関係ない。働いている力は鉛直下向きに重力加速度のみだから 運動方程式は ma=mg a=g 下向きに 9.8m/s2 P3 ア）斜面上を正として A が B を押す力を R とすると、加速度も共通だから 下の物体） 2a=10-2gSin30°-R ① 上の物体） 3a=R-3gSin30° ② ①＋②から５a=10-5gSin30° a=2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s２ ②に代入すると R=3(a+g/2) ＝ 3 × (4.9-2.9) ＝6.0N 斜面上向き P1 順に 合力、加速度、F/ ｍ、質量、加速度、ma、慣性力 A 2kg B 3kg 30° a P4 図のように物体には力が働く。１g/cc=103kg/m3、1cm3 ＝ 10-6m3だから 浮力 F= ρ外Vg ＝ 1.2 × 500 × 10-3× g=0.6g[N] 同様にして物体の重力も 重力 mg= ρ内Vg ＝ 2 × 500 × 10-3× g=1g[N] ①つまり物体の質量は 1kg a mg 浮力 F ア）運動方程式は m= ρ V だから ma= ρ内Va=mg-F １× a=1g-0.6g=0.4g=3.92 3.92m/s2 イ）図のように抵抗力 kv が上向きに働く。 運動方程式はma=mg-F-kv である。これは変数 v を含む ので今のレベルでは解けないが一定の速さであれば釣り合う ので a=0 として①より kv ＝ mg-F ＝ 0.4g v=3.92/k[m/s] ウ）等速と静止は同じだから上から 0.4g ＝3.92N ｖ mg 浮力 F kv B 2kg A 2kg a a/2 T 2g 2g T' T T イ）つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車、と 2 つの物 体について式を立てる。A の加速度を a とすると B の加速度は半分になる。 物体 A) 2a=2g-T ① 物体 B) 2a/2=T'-2g ② 動滑車の質量を M とし、 動滑車）Ma/2=2T-T'-Mg ③動滑車と B は同じ加速 度になる。しかし、この問題では動滑車に質量は ないので M=0 から T'= ２T ④となる。 よって②は a=2T-2g ①×２を加えると 5a=2g a=2g/5=3.92m/s2① T=2(g-a)=11.8N
class No. Name 解答 No-12 ☆公式・Point P3 運動方程式 加速度の分解 質量 4.9kg の物体が図のような一定の力を受ける。はじめ原点で静止していた。 ２秒後の位置 P はどこか座標で答えよ。また２秒後の物体の速度を求めよ。 大きさは無視してよい。上、右を正とする。( 重力は考えない） 45° ４√ 2kgw 10 ｋｇｗ 2 ｋｇｗ P2 慣性力 運動方程式は a と同じ向きの合力を F, 質量をｍとすれば簡単 に と表すことができる。この ma が a と 向きに働く力 ( こ れを慣性力という）とすると釣合の式として見ることもできる。そこで電車の 中で質量 2kg の物体をつるす。電車が 20m/s の一定の速さで運動している時 A と速さが 0m/s で加速度が 4.9m/s２ で運動している時 B の糸の張力と糸が 鉛直となす角度を慣性力を用いて求めよ。 A B Q この 4.9m/s２で運動している電車の中 で、ある質量の物体を静かに離した。 この物体の加速度の向きと大きさを求めよ。 これからこの車内でのみかけの重力の向きと大きさを求めよ。 6kgw a=4.9m/s2 ◎ P1．次元 空白を埋め問題にこたえよ。 物理量は次元によって区別できる。次元が異なると はできない。 また すると異なる次元になり、異なる物理量になる。ほとんど の物理量は質量を M、長さを L、時間を T として [MxLyTz] という次元表示で 表現できる。 A. 次を次元表示せよ。 ア）加速度 イ）力 ウ）圧力 V=20m/s P3 Ｎ単位に直すために９．８＝ｇをかけること ｘ方向の加速度を axとして max＝ (4 √ 2Cos45°+2 ー 10)g 0.5gax=-4g aX= ー 8 ① ｙ方向）maｙ＝ (6 ー４√２Sin45)g 0.5gay=2g ay=4 ② ①，②より等加速運動の式からＸ＝ 1/2axt2= －＝ー 4t2＝ -16m Ｙ＝ 1/2ayt2=2t2＝ 8 ｍ よって座標は P（－ 16，8）ｍ またＶｘ＝ axt= － 16 Ｖｙ＝ ayt=8 tan θ＝ Vy/Vx ＝－ 1/2 よってＶ＝√ (Vx2+Vy2) から√ ((-8 × 2)２＋ 8２) ＝ 8 √ 5 ＝ 17.6 x 軸の負の向きから y 軸に tan θ＝ 1/2 を満たすθ向きに 17.6m/s 図のように重心が運動していく。等加速運動なので何秒後に どこにいて、その時の速度も正確に求まるが形を無視しているので回転の情報 はわかない。モーメントが与えられれば回転の向きまで求まる。 ｍｇ＝ T より T= １９. ６N P2 B ｘ）方向 ma=Tsin θ ① ｙ）方向ｍｇ＝ TCos θ ② ① / ②から tan θ＝ a/g ＝ 0.5 を満たすθ また Cos θ＝４/ √ 5 から②より T= ２× 9.8 × 2.2/4 ＝11N a=4.9m/s2 θ a=4.9m/s2 θ Q 図のように反対向きに慣性力ｍ a を考え、 鉛直方向には mg なので図のθの向きに新しく加速度 ｇ ’ とおくと運動方程式は mg'= √ {(ma)2+(mg)2} よって g'= √ {(4.9)2+(2 × 4.9)2} g'=4.9 √ 5 ＝ 11m/s2 向きは tan θ＝ 1/2 を満たすθ P1 順に 足し算・引き算 かけ算・割り算 ア）単位 m/s２から考えて[L１T－２] イ）単位 N ＝ kg m/s２から考えて[M1L１T－２] ウ）単位 Pa ＝ kg m/m2s２から考えて[M1L-1T－２] 慣性力 ma P2 ma=F、反対 A 加速度がないので釣合 45 4 √ 2 ｇ 10 ｇ 2 ｇ 4 √ 2gCos45° 6g 4 √ 2gSin45° ax ay θ 加速度も必要であればベクトルｘ、ｙ成分に分ける。 運動方程式 ma=F は ma を加速度と反対と力と考えればつり合いの式になる。 この加速度と反対向きの力 ma を慣性力という。
class No. Name 解答 No-13 S1．力の図示をして、運動方程式を立て、加速度を求めなさい。 （摩擦や空気抵抗はない、重力加速度は９．８[m/s²] とする。） ア） イ） ウ）質量 400g のボール ２kg ２kgw ３kgw 10N 4kg 30° 空中に投げ出され た状態 2m/s 60° 4N A 2kg B 3kg 30° 10N さらに次のように押す（引く）場合、加速度と A が B を押す力、張力を求めよ。 それぞれの物体に色分けをして力の図示をすること。 エ） 下から斜面水平に 10N で押す。 オ） 糸で連結し、10N で引く 2kg 3kg 30° 10N S2．液体の密度 1.2g/cc, 液体の体積は 10 リットルで容器の質量は無視できる。 容器と水を秤に載せる。秤はニュートン計とし、重力加速度は 9.80[m/s²] ア）この時の秤の指示値を求めよ。（有効数字 3 桁） イ）密度 2.0g/cc 、体積 500cm3の物体を糸につるして入れ る。この時の秤の指示値と糸の張力を求めよ。（有効数字 3 桁） 糸を切ると物体は落下する。ただし、液体中では速度ｖに比 例した抵抗が働き、ｋｖが反対向きに働くとする。(k は定数） ウ）糸を切った直後、液体に働く力を図示し、物体の運動方 程式を立て、加速度と秤の指示値を求めよ。 エ）底につく前に抵抗により一定の速さ V になった。 この時のｖと指示値を求めよ。(k を用いてよい） オ）ウ）とエ）の中間では秤の指示値はどうなるか。 この時の加速度 a、速さｖを用いて図示せよ。運動方程式 と液体の釣り合いの式を示し、液体に働く力も図示せよ。 S1 ア）右を正として、 単位を N に統一する。 2a=2g+10-3g=0.2 a=0.1 右向きに 0.1m/s２
イ）斜面上を正として 4a=4 ー 4g × Sin30 a=1-4.9 斜面下方に 3.9m/s２
ウ）力と速度は関係ない。働いている力は鉛直下向きに重力加速度のみだから 運動方程式は ma=mg a=g 下向きに 9.8m/s2 エ） 斜面上を正として A が B を押す力を R とすると、加速度も共通だから 下の物体） 2a=10-2gSin30°-R ① 上の物体） 3a=R-3gSin30° ② ①＋②から５a=10-5gSin30° a=2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s２ ②に代入すると R=3(a+g/2) ＝ 3 × (4.9-2.9) ＝6.0N 斜面上向き A 2kg B 3kg 30° a オ）斜面上を正として同じ糸は同じ力 T とし、加速度も共通だから 下の物体） 2a=T-2gSin30° ① 上の物体） 3a=10-T-3gSin30° ② ①＋②から５a=10-5gSin30° a=2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s２ ①に代入すると T= － 5.8 ＋ 9.8 ＝ 4.0N S2 図のように物体には力が働く。１g/cc=103kg/m3、1cm3＝ 10-6m3だから ア）10 リットルは M= ρ V より、12kg よって Mg=12g ＝ 117.6 118N イ）浮力 F= ρ液Vg ＝ 1.2 × 500 × 10-3× g=0.6g[N] よって液体の重さを 加えて 12g+0.6g=12.6g=123.48 よって指示値は123N 物体の重力は mg ＝ρ物Vg=2 ×500 × 10-3× g=g よって釣り合いの式 より T+F=mg T=mg ー F=g-0.6g ＝ 0.4g ＝ 3.92 3.92N T mg 浮力 F ウ ) この時ｖが 0 だから抵抗が働かない。よって運動方程式は m= ρ V=1kg として、 ma=a=mg-F a=g-0.6g=0.4g 3.92m/s2 液体の重 Mg、垂直抗力 N とすると、この時液体に浮力の反作用が働くから液体の釣り合いの式は N=Mg ＋ F ＝ 12g+0.6g=12.6g=123.48 よって指示値は N と等しく 123N エ）物体の運動方程式は ma=mg-F-kV ①となる。一定の速さなら a=0 だから kV=mg ー F=0.4g v=3.92/k[m/s] ①より mg=F+kV ②となる。液体に注 目し、N=Mg +F+kV となるが②を代入し Mg+mg=13g 127N( 両方の重さ ) オ）物体の運動方程式は ma=mg-F-kv ③液体の釣り合いの式は N=Mg+F+kv 秤の指示値は N に等しい。③より N=Mg+mg-ma=13g-a 指示値 =127-a[N] よって下向きの加速度 a があるとその分軽くなる。 浮力 F 重力 Mg N 浮力 F 重力 Mg N 抵抗 kv 太い赤矢印は物体に働く力 mg 浮力 F 抵抗 kv
class No. Name 解答 No-14 ☆公式・Point 2kg `4kg S3 連結問題 滑車と動滑車１ 滑車に質量なし 力の図示を物体、動滑車、それぞれ示して、運動方程式を立て A,B の加速度 と張力を求めよ。また、動き始めてから図にある変位だけおもりが運動するの にかかる時間を求めよ。g=9.8[m/s²] とせよ。（√ 14 ＝ 3.74 とせよ） ア）定滑車 * イ）動滑車の質量は 1kg 98cm B 2kg A 4kg 170cm ウ） イ）の動滑車について重り A が地面に着く直前の A と B の速さを求めよ。 また、A が地面についた時、B は、はじめの位置から何 cm 上昇しているか。 S4 連結問題 摩擦なし 運動方程式を立て、加速度を求め次の問題に答えなさい。抵抗、摩擦は考えない . Ｂが床に着く時間（Ｂは最初高さ 49 ｃｍの位置） を求めよ。g=9.8[m/s²] と せよ。 Ａ５kg Ｂ 4kg 120cm 90c ｍ 49c ｍ P1 ア）同じ糸は同じ力 T とし、 加速度も向きのみ反対で大きさは共通だから 右の物体） 2a=T-2g ① 左の物体） 4a=4g-T ② ①＋②から 6a=2g a=g/3 ③が正確値であること をチェックし、a=３．３m/s２ ①に代入するとチェックから T=2a+2g=8g/3 ＝ 26N ２kg `4kg a a 運動方程式で加速度が出たら 等加速運動の３式を使え。 ① V=Vo ＋ at ② S=Vot ＋ 1/2・at2 ③ V2-Vo2＝２aS
四捨五入する前の分数、√のままの正確値をチェックする。9.8=0.2 × 7２ 加速度が出たら落時は初速 0 なので S=1/2・at2よりチェック（正確値）を使って 0.98 ＝ 9.8/6・t2 t2＝ 6/10=3/5 よって t= √ 3/ √ 5 ＝0.8[s] B 2kg A 4kg a a/2 T 4g 2g T' T T イ）つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車、と 2 つの物体につ いて式を立てる。A が 2m 下がると B は 1m 上がる A の加速度を a とすると B の加 速度は半分 a/2 になる。 物体 A) 4a=4g-T ① 物体 B) 2a/2=T'-2g ② 動滑車） a/2=2T-T'-g ③ 動滑車と B は同じ加速度 ①× 2 ＋②より 9a=6g-2T+T' これから③を引くと 17a/2=7g a=14g/17 この値をチェック a の加速度は 8.1m/s2、B の加速度は 4.0m/s２ 初速０だから S=1/2・at² よ り 1.7=7g/17・ ｔ ² g=0.2 × 7² か ら 10 倍 してｔ ²=17²/(2 × 7³) ｔ＝ (17/7)/ √ 14 ＝0.65[s] ウ )v=at だからＡは VA=at=14g/17・(17/7)/ √ 14=5.24 5.2[m/s] 下向き B はこの半分で 2.6[m/s] 上向き A が 170cm 降下しているので B は半分の 65cm 上がる。 A)5a =T ー５ｇ sin θ ① B)4a ＝４ｇ－Ｔ ② 図より Sin θは３／５よってＡ＋Ｂより ９a ＝４ｇ－３ｇ a=9.8/9=1.1[m/s２] 加速度が出たら等加速の３式をつかう。次に S=1/2at2より、 ０．４９＝４．９／９ｔ２ｔ＞０よりｔ＝√ (9/10) ＝３/（２．２３×１．４） ｔ＝０．９７[s] P2、連結物体はそれぞれについて運動方程式 糸がたるまなければ a は同じ Ａ５kg Ｂ 4kg 120cm 90c ｍ 49c ｍ T T N Mg a a
class No. Name 解答 No-15 ☆公式・Point 図１のように質量の無視できる軽い定滑車と摩擦のない 10kg の動滑車を組 み合わせ、質量 30㎏のゴンドラにつなげる。この中に質量 60㎏の A 君が入 り、ロープの端を引く。ロープの他端は天井に固定されている。重力加速度は 9.8[m/s²] とする。 ア）A 君が引く力を増やし、ある力 F でひく と、ゴンドラは地面から離れた。 この時 の力 F を求めよ。 イ）次に A 君は自分で引くよりロープにお もりをつければゴンドラが上昇するだろう と考えた。図 2 のように 80㎏のおもりを つけた時のゴンドラの加速度を求めよ。 図１ 図 2 ◎ P1．連結問題 滑車と動滑車１ 滑車に質量あり ウ）動き始める前、おもりは A 君の目の高さにあった。2 秒後、A 君の目の 位置とおもりの間の高さは何ｍになるか。おもりの大きさは考えない。 エ）２秒後 A 君から見たおもりの速さを求めよ。 P1 ア） 加速度が０だからつり合いでとく イ） ウ） エ） 地面から離れたのでゴンドラに働く垂直抗力が０とみな せる。 引く力を T、人が床を押す力 N とすると 動滑車のつりあいから２T ＝ T'+10g これからゴンドラについては T'=2T-10g=30g ＋ N ① 人については T+N=60g ② ① + ②より ３T=100g ℊ =9.8 を代入し 327N 先の結果から A 君は 1.4[m/s²] で上昇するから S1=1/2at2=2.8m おもりは 2.8[m/s²] で下降するから S2=1/2at2=5.6m だけ下がる。 よって両者の高さの差は 2.8+5.6=8.4[m] 図のようにゴンドラと人は一体化して考える。ゴンドラ と動滑車の加速度を a とするとおもりの加速度は 2a に なるから 動滑車について 10a=2T-T'-10g ① ゴンドラと人 )90a=T'-90g ② おもり）2 × 80a=80g-T ③ ①より T'=2T-10a-10g ②に代入し、90a=2T-10a-100g 100a=2T-100g ④ ④＋③×２より 420a=60g a=g/7=1.4[m/s²] ⑤ ⑤から下向きを正として A は 2 秒後に VA=-at=-2g/7 おもりは B として VB=at=4g/7 A 君から見たおもりは VAB=4g/7+2g/7=6g/7 ＝8.4[m/s] 下向き T T 30 ｇ N T’ 60g N T 10ℊ 加速度が０ではないから運動方程式でとく。 動滑車に質量があるので動滑車についても運動方程式を立てる。 T T 2a T' 78g 90g a T 10ℊ 動滑車側の加速度は半分になる。 動滑車に質量がある時、動滑車についても運動方程式を立てる。
class No. Name 解答 No-16 ◎ P １．摩擦力 空白を埋め問題に答えよ。 水平面に質量ｍ [kg] の物体を置き、水平に力ｆ [N] の力で物体を右に押す。そ れでも物体が動かないのは が 向きに働くからと考える。これは 摩擦力と の合力である が に傾いたからと考えることもでき る。 Q1 この時の物体に働く力に図示せよ。 また、この時の摩擦力Ｆを求めよ。 抗力 R を用いた図示もすること。 ｍ kg ｆ N まだ物体は十分動かないとすればこの時の摩擦力Ｆを という。 さらに押す力ｆを大きくしていくと摩擦力は最大値 Fo になる。 この摩擦力を 力といい。この値は押す力ｆに関係な く床との摩擦係数できまる。この摩擦係数を 係数と いい、μで表すと重要な関係式 がこの時成立する。 Q1 先の Q1 の図に加え、このとき物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ。 Q2 この物体を動かすのに最低必要な力ｆをμ、ｍ、ｇで表せ。また、押す 力ｆを斜め右下、水平、右上に加えるとき、物体が動き出しやすいのはど の方向か。 ところがいったん物体が動くと押す力ｆは小さくても物体は運動する。これ は運動しているときの が最大静止摩擦力より小さいためであ る。また、この運動摩擦力は物体の速さに関係なく なので運動摩擦 係数をμ ’ とすると という関係がここでも成立する。 Q3 運動している時の押す力を一定のｆとし、速度を V とする。加速度を求 めよ。さらに物体が等速運動をするためのｆをμ ’、ｍ、ｇで表せ。 Q4 ｆを０から動き出す直前まで大きくすると垂直抗力の作用点はどう変化 するか。 Q5 ｆを変化させた時の摩擦力の変化をグラフで示せ。 Q6 次に物体の回転を考慮してみよう。つまり物体を と考える。 物体は高さ b, 上面、底面とも 1 辺 a の直方体である。押す力ｆがちょうど 角のＰ点に来た時、物体はＱ点を中心にして滑ることなく回転した。 この時物体に働く力を図示し、ｆをｍ、ｇ、a、ｂで表せ。 また、滑らずに回転する条件を示せ。 また、回転直前の抗力 R を用いた物体の力の図示をせよ。 Ｑ Ｐ p1 順に 摩擦力 左 垂直抗力 抗力 左 Q1) このときの摩擦力は静止摩擦力で図より F=f ｆ [N] 順に 静止摩擦力 最大静止摩擦力 最大静止摩擦 Fo ＝μ N Q2 水平方向のつりあいからｆ＝ Fo ① 鉛直方向のつりあいから N= ｍｇ② さらに摩擦の式は Fo= μ N ③ ①、②、③より Fo= μｍｇ 摩擦力を小さくするには垂直抗力を減らせばいいので右上に力を加える。 順に 運動摩擦力 一定 F' ＝μ ’N Q3) 水平方向は運動方程式から ma=f-F' ① 鉛直方向のつりあいから N= ｍｇ② さらに摩擦の式は F= μ 'N ③ ①、②、③より a=f/m ーμ ' ｇ ④ 等速であるということは a=0 だから④から ｆ＝μｍｇ Q5) F Fo F’ Q6) 剛体 ｍ kg Ｑ Ｐ F Q6) 垂直抗力も摩擦力も作用点は Q 点に ある Q 点まわりのモーメントを求める。 ｆ ずらし法からモーメントの釣合は ｆｂ＝ mga/2 よってｆ＝ mga/2b ① 回転するためにはこのｆが最大摩擦力より小さ ければいいから Q2) からｆ＜μｍｇ ①より a/2b< μ 剛体の作用線は一点で交わるので図のように物 体には重力とｆと抗力 R が働く。 ｂ ｆ a/2 ｍ kg ｆ Ｑ Ｐ F ｍ kg ｆ Ｑ Ｐ R おす力ｆがあるで垂直抗力 N の作用点は中心より右に ずれる。摩擦力の作用点も 同じようにずれる。 摩擦力と垂直抗力を合わせ たのが抗力 R である。物 体にはｆ ,mg,R が働くがそ の作用線は１点で交わる。 ｍ kg ｆ Ｑ Ｐ R ｆが大きくなるので摩擦力は最 大になるが垂直抗力に変化はな い。同じように作用線は 1 点 で交わるのでＲは最も傾く。 ｍ kg Ｑ Ｐ ｂ ｆ Q4) f が増えると垂直抗力の作用点は右にずれ ていく。f ＝ 0 なら中点。最大摩擦の時は Q 点 側にずれる。回転の直前であれば Q 点になる。
class No. Name 解答 No-17 ☆公式・Point 30° ４㎏ ○ P2 斜面 摩擦と抗力 次のように 30°の斜面に質量 4㎏の物体を置くと静止した。 ア）物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ。 イ）抗力 R を求めよ。 次にこの物体を斜面の下から斜面に沿って上向き に初速７[m/s] で滑らせた。動摩擦係数は０．５ とする。 ウ）物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ。 エ）抗力 R を求めよ。 オ） 加速度と最高点までの時間を求めよ。 カ）さらに最高点を過ぎ下降中の物体に働く力 を抗力 R を用いて図示せよ。 30° ４㎏ 7[m/s] ○ P1 抗力 次の空白を埋め、問題に答えよ。 と の合成を抗力をいう。 Q1. 図のように引く力ｆを変化させ、水平面で物体を引いても動かなかった。 抗力 R として力の図示をせよ。また、この時の抗力を求めよ。質量は全て ｍとし、重力加速度はｇとする。 ｆ ｆ Q2. 次に摩擦ある面で同じ物体を引き、動かしている場合を考える。 左のほうが速さがおそく、右が速いとする。抗力を R として図示せよ。 また、この抗力を求めよ。ただし、動摩擦係数をμ ’ とする。 ｆ ｆ ｖ V P2 ア）図左 イ）重力とつりあうからR=Mg=39.2N ウ）図中 カ）図右 30° ４㎏ Mg：重力 R 30° ４㎏ Mg：重力 R P2 エ）抗力は摩擦力と垂直抗力のベクトル和だから ｙ方向のつりあいから N=mgCos30°＝ 19.6 √３ よって動摩擦力は F'= μ ’N ＝ 9.8 √３＝ 16.7 ③ R= √ {(9.8 × 2 √ 3)² ＋ (9.8 ×√３)²}=9.8 × 3 √ 3=50N オ）斜面方向の運動方程式は ③より 4a=-4gsin30 － 16.7=36.3 a=9.1 [m/s²] v=v0+at より ０=7 －９．１ｔ ｔ＝０．７[s] R P1) 摩擦力 F と 垂直抗力 N 垂直抗力の値が一定だから抗力の高さは変化しない。水平成分がｆと等しい。 mg ｆ ｆ R mg 摩擦力 F は F=f 抗力 R の大きさは 3 平方の定理から R= √ ((mg)² ＋ｆ ²) R Q2) 動摩擦力は速さに関係なく一定なので抗力のベクトルは同じになる。 動摩擦力は F'= μ ’mg mg ｆ ｆ R mg 抗力 R の大きさは 3 平方の定理から R= √ ((mg)² ＋ ( μ 'mg)²)=mg √ (1+ μ ’²) 30° ４㎏ Mg：重力 R 垂直抗力は変化しない、 摩擦の向きは入れ替わる 上 図 の よ に R は 上 昇、 下降で変化する。 R R 抗力と重力の合力の向きは加速度の向きになる。 抗力は垂直抗力と摩擦力の合力
class No. Name 解答 No-18 ☆公式・Point ◎ P1．摩擦ある面上に質量 10kg の物体を置き、次のように水平に力ｆで引く。 ただし、静止摩擦係数は 0.5、運動摩擦係数は 0.1 とする。 10kg ｆ イ） ｆがある値になったら物体は動き始めた、 この値と摩擦力の種類をいえ。 ウ） 動き出した後にｆを 20N の一定な力で引く、 この時の摩擦力の種類と加速度を求めよ。 ア） ｆが５N の時はまだ物体は動かなかった。 この時の摩擦力の大きさと種類をいえ。 エ） 動き出した後にｆを 20N の一定な力で A 君が引く、A 君は最速 10m/s で走ることができる。A 君が一定の速さで引けなくなるのは走り出してか ら何秒後か。 M θ ◎ P2 斜面と抗力 摩擦ある斜面上にある次の物体に働く力を抗力 R を用 いて図示せよ。（押したり、引いたりはしていない） １）図のように物体が斜面上でつりあい、静止している時 ２）斜面上を上向きに加速度をもって上昇している時 ３）最高点に達した瞬間 4) 斜面上を下向きに加速度をもって下降してい る時 5) 斜面上を下向きに一定の速さで下降している 時 P1 ア）動かないということは静止摩擦力でつりで解く。摩擦力を F とすると水平方向の釣り合いの式から F= ｆ＝５N よって静止摩擦力５N イ）＊動きはじめたその瞬間だけは最大摩擦力の式が成り立つ。 したがって式は３つ！最大摩擦力を Fo にすると。 ｘ方向） 最大摩擦はつりあいだから Fo ＝ｆ ① ｙ方向） 鉛直方向もつりあいで N= ｍｇ② 摩擦の式） 公式から Fo= μ N ③ ③､ ②より N を消去し、 ①に代入すればｆ＝μｍｇより ｆ＝０．５×１０×９．８＝４９[N] ウ）動いている時は運動摩擦力の式が成り立つ。動くと動摩擦力は一定になる。 したがって式は３つ！運動摩擦力を F’ にすると。 ｘ方向） 運動方程式から右向きを＋として ma=f-F' ① ｙ方向） 鉛直方向は変わらず釣り合いで N= ｍｇ② 摩擦の式） 公式から F’= μ ’N ③ ③､ ②より N を消去し、①に代入すれば ma=20 ーμ ’ ｍｇ＝ 20 ー 0.1 × 10 × 9.8 a ＝２－０．９８＝１．０２[m/s２] エ）等加速運動の V=at より、求める時間をｔとすると 10 ＝ 1.02 ×ｔ ｔ＝ 9.8 秒後 10kg ｆ F N ｍｇ a ☆運動方程式は必ず N 単位！☆最大摩擦は力の釣り合い 加速度が出たら等加速運動の式を使う。 力を解くときには抗力ではなく、垂直抗力と摩擦力にわける。 抗力 = 摩擦力＋垂直抗力 摩擦力の種類は静止摩擦力、最大摩擦力、運動摩擦力 このうち最大摩擦力、運動摩擦力は垂直抗力のみに依存する。 F= μ N F' ＝μ ’N M Mg：重力 M Mg：重力 1)R: 抗力 ( 重力とつりあ 2)R: 抗力（斜面垂直方向の成分は一定） P2 加速度がない時は重力とつりあうので１，５は下の左図。 加速度は下向きなので合力もこの向き、２，３，４は下の右図。
class No. Name 解答 No-19 ☆公式・Point ◎ P1 摩擦力と運動方程式 物体の質量を M[kg]、面の動摩擦係数はμ ’、静止摩擦係数はμとする。 ア）水平面上に M を置き水平にｆの力を加えたら、まだ物体は動かなかった。 この時の摩擦力 F の種類と大きさを求めよ。 イ）引く力をｆ０にしたら物体は動き始めた。この f0と摩擦力の種類を求めよ。 ウ）動き始めた後、引く力を f' にした。加速度を求めよ。また 一定の速さになるための f' を求めよ。 次に同じように面に物体を置き、面を少しずつから傾けていく。角度がθ０に なったら物体は滑りだした。 エ）最大静止摩擦係数μを求めよ。 滑り出してからの面の傾きは一定（θ＝θ０）とする。 オ）滑り出した後の加速度を求めよ。また、一定の速さになる条件を求めよ。 ◎ P2 摩擦力とエネルギー保存則（水平面） 物体の質量を M[kg]、面の動摩擦係数はμ ’、重力加速度はｇとする。 水平面上を初速Ｖ０で滑らす。距離Ｓだけ滑ったら速さがＶになった。 この時、摩擦力の仕事と物体が摩擦力に抗してした仕事を求めよ。 また距離Ｓと摩擦により発生した熱Ｑを求めよ。 V０ S V P1 ア） このときの摩擦力は 静止摩擦力で つりあいの関係にある。 よって F=f である。 この時、 F= μ N は成り立たないので注意する。 イ）動きはじめたという文があったら直前とし 最大摩擦力でつりあいで解く、この時は ｘ、ｙ方向と摩擦の公式の３つを使う。 x)F0=f0 これらからf0＝μ Mg y)N=Mg 公式）F0= μ N ウ）動いた後は摩擦力は速さに関係なく一定 動いている時は加速度のある、なしで異なることに 注意する。加速度があれば水平方向は運動方程式。 x) Ma=f' － F' これらからa=f'/M- μ ’ℊ y) N=Mg 公式）F' ＝μ ’N エ）滑りだした時なので最大摩擦力としてつりあいで 解く。斜面をｘ軸にとり、最大摩擦力 F0として x)F0＝ MgSin θ y)N=mgCos θ これを F0= μ N F ｆ F０ ｆ０ N Mg F’ ｆ ’ N Mg a θ０ Mg N に代入しμ＝ tan θ０ オ）斜面下方を正として x)Ma=MgSin θー F' ① y)N=MgCos θだから 摩擦の公式）F' ＝μ ’N= μ ’MgCos θ を①に代入して a=g(Sin θーμ ’Cos θ）②となる。摩擦があると上りと下りで加速度が 異なることに注意する。a=0 で等速になりこの時μ ’ ＝ tan θである。 P2 摩擦力の仕事は負だが、摩擦に抗してした仕事は正になる。 V０ S V F’ N Mg 摩擦力の仕事は F と S が反対なので Wマ＝ー F'S ＝－μ ’NS ＝－μ ’MgS よって摩擦に逆らう仕事 W物＝ -Wマだから W 物＝μ ’MgS で正の値になる。熱はこれ に等しく、正の値になりQ= μ ’MgS となる。 エネルギー保存則より 1/2・MV02=1/2・MV2＋μ ’MgS よって S=(V02-V2)/(2 μ ’ℊ ) 水平面の 動摩擦力 F'= μ ’ ｍｇ 摩擦角の式μ＝ tan θ 斜面の 動摩擦力 F'= μ ’ ｍｇ Cos θ
class No. Name 解答 No-20 ☆公式・Point θ ◎ P １．斜面の摩擦力 空白を埋め問題に答えよ。 2009 定期試験 摩擦ある斜面に質量ｍ [kg] の物体を置き、斜面を少しずつ傾けていくとある 角度θ０で物体は滑りはじめる。この時の角度を といい。 滑る直前の摩擦力は 摩擦力である。 Ｑ１. この時の力を図示し、摩擦角θ０を最大摩擦係数μで表せ。 θo θ Ｔ Ｑ２. 上図右のようにこの斜面（角度θ）で物体を上向きに動かすの必要な 力Ｔを求めよ。 Ｑ３. この物体を斜面の下から初速Ｖ o で斜面上方に滑らしたら最高点の高さ の位置で元に戻ってきた。動摩擦係数をμ ’ として元にもどるまでの時間を 求めよ。また最高点の高さｈを求めよ。 ｈ Ｖｏ p1 順に 摩擦角 最大静止摩擦力 Q1) 斜面方向のつりあいｍｇ Sin θ o ＝ Fo ①斜面鉛直方向 ｍｇ Cos θ o ＝ N ② 最大摩擦の式から Fo ＝μ N ③ ①、②、③から μ＝ tan θ o Q2) 斜面をｘ軸にとる。最大摩擦力が働くと考えつりあいでとく。 斜面方向）T= ｍｇ Sin θ＋ Fo ① ｙ方向） N ＝ｍｇ Cos θ ② 摩擦の式） Fo ＝μ N ③ ②、③を①に 代入するとT= ｍｇ（Sin θ＋μ Cos θ） Q3) 斜面をｘ軸にとる。動摩擦力は運動と反対向きに働く １）上昇中の加速度（斜面上向きを正）
斜面方向）ma=- ｍｇ Sin θー F' ① ｙ方向） N ＝ｍｇ Cos θ ② 摩擦の式）F' ＝μ 'N ③ ②、③を①に代入すると
a= ーｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）
最高点までの時間ｔ１は V=Vo ＋ at から
０＝ Vo ーｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）ｔ１
ｔ１＝ Vo/{ ｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）} ④ よってこの時の変位を S とし
S=Vot1－ 1/2・ｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）ｔ１２を用いるが Vot1の半分から
S=Vo2/{2g(Sin θ＋μ 'Cos θ）} よって ⑤
ｈ＝ S Sin θ＝ Sin θ Vo2/{2 ｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）}
２）下降中の加速度（斜面下向きを正）
斜面方向）ma= ｍｇ Sin θ－ F' ① ｙ方向） N ＝ｍｇ Cos θ ② 摩擦の式）F' ＝μ 'N ③ ②、③を①に代入すると a= ｇ（Sin θ－μ 'Cos θ） ⑤式の距離 S を初速０で下ればいいからこの時間をｔ２とすると
S= １/2・at2から
Vo2/{2 ｇ（Sin θ＋μ 'Cos θ）} ＝ｇ（Sin θ－μ 'Cos θ）t2/2
ｔ２＞０からｔ２＝ Vo/g √ {Sin２θ―μ '2Cos２θ } よって往復では
摩擦力・・水平面はμｍｇ、斜面はμ mgCos θ 斜面方向の重力はつねにｍｇ Sin θ ｍｇと斜面の交点が摩擦と垂直抗力の作用点 θ N Fo mg ｍｇと斜面の交 点が摩擦と垂直 抗力の作用点 摩擦角θ０ μ＝ tan θ t1+ t2= V0 g(sinθ + µ cosθ) + V0 g sin2θ− µ 2cos2θ
class No. Name 解答 No-21 A ｍ kg B Mkg ｆ イ）A,B 間のみ摩擦あり、A の加速度 はα、B の加速度はβとせよ。 ◎ P2．複数物体 運動方程式を立てる 摩擦あり、動摩擦係数をμ ’ とする 力の図示をし、A,B について運動方程式を立てよ。A が B を押す力は R 張力は T,、垂直抗力は N とせよ。加速度を出すのに必要ならｙ方向等の式も書くこと。 A mkg B Mkg θ ｆ ア）糸で連結 θ =30° 4㎏ T ◎○ P1 斜面と摩擦 図のように 30°の斜面に 4㎏の物体をおいて斜面上向きに T の力で引く。 物体に働く力を図示して次に答えよ。 ア）まさつはないとして T がいくつなら釣り合 うか。 イ）まさつなないとして T=27.6N で引いた時の 加速度を求めよ。 ウ）動摩擦係数が 1/(2 √ 3) の摩擦があるとして T=30N の力で引いたとき の加速度を求めよ。以後、同じ動摩擦係数があるとする。 エ）一定の速さで引き上げるための T を求めよ。 オ）一定の速さを３倍にして引き上げたときの動摩擦力を求めよ。 カ）次に引くのをやめて物体を斜面にそっと置く。30°より少しでも傾きを おおきくすると物体は滑りだした。斜面の摩擦力と静止摩擦係数を求め よ。また、この時働いている摩擦力は何というか。 キ）カの最大摩擦力は斜面の角度を大きくするとどうなるか。 また、物体の質量を大きくするとどうなるか。 動摩擦係数と静止摩擦係数はどちらが大きいか。 ク）斜面上に物体が静止している時、角度を変えることなく、物体を斜面上 方に滑らすために最小限の力を加えたい。どの向きに加えればよいか、 理由と共に加える力を図示しなさい。
ア）A)ma=T-mgSin θー F'A （F'A= μ ’NA＝μ ’mgCos θ）
B）Ma ＝ｆー MgSin θー F'Bー T (F'B= μ ’NB＝μ ’MgCos θ
イ）A)m α =f-F’ F' ＝μ ’NA＝μ ’ ｍｇ B)M β＝μ ’ ｍｇ A mkg B Mkg θ NB T NA F'A F'B P2. 別々に図示する。 A B NA NB F’ Mg Mg mg NA 物体に働く力を作 用反作用や張力は 同じ記号で別々に 図示する。 糸がたるま な け れ ば AB の 加 速 度は同じ β→ α→ P1 ア）斜面方向の力のつりあいから T=mgSin30°＝４× 9.8/2=19.6N イ）斜面方向の運動方程式から ma=T-mgSin30° 4a=8 a=2[m/s²] ウ）斜面をｘ方向として x)ma=T-F'-mgSin30 y）N=mgCos30° 摩擦の公式は動摩擦力が働いているので F'= μ ’N よって ma=T- μ 'mgCos30-mgSin30 ① 4a=30-9.8-19.6=0.6 a=0.15[m/s²] エ）①より a=0 とすると T=29.4N オ）かわらず F'=μ 'mgCos30 ＝ 9.8N カ）引く力がなくなり、斜面ｘ方向には最大静止摩擦力が働きつりあう。 x) F₀= μ mgSin30° ｙ）N=mgCos30° 摩擦の式）F₀ ＝μ N 以上からμ＝ tan30°＝ 1/ √３、F₀ ＝μ mgCos30 ＝ 19.6N キ）角度を大きくしても滑り出す時の最大静止摩擦力は変わらない。 質量を大きくすると比例して摩擦力は大きくなる。 静止摩擦係数のほうが大きい。 ク）垂直抗力を小さくすればよいので 垂直抗力と同じ向きの成分を持つ斜面上 方の力を加えればよい。 θ =30° M T Mgsin30 ° N：垂直抗力 Mg：重力 F’：動摩擦力 θ =30° M T F’ MgCos30 ° a: 力の図示 運動方程式を立てる時は加速度を物体の外 に図示し、加速度の向きを基準に分解する。 θ ｍ㎏
class No. Name 解答 No-22 ☆公式・Point P1. 連結物体 摩擦り 3kg A 2kg 動摩擦係数 0.2 の机に図のような物体を置く。加速度と糸の張力を求めよ。 B ◎ P2. ななめ引き上げ 次のように質量 10kg の物体を摩擦ある面に置き、水平と 45 度上方に力ｆ で引く。（摩擦あり） ただし、静止摩擦係数は 0.5、運動摩擦係数は 0.1 とする。 10kg ｆ 45° ア） ｆが５N の時はまだ物体は動かなかった。 この時の摩擦力の大きさと種類をいえ。 イ） ｆがある値になったら物体は動き始めた、 この値と摩擦力の種類をいえ。 また、もっと簡単に動き出すのはｆが①水平、②水平より上、③水平より下 の場合のどれか。記号で答えよ。 ウ） 動き出した後にｆを 20N の一定な力で引く、 この時の摩擦力の種類と加速度を求めよ。 3kg A 2kg ア）力の図示をして、それぞれ加速度の向きを決める。 B F’ Mg T N T ｍｇ ＊ A は摩擦があるから式は３つ！運動摩擦力を F’ にすると。 ｘ方向） 運動方程式から右向きを＋として Ma=T ー F' ① ｙ方向） 鉛直方向は釣り合いで N=M ｇ② 摩擦の式） 公式から F’= μ ’N ③ ②より F'= μ Mg ④ B については 加速度は下向きになるから ma=mg ー T ⑤ ①に④⑤を代入し、Ｍａ＝ mg ｰ ma ーμ Mg a ＝ 1.4g/5 ⑥ a 張力は⑤より T= ｍｇ－ ma に⑥を代入 T= ２ｇ ( １－ 1.4/5) ＝１４N 加速度は⑥より２．７[m/s２] a ☆同じ糸は同じ記号 ☆途中式は分数で！ 10kg ｆ 45° fCos45° 静止摩擦力が働いているから、つり合いで解く。 摩擦力を F とすると水平方向の釣り合いの式か らF= ｆ Cos45= ３．５N イ）最大摩擦力を Fo にするとこの時は加速度はない。よって釣り合いの式は ｘ方向） 最大摩擦はつりあいだから Fo ＝ｆ Cos45°① ｙ方向） 鉛直方向はｆが斜めだから fSin45°＋ N= ｍｇ② 摩擦の式） 公式から Fo= μ N ③ ③､ ②より N を消去し、①に代入してｆ (Cos45°＋μ SIn45) ＝μｍｇ ｆ＝４７[N] 最大静止摩擦力 ②式からｆの上向きの成分があれば N が小 さくなるので最大摩擦力も小さくなる よって② ウ）加速度を右にとると運動摩擦力を F’ とし、 ｘ方向） 運動方程式から右向きを＋として ma=fCos45 ｰ F’ ① ｙ方向） 鉛直方向は釣り合いだから fSin45°＋ N ＝ｍｇ② 摩擦の式） 公式から F’ ＝μ ’N ③ ①、②、③より 10a ＝ 10 √ 2 － 0.1(98 － 10 √ 2) 加速度は 0.56[m/s２] F mg N P2 ア） ☆斜め引き上げの時は垂直抗力は重力ではない。 ☆垂直抗力がカギ
