目 次
第 1 章 弾塑性体の有限要素定式化 4 1.1 微小変形弾塑性理論 . . . . 4 1.1.1 完全弾塑性体 . . . . 7 1.1.2 等方ひずみ硬化弾塑性体 . . . . 14 1.1.3 等方ひずみ仕事硬化弾塑性体 . . . . 21 1.1.4 移動硬化則 . . . . 28 1.1.5 複合硬化則 . . . . 36 1.1.6 n 乗硬化則 . . . . 42 1.1.7 非線形移動硬化則 . . . . 45 1.1.8 Hooke 則の有限変形問題への拡張 . . . . 54 1.1.9 弾塑性構成則の拡張 . . . . 58 1.1.10 応力積分 . . . . 61 1.1.11 弾塑性体の境界問題の弱形式定式化 . . . . 64 1.1.12 増分型非線形解法の導入 . . . . 66 1.1.13 updated Lagrange 法による内力ベクトルと剛性マトリックス 77 1.1.14 弾塑性構成則マトリックス . . . . 87 1.2 圧力の定式化 . . . . 97 1.2.1 自己随伴条件とポテンシャルの存在 . . . . 98 1.2.2 圧力のポテンシャル存在条件 . . . 100 1.2.3 アイソパラメトリック座標系と圧力 . . . 104 1.2.4 圧力の離散化 . . . 107第 2 章 配管要素の定式化 114 2.1 配管要素 . . . 115 2.1.1 オーバリゼーションの定式化 . . . 115 2.1.2 ワーピングの定式化 . . . 119 2.1.3 ひずみ・節点変位マトリックス . . . 120 2.1.4 配管の弾塑性構成マトリックス . . . 122 2.1.5 内圧による剛性の補性 . . . 131 第 3 章 動的接合解析の定式化 132 3.1 定式化 . . . 132 3.2 1/2 対称モデル . . . 141
第
1
章
弾塑性体の有限要素定式化
弾性体と弾塑性体の基本的な相違点は, 弾性体の現時刻 t における応力は現時 刻 t のひずみのみから評価できるのに対して, 弾塑性体の現時刻 t における応力 は応力とひずみの履歴にも依存する点にある. ここでは弾塑性体の弾性部分につ いては Hooke 則を有限変形領域に拡張して用い, 塑性部分については通常の関連 流れ則を用いた有限要素定式化を行う [1]∼[7].1.1
微小変形弾塑性理論
まず微小変形を仮定した弾塑性理論について説明する. よく知られているように金属材料の単純引っ張りの応力–ひずみ曲線は図 1.1 の ようになる. すなわち初期の弾性的に応答する範囲を超えて (A), 塑性変形を加え た後に除荷すると (B), ひずみの一部は弾性的に回復し, 永久ひずみが残る. 完全 に除荷した後, 再度荷重を加えると除荷を開始した状態付近まで弾性的に応答し, その後降伏し, 塑性変形が進行する. 従ってひずみ e は弾性部分 ee と塑性部分 ep に以下に示すように加算的に分解できると考えることは妥当である. e = ee+ ep (1.1)このとき応力 σ は E を ヤング率として以下のような関係にある. σ = E(e− ep) (1.2) 物体内部の各微小領域についてこの関係が成立すれば, 弾性ひずみと応力の間に は下記の Hooke 則が成立する. σ = Ce: (e− ep) (1.3) ただし, σ, e, ep はそれぞれ 2 階のテンソルで Cauchy 応力, 微小ひずみ, 塑性ひず み, Ce は 4 階のテンソルで Hooke 則の構成則テンソル, : はテンソルのスカラー 積を表す. 式 (1.3) は任意の時刻で成立することから, 以下のような速度型の応力 ひずみ関係式が得られる. ˙ σ = Ce: ( ˙e− ˙ep) (1.4) この式 (1.4) および後述する方法に従い, 塑性ひずみと応力の関係付けを行なうと,
B
A
e
pe
e
e 応力 ひずみ 図 1.1: 応力–ひずみ曲線最終的に以下のような形式の速度型の弾塑性構成式が得られる. ˙ σ = Cep : ˙e (1.5) 塑性ひずみと応力の関係付けの代表的なものに, 流れ則 (flow rule) があり, 通常 弾塑性体を記述する場合, 弾性域の応力ひずみ関係に加え, 以下の 3 つの性質によ り材料は特徴付けられる. 1. 降伏条件 弾性状態から塑性変形が始まる点に対応した応力状態を表す. 2. 流れ則 降伏後の塑性ひずみ速度を現時刻での応力速度と関係付ける. 3. 硬化則 塑性流れの進行中に降伏条件がどのように変化するかを表す. 降伏条件について補足すると, 応力は 3 次元空間の 2 階のテンソルであり, 任意に 座標系を設定した際に 9 成分ある. これを, von Mises 型や Tresca 型などに代表さ れる変換式に従ってスカラー量に変換した相当応力と呼ばれる量を求め, 単軸引っ 張り試験で求めた応力 – ひずみ曲線と対応させるものである. 具体的には, 初期の 降伏条件は, 3 次元的な変形をしている物体内の応力をスカラー量である相当応力 に変換し, 相当応力が 図 1.1 の A に達したら塑性変形が開始すると判定する. ま た変形途中で除荷が発生し, 再び負荷された際には, 相当応力が B に達したとき に塑性変形が再開すると判定する. 本研究では降伏条件として最も広く用いられ ている von Mises の降伏条件のみ考慮する. 以下, 1.1.1 項では硬化を考慮しない完全弾塑性体, 1.1.2 項では等方ひずみ硬化 弾塑性体, 1.1.3 項では等方ひずみ仕事硬化弾塑性体, 1.1.4 項では金属の低サイク ル負荷時に現れるバウシンガー硬化を表現するために導入された移動硬化弾塑性 体, 1.1.5 項では等方硬化と移動硬化を組み合せた複合硬化弾塑性体, 1.1.6 項では 複合硬化則を用いる際の応力–塑性ひずみ曲線のカーブフィットの方法として n 乗 硬化則, 1.1.7 項では, 1.1.4 項で説明する移動硬化則を元に拡張した非線形移動硬 化弾塑性体について説明する. これによりラチェット現象のより精度の高いシミュ レーションが可能になる.
1.1.1
完全弾塑性体
ここでは, 塑性変形の進行に伴う硬化がない完全弾塑性体について説明する. Mises の相当応力 ¯σ は以下のように定義されている. ¯ σ = 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.6) ただし, σij は下式により定義される偏差応力である. σij = σij − 1 3σkkδij (1.7) この Mises 相当応力は偏差応力 σij の第 2 不変量 J2 に対応し, 単純引っ張り状態, すなわち σ11 以外の項がすべて 0 であるときに ¯σ = σ11 となるように係数を調整 されたものである. すなわち J2 は tr σ = σii (1.8) = σii−1 3σkkδii = 0 (1.9) であることを用いると J2 = 1 2 (tr σ)2 − tr σ2 (1.10) =−1 2σ ijσ ij (1.11) であり, 係数については σij σij = σij −1 3σkkδij σij −1 3σkkδij (1.12) = σijσij − 2 3σkkδijσij + 1 9(σkk) 2δ ijδij (1.13) = σijσij − 2 3σkkσii+ 1 9(σkk) 2× 3 (1.14) = σijσij − 1 3(σkk) 2 (1.15) より, σ11 以外の項がすべて 0 であるとき, 以下のようになる. σij σij = σijσij −1 3(σkk) 2 = σ 11σ11−13(σ11)2 = 23(σ11)2 (1.16)降伏関数の定義は, 文献によって様々であるが, 係数倍などを除くと, 主に下記 のように 2 種類の表現がある. このどちらを用いても, 後述するように最終的な速 度型の構成則などの結果は一致する. ここでは確認のため, 両者について定式化を 示す. (1) F = ¯σ− σy (1.17) (2) F = ¯σ2− σy2 (1.18) σy は単軸引っ張り状態での降伏応力に相当する定数である. また塑性変形が起こっ ている間は F = 0 である. この関係を偏差応力空間で示せば図 1.2 のようになる.
σ
ijσ
yσ
ij 弾性状態 降伏曲面 (塑性変形が進行中は応力は この曲面上で変化する) 図 1.2: 完全弾塑性体の降伏曲面 流れ則とは, 下式に示すように, 応力で微分することにより, 塑性ひずみ速度乗 数 ˙λ を係数として塑性ひずみ速度を導くような塑性ポテンシャル Ψ の存在を仮 定することである. ˙epij = ˙λ ∂ Ψ ∂σij (1.19)この塑性ポテンシャルが降伏条件の関数と同一のものと仮定することを関連流れ 則 (associated flow rule) という. すなわち,
˙epij = ˙λ∂ F ∂σij (1.20) なお, この関連流れ則の仮定は土などに適応できないだけで, 通常の金属材料の弾 塑性解析ならば適応可能である. 関連流れ則の大きな特徴に法線則 (normality rule) がある. 式 (1.20) の両辺に ∂σij/∂t をかけると式 (1.22) のようになる. ˙epij∂ σij ∂t = ˙λ ∂ F ∂σij ∂ σij ∂t (1.21) ˙epij˙σij = ˙λ ˙F (1.22) このとき, 塑性変形が進行中は F = 0 であり, したがって ˙F = 0 が成立すること を考えると, 式 (1.22) は ˙epij˙σij = ˙λ ˙F = 0 (1.23) となり, 塑性ひずみ速度と応力速度の内積が 0 , 即ち直交することを意味してい る. 塑性変形が進行中の応力速度は, そのときの応力が降伏曲面上にあることから 降伏曲面の接線方向に平行であり, 塑性ひずみ速度は降伏曲面の法線になっている ことがわかる. これまでに導入された定義を再記すれば以下のようになる. von Mises の相当応力 σ =¯ 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.24) 降伏関数 (1) F = ¯σ− σy (1.25) (2) F = ¯σ2− σy2 (1.26) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ ∂ F ∂σij (1.27) 次に, これらの関係を元に弾塑性の構成則テンソルを求める.
.
σ
ij.
e
pij 降伏曲面 図 1.3: 法線則の概念図 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので ˙F = 0 が成立し, 硬化しないの で降伏応力 σy は定数である. 従って ˙ F = ∂ F ∂σij ˙σij = 0 (1.28) 式 (1.4) に関連流れ則, 式 (1.27) を代入すると˙σij = Cijkl( ˙ekl− ˙epkl) (1.29)
= Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl (1.30) 式 (1.30) の前から ∂F/∂σij をかけると ∂F ∂σij ˙σij = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.31) 式 (1.31) の左辺は式 (1.28) から 0 なので塑性ひずみ速度乗数 ˙λ は以下のように求 められる. ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl (1.32)
式 (1.32) を式 (1.30) に代入し整理すると下式のように弾塑性構成則テンソルが得 られる. ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σkl (1.33) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd ˙ekl (1.34) ∂F /∂σij の具体的な形式は降伏関数 (1), (2) の場合につき, それぞれ以下のように なる． (1) F = ¯σ− σy ∂F ∂σij = 1 2 3 2σ klσ kl −1 2 ∂ ∂σij 3 2σ klσ kl (1.35) = 3 2¯σ ∂ ∂σij σkl−1 3σmmδkl σkl (1.36) = 3 2¯σ δikδjl− 1 3δijδkl σkl (1.37) = 3 2¯σσ ij (1.38) (2) F = ¯σ2− σy2 ∂F ∂σij = 3 ∂ ∂σij σrs− 1 3σmmδrs σrs (1.39) = 3 δirδjs− 1 3δijδrs σrs (1.40) = 3σij (1.41) 式 (1.38) あるいは式 (1.41) の ∂F /∂σij を塑性ひずみ速度乗数, 式 (1.32), 弾塑性構 成則テンソル, 式 (1.34) に代入すれば, (1) F = ¯σ− σy ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl (1.42) = 3 2¯σσ ij Cijkl˙ekl 3 2¯σσ ij Cijkl 3 2¯σσ kl (1.43)
= 2¯σ 3 σij Cijkl˙ekl σijCijklσkl (1.44) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd ˙ekl (1.45) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3 2¯σσ cd 3 2¯σσ ab Cabkl 3 2¯σσ ab Cabcd 3 2¯σσ cd ⎞ ⎠ ˙ekl (1.46) = Cijkl− Cijcdσcd σabCabkl σabCabcdσcd ˙ekl (1.47) (2) F = ¯σ2− σy2 ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl (1.48) = 3σij Cijkl˙ekl 3σij Cijkl 3σkl (1.49) = 1 3 σij Cijkl˙ekl σij Cijklσkl (1.50) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd ˙ekl (1.51) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3σcd 3σab Cabkl 3σab Cabcd 3σcd ⎞ ⎠ ˙ekl (1.52) = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd ˙ekl (1.53) となり, 塑性ひずみ速度乗数は異なるものの, 最終的な速度型の構成式は同一にな ることがわかる.
さらに Hooke 則の構成則テンソル Cijkl は λ, μ を Lam´e の定数として
と表すことができる. μ はせん断弾性係数 G と一致することを考慮すると塑性ひ ずみ速度乗数と弾塑性構成則テンソルに表れる諸量は以下のようになる. Cijcdσcd = (λδijδcd+ 2μδicδjd)σcd (1.55) = λδijσcc + 2μσij (1.56) = 2μσij (1.57) = 2Gσij (1.58) σabCabkl= 2Gσkl (1.59) σabCabcdσcd = 2Gσab σab (1.60) = 4G 3 σ¯ 2 (1.61) 以上を用いると, 塑性ひずみ速度乗数および速度型の構成則テンソルは以下のよ うに求められる. (1) F = ¯σ− σy ˙λ = 2¯σ 3 σji Cijkl˙ekl σijCijklσkl (1.62) = 2¯σ 3 2Gσij ˙ekl 4G 3 σ¯2 (1.63) = σ kl˙ekl ¯ σ (1.64) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σabCabcdσcd ˙ekl (1.65) = Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 ¯σ2 ˙ekl (1.66) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ2 ˙ekl (1.67) (2) F = ¯σ2− σy2 ˙λ = 1 3 σij Cijkl˙ekl σij Cijklσkl (1.68)
= 1 3 2Gσij ˙ekl 4G 3 σ¯2 (1.69) = σ kl˙ekl 2¯σ2 (1.70) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σabCabcdσcd ˙ekl (1.71) = Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 ¯σ2 ˙ekl (1.72) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ2 ˙ekl (1.73)
1.1.2
等方ひずみ硬化弾塑性体
前項では以下の基礎式によって完全弾塑性の構成則テンソルを求めた. von Mises の相当応力 σ =¯ 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.74) 降伏関数 (1) F = ¯σ− σy (1.75) (2) F = ¯σ2− σy2 (1.76) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ ∂ F ∂σij (1.77) 等方硬化弾塑性体の場合, 降伏関数における降伏応力 σy は相当塑性ひずみ, ある いは塑性仕事の関数 Sy に置き換えられ, 降伏曲面は相当塑性ひずみの変化に従っ て原点を共有したまま膨張・収縮する. ここでは, まず定式化が単純な等方ひずみ 硬化について示し, 次項において等方仕事硬化について述べる. 等方ひずみ硬化の場合, 降伏関数における降伏応力 Sy は相当塑性ひずみ ¯ep の 関数として与えられる. やはり文献によって下記のように 2 種類の表現があるが, 後述するように最終的に得られる弾塑性の構成則テンソルは一致する. (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) (1.78) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) (1.79)σ
ijσ
yσ
ijSy
弾性状態 初期降伏曲面 後続の降伏曲面 図 1.4: 等方硬化弾塑性体の降伏曲面 ただし, 相当塑性ひずみ ¯ep は下式により定義される相当塑性ひずみ速度を積分し たものである. ˙¯ ep = 2 3e˙pije˙pij 1 2 (1.80) ¯ ep = ˙¯ ep dt (1.81) 一般に等方硬化を仮定した弾塑性解析では, 降伏応力は単軸引っ張り状態での応 力–塑性ひずみ曲線が σ = H(ep) の関係にあるとき Sy = H(¯ep) (1.82) であると仮定する. また実際の定式化では以下のような硬化係数 H を用いて記 述する場合が多い. ∂Sy ∂¯ep = H (1.83) 改めて等方ひずみ硬化の場合の条件を再記すれば, von Mises の相当応力 σ =¯ 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.84)降伏関数 (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) (1.85) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) (1.86) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ∂ F ∂σij (1.87) 相当塑性ひずみ速度 e˙¯p = 2 3e˙pije˙pij 1 2 (1.88) これらを元に弾塑性の構成則テンソルを求める. 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので ˙F = 0 が成立する. すなわち ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij + ∂F ∂Sy ∂Sy ∂¯epe˙¯ p = 0 (1.89) 降伏関数の形式に伴って (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij − H e˙¯p = 0 (1.90) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij− 2SyH e˙¯p = 0 (1.91) = ∂F ∂σij ˙σij− 2¯σH e˙¯p = 0 (1.92) ただし, 式 (1.91) から式 (1.92) の変形では, 塑性変形が進行中は常に ¯σ = Sy であ ることを用いている. ∂F/∂σij の具体的な形式は前述のように (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ∂F ∂σij = 3 2¯σσ ij (1.93) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ∂F ∂σij = 3σ ij (1.94) であるが, これを式 (1.87)(関連流れ則) に代入すると, それぞれ以下のようになる. (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙epij = ˙λ 3 2¯σσ ij (1.95)
(2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙epij = ˙λ3σij (1.96) 式 (1.95), (1.96) をそれぞれ相当塑性ひずみ速度の定義式, 式 (1.88) に代入すると, 以下のように相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数の対応付けを行なうことがで きる． (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙¯ ep = 2 3˙λ 3 2¯σσ ij˙λ 3 2¯σσ ij 1 2 (1.97) = ˙λ (1.98) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙¯ ep = 2 3˙λ3σ ij˙λ3σ ij 1 2 (1.99) = 2¯σ ˙λ (1.100) これらをそれぞれ式 (1.90), (1.92) に代入すれば (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij − H ˙λ = 0 (1.101) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij − 4¯σ 2H˙λ = 0 (1.102) 式 (1.4) に関連流れ則, 式 (1.87) を代入すると,
˙σij = Cijkl( ˙ekl− ˙epkl) (1.103)
= Cijkl( ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl) (1.104) 式 (1.104) の前から ∂F/∂σij をかけると ∂F ∂σij ˙σij = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.105)
式 (1.105) の左辺にそれぞれ式 (1.101), (1.102) を代入すると塑性ひずみ速度乗数 ˙λ は以下のように求められる． (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) H˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.106) ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl + H (1.107) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) 4¯σ2H˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.108) ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl + 4¯σ 2H (1.109) 式 (1.107), (1.109) を式 (1.104) に代入し整理すると下式のように弾塑性構成則テ ンソルが得られる． (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + H ∂F ∂σkl (1.110) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + H ˙ekl (1.111) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + 4¯σ 2H ∂F ∂σkl (1.112) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + 4¯σ 2H ˙ekl (1.113) ここで, 式 (1.93) あるいは式 (1.94) の ∂F /∂σij を塑性ひずみ速度乗数, 式 (1.107) あるいは式 (1.109), 弾塑性構成則テンソル, 式 (1.111) あるいは式 (1.113) に代入 すれば,
(1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + H (1.114) = 3 2¯σσ ij Cijkl˙ekl 3 2¯σσ ij Cijkl 3 2¯σσ kl + H (1.115) = 2¯σ 3 σijCijkl˙ekl σij Cijklσkl +4¯σ92H (1.116) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + H ˙ekl (1.117) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3 2¯σσ cd 3 2¯σσ ab Cabkl 3 2¯σσ ab Cabcd 3 2¯σσ cd + H ⎞ ⎠ ˙ekl (1.118) = Cijkl− Cijcdσcd σabCabkl σabCabcdσcd + 4 ¯σ92H ˙ekl (1.119) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + 4¯σ 2H (1.120) = 3σij Cijkl˙ekl 3σij Cijkl 3σkl + 4¯σ2H (1.121) = 1 3 σijCijkl˙ekl σij Cijklσkl +4¯σ92H (1.122) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + 4¯σ 2H ˙ekl (1.123) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3σcd 3σab Cabkl 3σab Cabcd 3σcd + 4¯σ2H ⎞ ⎠ ˙ekl (1.124) = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.125)
となり, 塑性ひずみ速度乗数は異なるものの, 最終的な速度型の構成式は同一に なることがわかる. さらに, Hooke 則の関係式, 式 (1.55)∼(1.61) を用いることにより, 塑性ひずみ速 度乗数および速度型の構成則テンソル, 相当塑性ひずみ速度は以下のように求め られる. (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙λ = 2¯σ 3 σij Cijkl˙ekl σijCijklσkl+ 4¯σ92H (1.126) = 2¯σ 3 2Gσkl ˙ekl 4G 3 ¯σ2+ 4¯σ 2 9 H (1.127) = σ kl˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.128) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.129) = Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H ˙ekl (1.130) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ2 1 + 3GH ˙ekl (1.131) ˙¯ ep = ˙λ = σ kl˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.132) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙λ = 1 3 σij Cijkl˙ekl σij Cijklσkl+ 4¯σ92H (1.133) = 1 3 2Gσkl ˙ekl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H (1.134) = σ kl˙ekl 2¯σ2 1 + H3G (1.135) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.136)
= Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H ˙ekl (1.137) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ2 1 + 3GH ˙ekl (1.138) ˙¯ ep = 2¯σ ˙λ = 2¯σ σ kl˙ekl 2¯σ2 1 + 3GH = σkl ˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.139) 硬化係数 H ≡ 0 であるとすれば, 前項で導いたような完全弾塑性体の場合の結果 と一致する．
1.1.3
等方ひずみ仕事硬化弾塑性体
等方ひずみ硬化の場合, 降伏関数における降伏応力 Sy は塑性ひずみの関数とし て表されているが, 等方ひずみ仕事硬化の場合, 降伏関数における降伏応力 Sy は 塑性ひずみ仕事の関数に置き換えられる. なお, こちらの定式化の方が等方ひずみ 硬化よりも一般的で, 実際にもよく用いられているが, 後述するように von Mises の降伏条件を用いる限り両者は一致する. また降伏条件についても, やはり文献に よって下記のように主に 2 種類の表現があるが, 後述するように最終的に得られる 弾塑性の構成則テンソルは一致する. (1) F = ¯σ− Sy(Wp) (1.140) (2) F = ¯σ2 − Sy2(Wp) (1.141) ただし, Wp は下式により定義される塑性ひずみ仕事である. ˙ Wp = σij˙epij (塑性ひずみ仕事率) (1.142) Wp = σije˙p ijdt (1.143) 降伏応力の関係式は等方ひずみ硬化の場合と同じで, 単軸引っ張り状態での応力塑 性ひずみ曲線が σ = H(ep) の関係にあるとき Sy = H(¯ep) (1.144)であるとする. この仮定を置くことは本質的に式 (1.140), (1.141) に替えて式 (1.85), (1.86) を降伏条件式とすることに他ならない. 実際の定式化では以下のような硬化 係数 H を用いて記述する場合が多い. ∂Sy ∂¯ep = H (1.145) 文献によっては相当塑性ひずみ速度の定義として式 (1.88) ではなく ˙ Wp = σij˙epij = ¯σ ˙¯ep (1.146) を用いる場合があるが, von Mises の降伏条件, 関連流れ則を用いる場合には両者 は等価である. ここでは, まず両者が等価であることを証明する. まず, 式 (1.88) を定義にして式 (1.146) を導く. 関連流れ則および降伏条件より (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙epij = ˙λ∂F ∂σij = ˙λ 3 2¯σσ ij (1.147) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙epij = ˙λ∂F ∂σij = ˙λ3σ ij (1.148) 相当塑性ひずみの定義を用い, 相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数を対応させる. (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙¯ ep = 2 3˙λ 3 2¯σσ ij˙λ 3 2¯σσ ij 1 2 = ˙λ (1.149) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙¯ ep = 2 3˙λ3σ ij˙λ3σ ij 1 2 = 2¯σ ˙λ (1.150) この関係を用いると, 塑性ひずみ仕事は以下のように表される. (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙ Wp = σij˙epij = σij˙λ 3 2¯σσ ij = ˙λ¯σ = ¯σ ˙¯ep (1.151)
(2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙ Wp = σij˙epij = σij˙λ3σij = 2 ˙λ¯σ2 = ¯σ ˙¯ep (1.152) 逆に式 (1.146) を定義として式 (1.88) を導く. 相当塑性ひずみ速度の定義, 関連 流れ則および降伏条件を用いることにより, 相当塑性ひずみ速度と, 塑性ひずみ速 度乗数の対応付けを行なう. (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙ Wp = ¯σ ˙¯ep = σij˙epij = σij˙λ 3 2¯σσ ij = ˙λ¯σ (1.153) ˙¯ ep = ˙λ (1.154) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙ Wp = ¯σ ˙¯ep = σij˙eijp = σij˙λ3σij = 2 ˙λ¯σ2 (1.155) ˙¯ ep = 2 ˙λ¯σ (1.156) 式 (1.147), (1.148) それぞれ, 両辺の内積をとると, (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙epij˙epij = ˙λ 3 2¯σσ ij˙λ 3 2¯σσ ij = 3 2˙λ 2 = 3 2( ˙¯e p)2 (1.157) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙epij˙epij = ˙λ3σij˙λ3σij = 3 2(2 ˙λ¯σ) 2 = 3 2( ˙¯e p)2 (1.158) 従って下式が得られる. ˙¯ ep = 2 3˙e p ij˙epij 1/2 (1.159) 改めて等方ひずみ仕事硬化の場合の条件を再記すれば von Mises の相当応力 σ =¯ 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.160) 降伏関数 (1) F = ¯σ− Sy(Wp) (1.161)
(2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) (1.162) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ∂F ∂σij (1.163) 塑性ひずみ仕事率 W˙ p = σij˙epij = ¯σ ˙¯ep (1.164) これらを元に弾塑性の構成則テンソルを求める. 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので ˙F = 0 が成立する. ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij + ∂F ∂Sy ∂Sy ∂WpW˙ p = 0 (1.165) = ∂F ∂σij ˙σij + ∂F ∂Sy ∂Sy ∂¯ep ∂¯ep ∂Wpσij˙λ ∂F ∂σij = 0 (1.166) (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij − H 1 ¯ σσij˙λ 3 2¯σσ ij (1.167) = ∂F ∂σij ˙σij − H ˙λ (1.168) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙ F = ∂F ∂σij ˙σij − 2¯σH 1 ¯ σσij˙λ3σ ij (1.169) = ∂F ∂σij ˙σij − 4H ˙λ¯σ2 (1.170) ただし, 塑性変形が進行中は常に ¯σ = Sy であることを用いている. 式 (1.168), (1.170) は前節の式 (1.101), (1.102) と同一なので, これ以降は等方ひずみ硬化と同 じ手順に従って構成則テンソルを求めることができるが, 確認のため以下に実際の 手順を示す. 式 (1.4) に関連流れ則, 式 (1.163) を代入すると
˙σij = Cijkl( ˙ekl− ˙epkl) (1.171)
= Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl (1.172)
式 (1.172) の前から ∂F/∂σij をかけると ∂F ∂σij ˙σij = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.173) 式 (1.173) の左辺にそれぞれ式 (1.168), (1.170) を代入すると塑性ひずみ速度乗数 ˙λ は以下のように求められる． (1) F = ¯σ− Sy(Wp) H˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.174) ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl + H (1.175) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) 4¯σ2H˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl− ∂F ∂σijCijkl˙λ ∂F ∂σkl (1.176) ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl + 4¯σ 2H (1.177) 式 (1.175), (1.177) を式 (1.172) に代入し整理すると下式のように弾塑性の構成則 テンソルが得られる. (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + H ∂F ∂σkl (1.178) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + H ˙ekl (1.179) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + 4¯σ 2H ∂F ∂σkl (1.180) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + 4¯σ 2H ˙ekl (1.181)
ここで, 式 (1.93) あるいは式 (1.94) の ∂F /σijを塑性ひずみ速度乗数, 式 (1.175) あ るいは式 (1.177), 弾塑性構成則テンソル式 (1.179) あるいは式 (1.181) に代入す れば, (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + H (1.182) = 3 2¯σσ ij Cijkl˙ekl 3 2¯σσ ij Cijkl 3 2¯σσ kl + H (1.183) = 2¯σ 3 σijCijkl˙ekl σij Cijklσkl +4¯σ92H (1.184) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + H ˙ekl (1.185) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3 2¯σσ cd 3 2¯σσ ab Cabkl 3 2¯σσ ab Cabcd 3 2¯σσ cd + H ⎞ ⎠ ˙ekl (1.186) = Cijkl− Cijcdσcd σabCabkl σabCabcdσcd + 4 ¯σ2 9 H ˙ekl (1.187) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + 4¯σ 2H (1.188) = 3σij Cijkl˙ekl 3σij Cijkl 3σkl + 4¯σ2H (1.189) = 1 3 σijCijkl˙ekl σij Cijklσkl +4¯σ92H (1.190) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + 4¯σ 2H ˙ekl (1.191) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3σcd 3σab Cabkl 3σab Cabcd 3σcd + 4¯σ2H ⎞ ⎠ ˙ekl (1.192)
= Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.193) となり, 塑性ひずみ速度乗数は異なるものの, 最終的な速度型の構成式は同一に なることがわかる. さらに, Hooke 則の関係式, 式 (1.55)∼(1.61) を用いることにより, 塑性ひずみ速 度乗数および速度型の構成則テンソル, 相当塑性ひずみ速度は以下のように求め られる. (1) F = ¯σ− Sy(Wp) ˙λ = 2¯σ 3 σij Cijkl˙ekl σijCijklσkl+ 4¯σ92H (1.194) = 2¯σ 3 2Gσkl ˙ekl 4G 3 ¯σ2+ 4¯σ 2 9 H (1.195) = σ kl˙ekl ¯ σ2 1 + H3G (1.196) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.197) = Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H ˙ekl (1.198) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ 1 + H3G ˙ekl (1.199) ˙¯ ep = ˙λ = σ kl˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.200) (2) F = ¯σ2− Sy2(Wp) ˙λ = 1 3 σij Cijkl˙ekl σij Cijklσkl+ 4¯σ92H (1.201) = 1 3 2Gσkl ˙ekl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H (1.202) = σ kl˙ekl 2¯σ2 1 + H3G (1.203)
˙σij = Cijkl− Cijcdσ cdσ abCabkl σab Cabcdσcd + 4¯σ92H ˙ekl (1.204) = Cijkl− 2Gσij 2Gσkl 4G 3 σ¯2+4¯σ 2 9 H ˙ekl (1.205) = Cijkl− 3Gσ ijσ kl ¯ σ2 1 + 3GH ˙ekl (1.206) ˙¯ ep = 2¯σ ˙λ = 2¯σ σ kl˙ekl 2¯σ2 1 + 3GH = σkl ˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.207) 硬化係数 H ≡ 0 であるとすれば, 1.1.1 節で導いたような完全弾塑性体の速度 型構成則である式 (1.67), (1.73) を含んでいる.
1.1.4
移動硬化則
一般に金属材料に低サイクル負荷を与えた場合, 荷重が反転し, 再び材料が降伏 する際の降伏応力は, 反転前に比べて大きく低下することが知られており, バウシ ンガ効果 (Bauschinger effect) と呼ばれている. しかしながら前項で説明した等方 硬化則では, このバウシンガ効果を表すことができない. このような挙動を表すた めに背応力 (back stress) が導入されており, 移動硬化則と呼ばれている. ここでは Prager の線形移動硬化則について述べる. 等方硬化則では以下の基礎式によって構成則テンソルを求めた. von Mises の相当応力 σ =¯ 3 2σ ijσ ij 1 2 (1.208) 降伏関数 (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) (1.209) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) (1.210) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ∂ F ∂σij (1.211) ただし, Sy は相当塑性ひずみ, あるいは塑性仕事の関数であり, このとき, 降伏曲 面は相当塑性ひずみの変化に従って原点を共有したまま膨張・収縮する. これに引張応力 圧縮応力 ひずみ 圧縮側降伏応力 引張側降伏応力 背応力 図 1.5: バウシンガ効果 対して移動硬化則では相当応力を求める際に, 偏差応力ではなく, Cauchy 応力か ら背応力 αij を引いた量の偏差成分を用いる. すなわち ˜ σij = σij − αij (1.212) ¯ σ = 3 2σ˜ ijσ˜ ij 1/2 (1.213) 降伏関数は式 (1.213) により求められた相当応力を用い (1) F = ¯σ− σy (1.214) (2) F = ¯σ2− σy2 (1.215) とする. ただし, σy は初期降伏応力である. これは降伏曲面が塑性変形の進行にと もなって, 大きさを変えずに移動することを示している. 改めて移動硬化の場合の条件を再記すれば以下のようになる. von Mises の相当応力 σ˜ij = σij − αij (1.216)
σ
ijσ
yσ
ijα
ij= −
~
σ
ijσ
ijα
ij 弾性状態 初期降伏曲面 後続の降伏曲面 図 1.6: 線形移動硬化弾塑性体の降伏曲面 ¯ σ = 3 2˜σ ijσ˜ ij 1 2 (1.217) 降伏関数 (1) F = ¯σ− σy (1.218) (2) F = ¯σ2− σy2 (1.219) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ∂F ∂σij (1.220) また, 相当塑性ひずみ速度を以下のように定義する. ˙¯ ep = 2 3˙e p ij˙epij 1 2 (1.221) 背応力の成長則としては代表的な Prager 則を採用する. ˙ αij = Kp˙epij (1.222) ここで Kpは比例定数である. 塑性変形の進展によってのみ αij は成長すると仮定すれば, 逆に塑性変形がない 状態では αij は, 成長してはならない. すなわち ˙epij = 0 のとき ˙αij = 0 でなければならない. Kp はこの条件を満たすように設定する必要がある. Prager 則の場合 は ˙αij = Kp˙epij すなわち, ˙αijは ˙epijに比例する. 従って Kpとしてどのようなもの をとっても ˙epij = 0⇒ ˙αij = 0 は満たされる. 以上より背応力の成長則として, 以下の式を用いることにする. ˙ αij = Cp˙epij (Cpは定数) (1.223) 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので ˙F = 0 が成立する. ˙ F = ∂F ∂ ˜σij ˙˜σij = 0 (1.224) ∂F /∂ ˜σij の具体的な形式は降伏関数の形式に伴って (1) F = ¯σ− σy ∂F ∂ ˜σij = 3 2¯σσ˜ ij (1.225) (2) F = ¯σ2− σy2 ∂F ∂ ˜σij = 3˜σ ij (1.226) であるが, これを式 (1.220) (関連流れ則) に代入するとそれぞれ以下のようになる. (1) F = ¯σ− σy ˙epij = ˙λ 3 2¯σσ˜ ij (1.227) (2) F = ¯σ2− σy2 ˙epij = ˙λ 3˜σij (1.228) 式 (1.227),(1.228) をそれぞれ相当塑性ひずみ速度定義式, 式 (1.221) に代入する と, 以下のように相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数の対応付けを行うことが できる. (1) F = ¯σ− σy ˙¯ ep = 2 3 ˙λ 3 2¯σσ˜ ij ˙λ 3 2¯σ˜σ ij 1 2 (1.229) = ˙λ (1.230)
(2) F = ¯σ2− σy2 ˙¯ ep = 2 3 ˙λ 3˜σij ˙λ 3˜σij 1 2 (1.231) = 2¯σ ˙λ (1.232) 式 (1.4) に関連流れ則, 式 (1.220) を代入すると
˙σij = Cijkl( ˙ekl− ˙epkl) (1.233)
= Cijkl( ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl) (1.234) 式 (1.234) の両辺から背応力 αij を引き, 前から ∂F/∂σij をかけると以下のように なる. ∂F ∂σij( ˙σij − ˙αij) = ∂F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl − ˙αij (1.235) ここで, ∂F ∂σij = ∂F ∂ ˜σkl ∂ ˜σkl ∂σij = ∂F ∂ ˜σij (1.236) および, 式 (1.224) を用いれば, 式 (1.235) の左辺は 0 に等しい. 0 = ∂F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl − αij (1.237) 相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数の対応 (式 (1.230), (1.232)) を用いて, 背 応力の成長則を ˙λ を含んだ形に書き直すと以下のようになる. (1) F = ¯σ− σy ˙ αij = Cp˙epij (1.238) = Cp˙λ∂ F ∂σij (1.239) = Cp˙λ 3 2¯σσ˜ ij (1.240) = ˙λ 3Cp 2¯σ σ˜ ij (1.241)
(2) F = ¯σ2− σy2 ˙ αij = Cp˙epij (1.242) = Cp˙λ∂ F ∂σij (1.243) = Cp˙λ3˜σij (1.244) = ˙λ 3Cpσ˜ij (1.245) いずれの場合でも形式的に, 以下のように表すことができる. ˙ αij = ˙λMij (1.246) 式 (1.237) に式 (1.246) を代入すると以下のようになる. 0 = ∂F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂F ∂σkl − ˙λMij (1.247) これを整理することにより, 塑性ひずみ速度乗数が以下のように求められる. ˙λ = ∂F ∂σijCijkl˙ekl ∂F ∂σijCijkl ∂F ∂σkl + ∂ F ∂σijMij (1.248) 式 (1.248) を式 (1.234) に代入し整理すると下式のように弾塑性の構成則テンソル が得られる. ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂F ∂σabCabcd˙ecd ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + ∂ F ∂σabMab ∂F ∂σkl (1.249) = Cijkl− Cijcd ∂F ∂σcd ∂F ∂σabCabkl ∂F ∂σabCabcd ∂F ∂σcd + ∂ F ∂σabMab ˙ekl (1.250) さらに, 式 (1.225) あるいは式 (1.226) の ∂F /∂σij 及び式 (1.236) の関係を塑性ひず み速度乗数式 (1.248), 弾塑性構成則テンソル式 (1.250) に代入し整理すると下式の ようになる. (1) F = ¯σ− σy ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + ∂ F ∂σijMij (1.251)
= 3 2¯σσ˜ ij Cijkl˙ekl 3 2¯σσ˜ ij Cijkl 3 2¯σσ˜ kl + 3 2¯σσ˜ ij 3Cp 2¯σσ˜ ij (1.252) = σ˜ ijCijkl˙ekl 3 2¯σ ˜ σij Cijklσ˜kl+ Cpσ˜ijσ˜ij (1.253) ˙σij = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + ∂ F ∂σabMab ˙ekl (1.254) = ⎛ ⎝Cijkl− Cijcd 3 2¯σσ˜ cd 3 2¯σσ˜ ab Cabkl 3 2¯σ˜σ ab Cabcd 3 2¯σσ˜ cd + 3 2¯σσ˜ ab 3Cp 2¯σσ˜ ab ⎞ ⎠ ˙ekl (1.255) = Cijkl− Cijcdσ˜ cdσ˜ abCabkl ˜ σabCabcdσ˜cd + Cpσ˜ab σ˜ab ˙ekl (1.256) (2) F = ¯σ2− σy2 ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + ∂ F ∂σijMij (1.257) = 3˜σij Cijkl˙ekl 3˜σij Cijkl 3˜σkl + 3˜σij 3Cpσ˜ij (1.258) = σ˜ ijCijkl˙ekl 3 σ˜ij Cijklσ˜kl + Cpσ˜ij σ˜ij (1.259) さらに, Hooke 則の関係式, 式 (1.55)∼(1.61) を用いることにより塑性ひずみ速 度乗数および速度型の構成則テンソル, 相当塑性ひずみ速度は以下のように求め られる. (1) F = ¯σ− σy ˙λ = σ˜ ijCijkl˙ekl 3 2¯σ ˜ σijCijklσ˜kl + Cpσ˜ij σ˜ij (1.260) = 2G˜σkl ˙ekl 3 2¯σ 2G˜σkl σ˜kl +2Cp 3 σ¯2 (1.261) = 2G˜σ kl˙ekl 3 2¯σ 2G23σ¯2+2Cp 3 σ¯2 (1.262)
= σ˜ kl˙ekl ¯ σ 1 + Cp 2G (1.263) = σ˜ kl˙ekl ¯ σ 1 + 3GH (1.264) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ˜ cdσ˜ abCabkl ˜ σab Cabcdσ˜cd+ Cpσ˜ab σ˜ab ˙ekl (1.265) = Cijkl− (2G˜σ ij)(2G˜σ kl) (2G˜σcd)˜σcd + 2Cp 3 σ¯2 ˙ekl (1.266) = ⎛ ⎝Cijkl− 2G˜σij σ˜ kl 3 2σ¯2 1 + Cp 2G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.267) = ⎛ ⎝Cijkl− 3G˜σij σ˜ kl ¯ σ2 1 + Cp 2G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.268) = ⎛ ⎝Cijkl− 3G˜σij σ˜ kl ¯ σ2 1 + H3G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.269) ˙¯ ep = ˙λ = σ˜ kl˙ekl ¯ σ 1 + H3G (1.270) ただし, 3Cp 2 = H としている. (2) F = ¯σ2− σy2 ˙λ = σ˜ ijCijkl˙ekl 3 σ˜ij Cijklσ˜kl+ Cpσ˜ij σ˜ij (1.271) = 2G˜σkl ˙ekl 3 2G˜σkl σ˜kl+ 2Cp 3 σ¯2 (1.272) = 2G˜σ kl˙ekl 3 2G23σ¯2+2Cp 3 σ¯2 (1.273) = σ˜ kl˙ekl 2¯σ2 1 + Cp 2G (1.274)
= σ˜ kl˙ekl 2¯σ2 1 + H3G (1.275) ˙σij = Cijkl− Cijcdσ˜ cdσ˜ abCabkl ˜ σab Cabcdσ˜cd+ Cpσ˜ab σ˜ab ˙ekl (1.276) = Cijkl− (2G˜σ ij)(2G˜σ kl) (2G˜σcd)˜σcd + 2Cp 3 σ¯2 ˙ekl (1.277) = ⎛ ⎝Cijkl− 2G˜σij σ˜ kl 3 2σ¯2 1 + Cp 2G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.278) = ⎛ ⎝Cijkl− 3G˜σij σ˜ kl ¯ σ2+ 1 + Cp 2G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.279) = ⎛ ⎝Cijkl− 3G˜σij σ˜ kl ¯ σ2+ 1 + H3G ⎞ ⎠ ˙ekl (1.280) ˙¯ ep = 2¯σ ˙λ = σ˜ kl˙ekl ¯ σ 1 + 3GH (1.281) ただし, 3Cp 2 = H としている. 式 (1.264),(1.269),(1.270), (1.275),(1.280),(1.281) から分かるように, 背応力が成 長しない, 即ち Cp = H = 0 のときには 1.1.1 項で導いたような完全弾塑性体の結 果と一致する. 降伏関数の違いによって塑性ひずみ速度乗数は異なるものの, 構成 は式と相当塑性ひずみ速度は同一になり, 形式的に等方硬化弾塑性体の場合と同 じになる.
1.1.5
複合硬化則
1.1.2, 1.1.3 項において説明した等方硬化則の降伏曲面は, 相当塑性ひずみの変化 に従って原点を共有したまま膨張・収縮する. 一方, 1.1.4 項で説明した移動硬化 則の降伏曲面は, 塑性変形の進行に伴って大きさを変えずに移動している. 一般の金属材料ではこれらが同時に起こっていると考えられる．ここでは, 等方硬化則と 移動硬化則を組み合わせた複合硬化則について述べる. 複合硬化則では以下の基礎式によって構成則テンソルを求める. von Mises の相当応力 σ˜ij = σij − αij (1.282) ¯ σ = 3 2σ˜ ijσ˜ ij 1 2 (1.283) 降伏関数 (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) (1.284) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) (1.285) 関連流れ則 ˙epij = ˙λ∂F ∂σij (1.286) Prager 則 α˙ij = Cp˙λ∂F ∂σij = Cp˙e p ij (1.287) 相当塑性ひずみ速度 e˙¯p = 2 3˙e p ij˙epij 1 2 (1.288) 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので ˙F = 0 が成立する. ˙ F = ∂F ∂ ˜σij ˙˜σij + ∂ F ∂Sy ∂Sy ∂¯epe˙¯ p = 0 (1.289) 降伏関数の形式に伴って (1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ˙ F = ∂ F ∂ ˜σij ˙˜σij − ∂Sy ∂¯epe˙¯ p = 0 (1.290) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙ F = ∂ F ∂ ˜σij ˙˜σij − 2Sy ∂Sy ∂¯epe˙¯ p = 0 (1.291) = ∂ F ∂ ˜σij ˙˜σij − 2¯σ ∂Sy ∂¯epe˙¯ p = 0 (1.292) ただし, 式 (1.291) から式 (1.292) の変形では塑性変形が進行中は常に ¯σ = Sy であ ることを用いている. ∂F/∂ ˜σij の具体的な形式は
(1) F = ¯σ− Sy(¯ep) ∂ F ∂ ˜σij = 3 2¯σσ˜ ij (1.293) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ∂ F ∂ ˜σij = 3˜σ ij (1.294) であり, また ∂ F ∂σij = ∂ F ∂ ˜σkl ∂ ˜σkl ∂σij = ∂ F ∂ ˜σij (1.295) を用いれば, 以下のように相当塑性ひずみと塑性ひずみ乗数の対応付けを行なうこ とができる. (1) F = ¯σij − Sy(¯ep) ˙epij = ˙λ 3 2¯σσ˜ ij (1.296) ˙¯ ep = ˙λ (1.297) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙epij = ˙λ3˜σij (1.298) ˙¯ ep = 2¯σ ˙λ (1.299) 式 (1.290), (1.292) に, 式 (1.297), (1.299) を代入すると (1) F = ¯σij − Sy(¯ep) ˙ F = ∂ F ∂ ˜σij ˙˜σij − ∂Sy ∂¯ep ˙λ = 0 (1.300) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙ F = ∂ F ∂ ˜σij ˙˜σij − 4¯σ 2∂Sy ∂¯ep ˙λ = 0 (1.301) 式 (1.4) に関連流れ則, 式 (1.286) を代入すると
˙σij = Cijkl( ˙ekl− ˙epij) (1.302)
= Cijkl( ˙ekl− ˙λ ∂ F
式 (1.303) の両辺から ˙αij を引き, 前から ∂F/∂σij をかけると ∂ F ∂σij( ˙σij − ˙αij) = ∂ F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl − ˙αij (1.304) 式 (1.304) の左辺は (∂F/∂ ˜σij) ˙˜σij に等しい. Prager 則を用いることにより, 塑性ひ ずみ速度乗数が以下のように求められる． (1) F = ¯σij − Sy(¯ep) ∂Sy ∂¯ep ˙λ = ∂ F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl − ˙αij (1.305) = ∂ F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl − ˙λCp ∂ F ∂σij (1.306) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + ∂Sy ∂¯ep + Cp∂σ∂ Fij ∂σ∂ Fij (1.307) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) 4¯σ2 Sy ∂¯ep ˙λ = ∂ F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl − ˙αij (1.308) = ∂ F ∂σij Cijkl ˙ekl− ˙λ ∂ F ∂σkl − ˙λCp ∂ F ∂σij (1.309) ˙λ = ∂ F ∂σijCijkl˙ekl ∂ F ∂σijCijkl ∂ F ∂σkl + 4¯σ 2 ∂Sy ∂¯ep + Cp∂σ∂ Fij∂σ∂ Fij (1.310) 式 (1.307), (1.310) を式 (1.303) に代入し整理すると下式のように弾塑性の構成則 テンソルが得られる. (1) F = ¯σij − Sy(¯ep) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂ F ∂σabCabcd˙ecd ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + ∂Sy ∂¯ep + Cp∂σ∂ Fab∂σ∂ Fab ∂ F ∂σkl (1.311) = Cijkl− Cijcd ∂ F ∂σcd ∂ F ∂σabCabkl ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + ∂Sy ∂¯ep + Cp∂σ∂ Fab∂σ∂ Fab ∂ F ∂σkl ˙ekl (1.312) (2) F = ¯σ2− Sy2(¯ep) ˙σij = Cijkl ˙ekl− ∂ F ∂σabCabcd˙ecd ∂ F ∂σabCabcd ∂ F ∂σcd + 4¯σ 2 ∂Sy ∂¯ep + Cp∂σ∂ Fab∂σ∂ Fab ∂ F ∂σkl (1.313)
