非線形移動硬化則

の関係があることがわかる. n 乗硬化則を用いる場合,

H(¯e^p) =c₁n(¯e^p+c₂)ⁿ⁻¹ (1.364) であるから

C_p = 2

3c₁n(¯e^p+c₂)ⁿ⁻¹ (1.365) を用いることになる．

複合硬化則の場合, 降伏関数

(1)F = ¯σ−S_y(¯e^p) (1.366) (2)F = ¯σ²−S_y²(¯e^p) (1.367) の S_y として

S_y = (1−r)σ_y +rH(¯e^p) (0≤r ≤1) (1.368) を用いると

∂S_y

∂e¯^p =r∂H

∂e¯^p =rH (1.369)

となる. 従って

3

2C_p = (1−r)H (1.370)

とすることにより, r= 0で移動硬化,r = 1で等方硬化に一致するようにできる.

降伏関数 (1) F = ¯σ−σ_y (1.373)

(2) F = ¯σ²−σ_y² (1.374)

関連流れ則 e˙^p_ij = ˙λ∂F

∂σ_ij (1.375)

また, 相当塑性ひずみ速度を以下のように定義する.

˙¯

e^p = 2

3e˙^p_ije˙^p_ij ¹

2

(1.376) 背応力の成長則としては代表的なPrager則, Ziegler則及び非線形Ziegler則を採 用する.

Prager則 α˙_ij =K_pe˙^p_ij (1.377)

Ziegler則 α˙_ij =K_zσ˜_ij (1.378)

非線形Ziegler則 α˙_ij =K₁σ˜_ij −K₂α_ij (1.379) ここで K_p,K_z,K₁,K₂ は比例定数である.

塑性変形の進展によってのみ α_ij は成長すると仮定すれば,逆に塑性変形がない 状態では α_ij は, 成長してはならない. すなわち e˙^p_ij = 0 のときα˙_ij = 0 でなけれ ばならない. K_p,K_z,K₁,K₂ はこの条件を満たすように設定する必要がある.

(i) Prager則 α˙_ij =K_pe˙^p_ij

˙

α_ijはe˙^p_ijに比例する. 従ってK_pとしてどのようなものをとってもe˙^p_ij = 0 ⇒α˙_ij = 0 は満たされる.

(ii) Ziegler則 α˙_ij =K_zσ˜_ij

˙

e^p_ij = 0のときσ˜_ij = 0とは限らないのでe˙^p_ij = 0のときK_z = 0となる必要がある.

ここでは最も単純な形式として以下の物を用いる.

K_z =C_ze˙¯^p (C_zは定数) (1.380) 即ち, 下式を用いる.

˙

α_ij =C_ze˙¯^pσ˜_ij (1.381)

(ii) 非線形Ziegler則 α˙_ij =K₁σ˜_ij −K₂α_ij

˙

e^p_ij = 0のときσ˜_ij = 0, α_ij = 0 とは限らないのでe˙^p_ij = 0のときK₁ = 0, K₂ = 0と なる必要がある. ここでは最も単純な形式として以下の物を用いる.

K₁ =C₁e˙¯^p (C₁は定数) (1.382) K₂ =C₂e˙¯^p (C₂は定数) (1.383) 以上より背応力の成長則として, 以下の式を用いることにする.

Prager則 α˙_ij =C_pe˙^p_ij (C_pは定数) (1.384)

Ziegler則 α˙_ij =C_ze˙¯^pσ˜_ij (C_zは定数) (1.385) 非線形Ziegler則 α˙_ij =C₁e˙¯^pσ˜_ij −C₂e˙¯^pα_ij (C₁, C₂は定数)

(1.386) 塑性変形が進行している間は常に F = 0 なので F˙ = 0 が成立する.

F˙ = ∂F

∂σ˜_ijσ˙˜_ij = 0 (1.387) 降伏関数の形式に伴って

(1)F = ¯σ−σ_y

∂F

∂σ˜_ij = 3

2¯σσ˜_ij (1.388)

(2)F = ¯σ²−σ_y²

∂F

∂σ˜_ij = 3˜σ_ij (1.389)

であるが,これを式(1.375) (関連流れ則)に代入するとそれぞれ以下のようになる.

(1)F = ¯σ−σ_y

˙

e^p_ij = ˙λ 3

2¯σσ˜_ij (1.390)

(2)F = ¯σ²−σ_y²

˙

e^p_ij = ˙λ 3˜σ_ij (1.391)

式(1.390),(1.391)をそれぞれ相当塑性ひずみ速度定義式,式(1.376)に代入する と, 以下のように相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数の対応付けを行うことが できる.

(1)F = ¯σ−σ_y

˙¯

e^p = 2

3

λ˙ 3

2¯σσ˜_ij λ˙ 3 2¯σ˜σ_ij

¹₂

(1.392)

= ˙λ (1.393)

(2)F = ¯σ²−σ_y²

˙¯

e^p = 2

3

λ˙ 3˜σ_ij λ˙ 3˜σ_ij ¹2

(1.394)

= 2¯σλ˙ (1.395)

式(1.4)に関連流れ則, 式(1.375)を代入すると,

˙

σ_ij =C_ijkl( ˙e_kl−e˙^p_kl) (1.396)

=C_ijkl( ˙e_kl−λ˙ ∂F

∂σ_kl) (1.397)

式(1.397)の両辺から背応力 α_ij を引き,前から ∂F/∂σ_ij をかけると以下のように なる.

∂F

∂σ_ij( ˙σ_ij −α˙_ij) = ∂F

∂σ_ij

C_ijkl

˙

e_kl−λ˙ ∂F

∂σ_kl

−α˙_ij

(1.398) ここで,

∂F

∂σ_ij = ∂F

∂σ˜_kl

∂σ˜_kl

∂σ_ij = ∂F

∂σ˜_ij (1.399)

および,式(1.387)を用いれば, 式(1.398)の左辺は0に等しい.

0 = ∂F

∂σ_ij

C_ijkl

˙

e_kl−λ˙ ∂F

∂σ_kl

−α_ij

(1.400) 相当塑性ひずみと塑性ひずみ速度乗数の対応(式(1.393), (1.395))を用いて, 背 応力の成長則を λ˙ を含んだ形に書き直すと以下のようになる.

(1)F = ¯σ−σ_y

Prager則 α˙_ij =C_pe˙^p_ij (1.401)

=C_pλ˙ ∂ F

∂σ_ij (1.402)

=C_pλ˙ 3

2¯σσ˜_ij (1.403)

= ˙λ 3C_p

2¯σ σ˜_ij

(1.404) Ziegler則 α˙_ij =C_ze˙¯^pσ˜_ij (1.405)

=C_zλ˜˙σ_ij (1.406)

= ˙λ(C_zσ˜_ij) (1.407) 非線形Ziegler則 α˙_ij =C₁e˙¯^pσ˜_ij −C₂e˙¯^pα_ij (1.408)

=C₁λ˜˙σ_ij −C₂λα˙ _ij (1.409)

= ˙λ(C₁σ˜_ij −C₂α_ij) (1.410) (2)F = ¯σ²−σ_y²

Prager則 α˙_ij =C_pe˙^p_ij (1.411)

=C_pλ˙ ∂ F

∂σ_ij (1.412)

=C_pλ3˜˙ σ_ij (1.413)

= ˙λ

3C_pσ˜_ij

(1.414) Ziegler則 α˙_ij =C_ze˙¯^pσ˜_ij (1.415)

=C_z2¯σλ˜˙σ_ij (1.416)

= ˙λ(2C_zσ¯σ˜_ij) (1.417) 非線形Ziegler則 α˙_ij =C₁e˙¯^pσ˜_ij −C₂e˙¯^pα_ij (1.418)

=C₁2¯σλ˜˙σ_ij −C₂2¯σλα˙ _ij (1.419)

= ˙λ(2C₁σ¯σ˜_ij −2C₂σα¯ _ij) (1.420)

いずれの成長則を用いる場合でも形式的に,以下のように表すことができる.

˙

α_ij = ˙λM_ij (1.421)

式(1.400)に式(1.421)を代入すると以下のようになる.

0 = ∂F

∂σ_ij

C_ijkl

˙

e_kl−λ˙ ∂F

∂σ_kl

−λM˙ _ij

(1.422) これを整理することにより,塑性ひずみ速度乗数が以下のように求められる.

λ˙ =

∂F

∂σijC_ijkle˙_kl

∂F

∂σijC_ijkl∂σ^∂F

kl +_∂σ^{∂ F}

ijM_ij (1.423)

式(1.423)を式(1.422)に代入し整理すると下式のように弾塑性の構成則テンソル

が得られる.

˙

σ_ij =C_ijkl

˙ e_kl−

∂F

∂σabC_abcde˙_cd

∂F

∂σabC_abcd∂σ^∂F

cd +_∂σ^{∂ F}

abM_ab

∂F

∂σ_kl (1.424)

=

C_ijkl− C_ijcd∂σ^∂F

cd

∂F

∂σabC_abkl

∂F

∂σabC_abcd∂σ^∂F

cd + _∂σ^{∂ F}

abM_ab e˙_kl (1.425) さらに, 式(1.388)あるいは式(1.389)の∂F /∂σ_ij 及び式(1.399)の関係を塑性ひず み速度乗数式(1.423),弾塑性構成則テンソル式(1.425)に代入し整理すると下式の ようになる.

(1)F = ¯σ−σ_y

λ˙ =

∂ F

∂σijC_ijkle˙_kl

∂ F

∂σijC_ijkl ^{∂ F}

∂σkl + ^{∂ F}

∂σijM_ij (1.426)

=

₃

2¯σσ˜_ij

C_ijkle˙_kl 3

2¯σσ˜_ij

C_ijkl 3

2¯σσ˜_kl

+ 3

2¯σσ˜_ij

M_ij

(1.427)

= ˜σ_ij C_ijkle˙_kl

2¯3σσ˜_ijC_ijklσ˜_kl + ˜σ_kl M_ij (1.428)

˙ σ_ij =

C_ijkl− C_ijcd ^{∂ F}

∂σcd

∂ F

∂σabC_abkl

∂ F

∂σabC_abcd∂σ^{∂ F}

cd + _∂σ^{∂ F}

abM_ab e˙_kl (1.429)

=

⎛

⎝C_ijkl− C_{ijcd 3}

2¯σσ˜_{cd 2¯}³_σσ˜_ab C_abkl 3

2¯σ˜σ_ab

C_abcd 3

2¯σσ˜_cd

+ 3

2¯σσ˜_ab

M_ab

⎞

⎠e˙_kl (1.430)

=

C_ijkl− C_ijcdσ˜_cd σ˜_ab C_abkl

˜

σ_abC_abcdσ˜_cd +^2¯₃^σσ˜_ab M_ab

˙

e_kl (1.431)

(2)F = ¯σ²−σ_y²

λ˙ =

∂ F

∂σijC_ijkle˙_kl

∂ F

∂σijC_ijkl∂σ^{∂ F}

kl + _∂σ^{∂ F}

ijM_ij (1.432)

=

3˜σ_ij

C_ijkle˙_kl

3˜σ_ij

C_ijkl

3˜σ_kl

+

3˜σ_ij

M_ij

(1.433)

= σ˜_ij C_ijkle˙_kl

3˜σ_ij C_ijklσ˜_kl + ˜σ_ijM_ij (1.434)

˙ σ_ij =

C_ijkl− C_ijcd∂σ^{∂ F}

cd

∂ F

∂σabC_abkl

∂ F

∂σabC_abcd ^{∂ F}

∂σcd + ^{∂ F}

∂σabM_ab e˙_kl (1.435)

=

⎛

⎝C_ijkl− C_ijcd

3˜σ_cd 3˜σ_ab C_abkl

3˜σ_ab

C_abcd

3˜σ_cd

+

3˜σ_ab

M_ab

⎞

⎠e˙_kl (1.436)

=

C_ijkl− C_ijcdσ˜_cd σ˜_ab C_abkl

˜

σ_ab C_abcdσ˜_cd +¹₃˜σ_ab M_ab

˙

e_kl (1.437)

さらに, Hooke 則の関係式, 式(1.55)〜(1.61) を用いることにより塑性ひずみ速 度乗数および速度型の構成則テンソル,相当塑性ひずみ速度は以下のように求め られる.

(1)F = ¯σ−σ_y

λ˙ = σ˜_ij C_ijkle˙_kl

2¯3σσ˜_ij C_ijklσ˜_kl + ˜σ_ij M_ij (1.438)

=

2G˜σ_kl

˙ e_kl

2¯3σ

2G˜σ_kl

˜

σ_kl + ˜σ_ijM_ij (1.439)

= 2G˜σ_kl e˙_kl

2¯3σ2G²₃¯σ²+ ˜σ_ijM_ij (1.440)

= σ˜_kl e˙_kl

¯

σ+_2G¹ σ˜_ij M_ij (1.441)

˙ σ_ij =

C_ijkl− ^2¯3σC_ijcdσ˜_cd σ˜_abC_abkl

2¯3σσ˜_ab C_abcdσ˜_cd + ˜σ_ab M_ab e˙_kl (1.442)

=

C_ijkl− ^2¯3σ2G˜σ_ij 2G˜σ_kl

2¯3σ2G˜σ_cd σ˜_cd+ ˜σ_ab M_ab e˙_kl (1.443)

=

C_ijkl− ^2¯3σ2G˜σ_ij2G˜σ_kl

2¯3σ2G²₃σ¯²+ ˜σ_ab M_ab e˙_kl (1.444)

=

C_ijkl− 3G˜σ_ij σ˜_kl

¯

σ² +_2G^σ¯ σ˜_ab M_ab e˙_kl (1.445)

˙¯

e^p = ˙λ= σ˜_kl e˙_kl

¯

σ+_2G¹ ˜σ_ij M_ij (1.446) (2)F = ¯σ²−σ_y²

λ˙ = σ˜_ij C_ijkle˙_kl

3˜σ_ij C_ijklσ˜_kl+ ˜σ_ij M_ij (1.447)

=

2G˜σ_kl

˙ e_kl 3

2G˜σ_kl

˜

σ_kl + ˜σ_ij M_ij (1.448)

= 2G˜σ_kle˙_kl

6G²₃σ¯²+ ˜σ_ijM_ij (1.449)

= σ˜_kl e˙_kl

2¯σ²+ _2G¹ σ˜_ijM_ij (1.450)

˙ σ_ij =

C_ijkl− 3C_ijcdσ˜_cd σ˜_abC_abkl 3˜σ_ab C_abcdσ˜_cd+ ˜σ_ab M_ab

˙

e_kl (1.451)

=

C_ijkl− 3

2G˜σ_ij 2G˜σ_kl 3

2G˜σ_cd

˜

σ_cd + ˜σ_ab M_ab e˙_kl (1.452)

=

C_ijkl− 3(2G˜σ_ij )(2G˜σ_kl )

4G²₃σ¯²+ ˜σ_ab M_ab e˙_kl (1.453)

=

C_ijkl− 3G˜σ_ijσ˜_kl

¯

σ²+ _4G¹ σ˜_abM_ab e˙_kl (1.454)

˙¯

e^p = 2¯σλ˙ = 2¯σ σ˜_kle˙_kl

2¯σ²+ _2G¹ σ˜_ij M_ij = σ˜_kl e˙_kl

¯

σ+_4G¯¹_σσ˜_ijM_ij (1.455) 背応力の成長則として特にPrager則を用いる場合, M_ij = ^3C_2¯σ^pσ˜_ij ( F = ¯σ−σ_y の場合), M_ij = 3C_pσ˜_ij ( F = ¯σ²−σ²_y の場合) を代入することにより以下のように なり, 前述の結果と一致することがわかる.

(1)F = ¯σ−σ_y

λ˙ = σ˜_kl e˙_kl

¯

σ+ _2G¹ σ˜_ij M_ij (1.456)

= σ˜_kle˙_kl

¯

σ+ _2G¹ σ˜_ij 3Cp

2¯σ σ˜_ij

(1.457)

= σ˜_kl e˙_kl

¯ σ

1 + ^C_2G^p

(1.458)

= σ˜_kl e˙_kl

¯ σ

1 + ^H_3G

(1.459)

˙ σ_ij =

C_ijkl− 3G˜σ_ijσ˜_kl

¯

σ²+ _2G^σ¯ σ˜_abM_ab e˙_kl (1.460)

=

⎛

⎝C_ijkl− 3G˜σ_ij σ˜_kl

¯

σ²+_2G^¯σ σ˜_ab 3Cp

2¯σ σ˜_ij

⎞

⎠e˙_kl (1.461)

=

⎛

⎝C_ijkl− σ˜_ij σ˜_kl

¯ σ²

1 + ^C_2G^p

⎞

⎠e˙_kl (1.462)

=

C_ijkl− σ˜_ij σ˜_kl

¯ σ²

1 + _3G^H e˙_kl (1.463)

˙¯

e^p = ˙λ= σ˜_kl e˙_kl

¯ σ²

1 + ^H_3G

(1.464)

ただし, ^3C₂^p =Hとしている.

(2)F = ¯σ²−σ_y²

λ˙ = σ˜_kle˙_kl

2¯σ+_2G¹ σ˜_ij M_ij (1.465)

= σ˜_kle˙_kl 2¯σ²+ _2G¹ ˜σ_ij

3C_pσ˜_ij (1.466)

= ˜σ_kl e˙_kl 2¯σ²

1 + ^C_2G^p

(1.467)

= ˜σ_kl e˙_kl 2¯σ²

1 + ^H_3G

(1.468)

˙ σ_ij =

C_ijkl− 3G˜σ_ij σ˜_kl

¯

σ²+_4G¹ σ˜_ab M_ab e˙_kl (1.469)

=

C_ijkl− 3G˜σ_ij σ˜_kl

¯

σ²+_4G¹ σ˜_ab

3C_pσ˜_ab e˙_kl (1.470)

=

⎛

⎝C_ijkl− 3G˜σ_ijσ˜_kl

¯ σ²

1 + ^C_2G^p

⎞

⎠e˙_kl (1.471)

=

C_ijkl− 3G˜σ_ijσ˜_kl

¯ σ²

1 + _3G^H e˙_kl (1.472)

˙¯

e^p = 2¯σλ˙ = σ˜_kle˙_kl

¯ σ

1 + _3G^H

(1.473)

ただし, ^3C₂^p =Hとしている.

式(1.441),(1.445),(1.446), (1.450),(1.454),(1.455)から分かるように,背応力が成 長しない,即ち M_ij = 0のときには 1.1.1項で導いたような完全弾塑性体の結果と 一致する.

ドキュメント内 Report98.dvi (ページ 44-54)