5. スペクトル解析
（Spectrum analysis）
• 5.1 フーリエ級数 Fourier series
• 5.2 フーリエ変換 Fourier Transform
• 5.3 パワースペクトル Power spectrum
• 5.4 離散データのフーリエ展開 For discrete time series – ナイキスト周波数とエイリアジング
Nyquist frequency and aliasing
• 5.5 スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation function
• 5.6 スペクトルの推定法と推定誤差
• 5.6 クロススペクトルとコヒーレンシー
• 5.7 スペクトル解析の例 applications
5.1
フーリエ級数
Fourier series•
周期性を持った波は、どんなに複雑なもので も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。 → 単純な波に分解できる。
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/katati/katati_5.htm
周波数1 周波数2 周波数3
Sin 3 1 2
Cos 1 2 3
フーリエ級数による表現は、、、
各周波数ごとの波の振幅
周波数1 2 3 S
C
スペクトル
5.1 フーリエ級数
http://jc.maxwell.jp/physicalmath/fourier/index.html
例題）矩形波をフーリエ級数で表せ
-π π
n項目 1項目まで
3項目(n=5)まで
6項目(n=11)まで 緑が再現波形
Gibbs
Gibbs現象現象
関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる 第1項から第10項までの和 11項から100項までの和
塵も積もれば山（崖）となる、、、
Contribution from high-frequency terms
とびだし
複素フーリエ級数
5.2 フーリエ変換・積分
C(f)
周期信号 非周期信号
連続 フーリエ級数展開 フーリエ変換 信号
離散スペクトル 連続スペクトル
周期無限大
5.3 パワースペクトル power spectrum
フーリエ変換 フーリエ変換の強度
フーリエ逆変換
スペクトル！
波に分解→それぞれの振幅
パワースペクトル power spectrum
Power spectrum density
エネルギースペクトル
単位時間当たり
5.4 離散データのフーリエ級数展開
Fourier transform for discrete data series
この間は関数が一定であるとして 積分を置き換える
繰り返すものとして考える (端を「そろえる」必要)
⊿t
2⊿t
エイリアジング aliasing
⊿tのサンプリングで表現 できる最も短い波長は2⊿t ナイキスト振動数
（Nyquist frequency）
fn = 1/ 2⊿t ωn=2πfn =π/ ⊿t
t 0
エイリアジング
Nyquist frequency 実際にはこのような スペクトルが得られ てしまう
1.5
エイリアジング周期
例題） T0=1.2の波をdT=1 でサンプルしたら？
潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで 読み取る場合、 2⊿t＝48h以下の周期 の信号はエイリアジングを起こす。
エイリアジング aliasing
自己共分散
関数 スペクトル
フーリエ変換
フーリエ逆変換
ウィーナーヒンチンの関係
Wiener-Khinchin relation
Auto-correlation function
spectrum Fourier transform
5.5 スペクトルと相関関数
例題)白色雑音の相関関数とパワースペクトルは？
日野(1977)
生データ Raw data
自己相関 correlation
複素フーリエ成分 Fourier component
スペクトル spectrum
Fast Fourier Transform : FFT (Cooley-Tukey法)
Blackman-Tukey法
Maximum Entropy Method : MEM
「情報エントロピーを最大にするようにスペクトルを決定する」
方法。ラグの大きいところでの自己相関関数の推定を、情報エ ントロピーを増加させないように逐次的に選ぶ。
スペクトルの推定法
Estimation of spectrum
相関法
直接法
直接法 相関法 MEM
松山・谷本（2005）
40－60ヶ月
自己共分散
関数 スペクトル
フーリエ変換
スペクトルとクロススペクトル
spectrum and cross-spectrum
相互相関
関数 クロス・スペクトル
Auto-correlation spectrum
Cross-correlation cross-spectrum
スペクトルの誤差推定
スペクトル解析の実例 スペクトルの傾き
-5/3乗則 ３次元乱流
－3乗則 ２次元乱流
スペクトル解析の実例
風に流れがどのように 応答するか？
風 流れ
７日 流れ
current
風 wind
Current lags the wind by 1-1.5 days High
coherence
まとめ
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時系列は幾つかの波に分解できる。パワース ペクトルを計算することにより周期帯（周波 数帯）での変動の強弱を調べることができる。
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不連続な変動を近似する場合、短波長成分が 顕著に現れる（Gibbs Effect）
•
ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。
（エイリアジング）
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