フーリエ級数

スペクトル解析

（Spectrum analysis）

• 5.1 フーリエ級数 Fourier series

• 5.2 フーリエ変換 Fourier Transform

• 5.3 パワースペクトル Power spectrum

• 5.4 離散データのフーリエ展開 For discrete time series – ナイキスト周波数とエイリアジング

Nyquist frequency and aliasing

• 5.5 ピリオドグラム法 Periodogram method

• 5.6 スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation function

• 5.7 クロススペクトルとコヒーレンス

Cross-spectrum and coherency

• 5.8 スペクトルの推定法と推定誤差

Estimation of spectrum and its error

• 5.9 スペクトル解析の例 applications

5.1 フーリエ級数 Fourier series

•

周期性を持った波は、どんなに複雑なもので も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。 → 単純な波に分解できる。

周期と振幅が異なる正弦波と余弦波

周波数1 周波数2 周波数3

Sin 3 1 2

Cos 1 2 3

フーリエ級数による表現は、、、

各周波数ごとの波の振幅

周波数1 2 3 S

C

スペクトル

フーリエ級数

例題）矩形波をフーリエ級数で表す

-π π

T = 2 πなので、

- πからπまで積分

（和達, 1982）

f(x) は奇関数なので、奇関数である sin の項

のみで表現される

n項目 1項目まで

3項目(n=5)まで

6項目(n=11)まで 緑が再現波形

この係数が大きい

Gibbs

Gibbs現象現象

関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる 第1項から第10項までの和 11項から100項までの和

塵も積もれば山（崖）となる、、、

Little strokes fell great oaks. Every little bit helps.

Contribution from high-frequency terms

複素フーリエ級数

5.2 フーリエ変換（積分）

Fourier transform (integral)

C(f)

周期 T が無限大という ことは、非周期関数を 意味している

5.3 パワースペクトル

スペクトル！

波に分解→それぞれの振幅

フーリエ変換の強度 フーリエ変換

フーリエ 逆変換

周期信号 非周期信号

フーリエ級数展開 フーリエ変換（積分）

離散スペクトル 連続スペクトル

周期無限大

パワースペクトル

power spectrum

Power spectrum density

エネルギースペクトル

単位時間当たり

C(f)

5.4 離散データのフーリエ変換

Fourier transform for discrete data series

フーリエ変換（級数）は連続的な関数を対象にしているが、我々が扱う データは、気温、風速などの離散データ

この間は関数が一定であるとして 積分を和で置き換える

近似

⊿t

2⊿t

エイリアジング aliasing

⊿tのサンプリングで表現 できる最も短い波長は2⊿t ナイキスト振動数

（Nyquist frequency）

f_n = 1/ 2⊿t ω_n=2πf_n =π/ ⊿t

t 0

エイリアジング

Nyquist frequency

（ナイキスト周波数）

実際にはこのような スペクトルが得られ てしまう

周期2の波を1.5毎にサンプル

エイリアジング周期

例題） T₀ = 1.2の波をΔt = 1 でサンプルしたら？

上記の1番目の式を適用

上記の1番目の式で n = 1 として T_a = 6

海洋潮汐

潮汐成分の残ったデータ を⊿t＝24hで読み取る

場合、 2⊿t＝48h以下の

周期の信号はエイリア ジングを起こす。

Å読み取る前にフィルター をかけて潮汐成分を取り 除く必要あり

エイリアジングの例

11.97 199.5

小樽での2011年6月1日から 14日にかけての潮位予測

（気象庁HPで作成）

5.5 ピリオドグラム法 (Periodogram method)

伊藤・見延 (2010)

ピリオドグラム法の問題点

自己共分散

関数 スペクトル

フーリエ変換

フーリエ逆変換

ウィーナーヒンチンの関係

Wiener-Khinchin relation

Auto-correlation function

spectrum Fourier transform

5.6 スペクトルと相関関数

例題) 白色雑音の相関関数とパワースペクトルは？

日野(1977)

自己共分散

関数 スペクトル

フーリエ変換

5.7 クロススペクトルとコヒーレンス

cross-spectrum and coherence

相互共分散

関数 クロス・スペクトル

Auto-correlation spectrum

Cross-correlation cross-spectrum

クロススペクトルと

コヒーレンス

生データ Raw data

自己相関 correlation

複素フーリエ成分 Fourier component

スペクトル spectrum

直接法の手法として、

Fast Fourier Transform (FFT)を用いる

(Cooley-Tukey法)。

Blackman-Tukey法

Maximum Entropy Method : MEM

・スペクトルの周波数分解能と推定精度の向上が同時に図れる。

（直接法や相関法では不可能）

・最近まで標準的な有意性検定方法が提案されていなかった。

5.8

スペクトルの推定法と推定誤差

Estimation of spectrum

相関法

直接法

直接法（FFTを用いる）による スペクトル解析の手順（概略）

1. データ数の決定

FFTを用いる場合には、一般にデータ数を2のべき乗にしな ければならない Æ データの一部を削るか、後ろに値が0の データを加えるか（ゼロパッディング）する。

（ゼロパッディングにより周波数分解能が向上する。）

2. トレンドなどの除去（必要なら）

3. データウインドウの適用（必要なら）

cos20、Hanning、Hammingテーパーなど 4. FFTを用いて生のスペクトルを計算

5. 周波数空間で平滑化Æ 最終的なスペクトル

（平滑化を分割平均で行う場合は、2の前に入力時系列を 時間領域で分割し、そのそれぞれのスペクトルの平均を 最終的なスペクトルとする。）

6. スペクトルの推定誤差を評価

Boxcarデータ・ウインドウと そのスペクトル・ウインドウ

データ数: 32

Hは最大値を1に規格化 main lobe

side lobes

畳み込み

例：真のスペクトルは16.3Hzの信号（デルタ関数）

boxcarウインドウによるスペクトラル・ウインドウ

真のスペクトルがデルタ 関数的な単一のピークを 持っていたとしても、

有限な長さのデータから 推定されたスペクトルは、

スペクトル・ウインドウ が畳み込まれることで、

スペクトル・ウインドウ の形となる

↓

ピークの周波数から他の 周波数への漏れ

(Gaberson, 2006)

データ・ウインドウとテーパー

Boxcarウインドウの両端で値が急激に変化するので、スペ クトルのピークの周波数から他の周波数にスペクトルの漏 れが発生

Æ データの両端で値を緩やかに減衰させるテーパーを適用 し、スペクトルの漏れを軽減

Æピークを解像する能力が低下（スペクトルの漏れを軽減 するのは、スペクトル推定の周波数解像度を減少させると いう犠牲の下でのみ可能）

テーパー

Cos20 Hanning Hamming

小さな side lobe Æ スペクトルの漏れを抑制 (Hamming) Æ main lobe が広くなる

テーパーの効果

伊藤・見延 (2010) あるスペクトル・

ピークの信頼限界の 下限がその前後の周 波数での信頼限界の 上限を上回っている 場合に、そのピーク は統計的に有意

x(t)=cos(2πt/21)+0.2cos(2πt/9)

テーパーによって 周波数解像能が低下

スペクトルの漏れが大 スペクトルの漏れが小

平滑化による 効果

周波数平滑化 の強化

Æ精度の向上 Æ周波数分解能

の低下

(Emery and

Thomson, 2001)

生 平均数：3

平均数：7 平均数：15

スペクトルの誤差推定

2乗コヒーレンスの有意水準

5.8 スペクトル解析の実例 その１ スペクトルの形状の議論

(Toba et al., 1984)

水平スケールの違いによる スペクトルの傾きの違いが 異なったレジームを示唆 海面水温の空間スペクトル解析

縦軸・横軸 ともに対数 座標

5.8 スペクトル解析の実例 その２ 宗谷暖流の5-20日周期の変動のメカニズム

(Ebuchi et al., 2009)

レーダーによる 表層の流速

（月平均）

表層の流速と 稚内と網走の 水位差

水位（水位差）と表層の流速のスペクトル

z 水位（特に稚内）では 13.66日の潮汐の周期が 卓越

z 水位差と流速には5-20日 周期の広いピークが有り 縦軸・横軸とも対数でプロット

水位差と流速の2乗コヒーレンスと位相

z 5-20日の周期で2乗コヒーレンスが

大きい（13.66日の周期では値が小さい）

z 負の位相は水位差が流速をリード

点線は0.5, 1, 2日の位相差 有意水準

南風

Æ日本海とオホーツク海 の水位差が増大

Æ宗谷暖流の強化

まとめ

•

時系列は異なる周期を持つ波に分解できる。

パワースペクトルを計算することにより周波 数空間での変動の強弱を調べることができる。

•

ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。

（エイリアジング）

•

相関関数とパワースペクトルは等価である。

•

相互相関関数とクロススペクトルは等価であ

る。