まとめ
Fourier 級数展開(周期2πの関数の場合) 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xC
a
nx
b
nx
f
,
x
d
nx
f
b
dx
nx
f
a
dx
f
C
x n x n x 2 0 ( ) 2 0 ( ) 2 0 ( ))
cos(
1
)
sin(
1
2
1
Fourier 級数展開(周期 L の関数の場合) 1 ) (
(
sin
cos
)
n n n xL
n
b
x
L
n
a
C
f
,
x
d
x
L
n
f
L
b
dx
x
L
n
f
L
a
dx
f
L
C
L L x n L L x n L L x)
cos(
1
)
sin(
1
2
1
) ( ) ( ) (Fourier 変換と逆変換
)
(
2
1
) ( ) ( ) ( ) (フーリエ逆変換
ω
(フーリエ変換)
ω ω ω ω
d
e
g
f
dx
e
f
g
x i x x i xParseval の等式
ω
g
ωd
dx
f
(x) 2 ( ) 22
1
Convolution 定理 フーリエ変換がG
(ω)g
1(ω)g
2(ω)で、g
1 ω( ),g
2 ω( )の逆フーリエ変換がf
1 ω( ),f
2 ω( )である時、f
f
dt
F
(x) 1(x t) 2(t) Laplace 変換と逆変換(ラプラス逆変換)
(ラプラス変換)
ds
F
e
i
f
dx
e
f
F
i a i a s sx x sx x s ) ( ) ( 0 ( ) ) (2
1
Laplace 変換表 ラプラス空間 実空間
s
1
1 , ) (tu
21
s
t 11
ns
nt
a
s
1
e
at)
(
1
a
s
s
(
1
)
1
e
ata
2 2a
s
s
cos(at) 2 2a
s
s
cosh(at) 2 2a
s
a
sin(at) 2 2a
s
a
sinh(at) ) 0 ( ) (x
X
s
sx
(t) ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2X
s
x
x
s
sx
(t)Fourier 級数展開
周期関数(x の増加に伴って周期的な値を取る関数)は一般にどの様に表せるか考えてみた い。 まずは周期が2πの関数は一般にどの様に表せるか考えてみよう。つまり、f
(x)f
(x 2 ) (x=0 の時の値と x=2πの時の値が同じである)という関数 f を探すクイズである。でも 実は答えは簡単に見つかってしまう。答えはいくつかあって、x
f
(x)sin
x
f
(x)sin
2
x
f
(x)2
sin
などがそうである。もっと複雑な形を考えて、一般解を見つけよう。
・・・
x
x
x
f
(x)sin
3
sin
2
2
sin
3
なども解になるので、 0 ) (
sin
n n xa
nx
f
とできる。n が負の場合を考えないのは、
)
sin(
)
sin(
x
x
という性質があるためである。さらに、cos についても同様の議論を行え る。ので 0 ) (cos
n n xa
nx
f
も解である。これらを統合して 0 ) (
(
sin
cos
)
n n n xa
nx
b
nx
f
さらに、x に関係のない定数がくっついていても
f
(x)f
(x 2 )の要求を満たすので 0 ) ((
sin
cos
)
n n n xc
a
nx
b
nx
f
n=0 の時は x がいかなる値でも
a
0sin
0
0
、b
0cos
0
b
0 という定数になるのでシグ マの外に出してc と合併する。(n
0
の時はx の値によって変動するのでΣの外に出せな い。) 1 0 ) ()
cos
sin
(
)
cos
sin
(
n n n n n n xnx
b
nx
a
C
nx
b
nx
a
c
f
これが一般解であり、フーリエ級数展開と呼ばれている。ここから得られる大事な結論は
[Q1]
1 ) ((
sin
cos
)
n n n xC
a
nx
b
nx
f
の
C
,
a
n,
b
nを求めよ。
両辺を一周期の区間で積分するとC
x
C
dx
nx
b
nx
a
Cdx
dx
nx
b
nx
a
Cdx
dx
f
n n n n n n n x2
0
)
cos
sin
(
)
cos
sin
(
1 2 0 1 2 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 ( ) 2 0 ( )2
1
dx
f
C
x 両辺にsin(mx)をかけて積分するとn n n n n x
a
dx
nx
nx
a
dx
mx
nx
b
mx
nx
a
dx
mx
C
dx
mx
f
2 0 2 0 1 2 0 2 0 ( ))
0
sin
sin
(
0
)
sin
cos
sin
sin
(
)
sin(
)
sin(
2 0 ( )sin(
)
1
dx
mx
f
a
n x 同様に、cos(mx)をかけて積分すると 2 0 ( )cos(
)
1
dx
mx
f
b
n x※ sin(nx)cos(mx) の積分は、sin が奇関数、cos が遇関数なのでゼロになる。
[Q2]
下図の波をフーリエ級数展開せよ。
π)
π
(
π)
(
x
x
f
x1
0
1
) ( 周期2πの関数なので、以下の様に展開できる。 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xC
a
nx
b
nx
f
x
d
nx
f
b
dx
nx
f
a
dx
f
C
x n x n x π π π)
cos(
1
)
sin(
1
2
1
) ( ) ( ) ( もちろんこの式に代入して計算しても良いのだが、計算量を減らす工夫をしよう。 C はf
( x)の振動中心を決める定数である。この問題におけるf
( x)はy=0 を中心に振動して いるので C=0 である。また、f
( x)は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ で構成されているはずである。以上より ) ( ) (sin(
)
1
sin
n x n xa
nx
a
f
nx
dx
f
π、
1 ( ) ) (
sin(
)
1
sin
n n n x xa
nx
a
f
nx
dx
f
π、
を計算してみよう。 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 0
1
sin( )
1
sin( )
sin( )
1
( 1)sin( )
( 1)sin( )
1 1
1
cos( )
cos( )
1
(1 ( 1) ) (( 1)
1)
2(1 ( 1) )
0
n x x x n n na
f
nx dx
f
nx dx
f
nx dx
nx dx
nx dx
nx
nx
n
n
n
n
n
n
π π π π π( が奇数の時)
( が偶数の時)
以上より ( ) 12(1 ( 1) )
sin(2
1)
(2
1)
n x nf
n
x
n
) ( x
f
が連続な関数である時にはフーリエ級数展開で完璧に展開することが出来るが、f
( x)が 不連続な関数であるときは、不連続点付近で近似の精度が落ちる。これは不連続関数を連 続関数の重ね合わせで表現しようとすることに無理があるからである。この現象を Gibbs 現象という。これについては江端氏がまとめているのでそちらを参照のこと。Fourier 級数展開の拡張
フーリエ級数展開 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xC
a
nx
b
nx
f
は周期が2πの関数にしか 適用できなかった。これを拡張し、2π以外の周期の関数も扱えるようにしよう。つまり ) ( ) (x
f
x Lf
を満たす関数を見つけるという問題である。x
L
n
f
(x)sin
この関数はL≦x≦2L , 2L≦x≦3L , ・・・で同じ値を持つことが分かる。よってこれは要求 を満たしている。(sin(nx
)
のx を xπ/L にしたと考えても良いだろう。)この f について先 程と同様の議論を進めてゆけば 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xx
L
n
b
x
L
n
a
C
f
,
x
d
x
L
n
f
L
b
dx
x
L
n
f
L
a
dx
f
L
C
L x n L x n L x 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ))
cos(
1
)
sin(
1
2
1
[Q3]
下図の波をフーリエ級数展開せよ。
)
(
x
L
A
x
L
A
f
(x)2
0
周期2πの関数なので、以下の様に展開できる。 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xx
L
n
b
x
L
n
a
C
f
,
x
d
x
L
n
f
L
b
dx
x
L
n
f
L
a
dx
f
L
C
L x n L x n L x 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ))
cos(
1
)
sin(
1
2
1
C は
f
( x)の振動中心を決める定数である。この問題におけるf
( x)はy=0 を中心に振動して いるので C=0 である。また、f
( x)は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ で構成されているはずである。以上より 1 0 ( ) ) (sin(
)
1
)
sin(
n L x n n xx
dx
L
n
f
L
a
x
L
n
b
f
、
1 0 ( ) ) (
sin(
)
1
)
sin(
n L x n n xx
dx
L
n
f
L
a
x
L
n
a
f
、
を計算してみよう。
が偶数の時)
(
が奇数の時)
(
n
n
AL
n
n
n
n
A
n
A
n
n
A
n
A
n
n
A
n
n
A
x
L
n
n
L
L
n
A
x
L
n
n
A
x
L
n
n
L
x
L
n
x
n
L
L
A
dx
x
L
n
A
L
dx
x
L
n
x
L
A
L
dx
x
L
n
A
x
L
A
L
dx
x
L
n
f
L
a
L L L L L L L L x n2
0
1
)
cos(
)
cos(
2
)
cos(
0
2
)
cos(
2
1
)
cos(
)
cos(
0
)
cos(
2
)
cos(
)
cos(
)
cos(
2
)
sin(
1
)
sin(
2
1
)
sin(
2
1
)
sin(
1
0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 以上より 1 ) (2
sin
n xx
L
n
n
AL
f
Fourier 級数展開の拡張 2
フーリエ級数展開 1 ) ((
sin
cos
)
n n n xL
n
b
x
L
n
a
C
f
にはsin と cos が含ま れているので、これらを何とか指数関数で表したい。なぜなら指数関数のほうが取り扱い (微分など)が簡単だからである。オイラーの公式
e
ixcos
x
i
sin
x
を用いると 1 1 1 1 1 ) ()
(
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
)
cos
sin
(
n x L n i x L n i n x L n i n n x L n i n n n x L n i x L n i n x L n i x L n i n n x L n i x L n i n x L n i x L n i n n n n xBe
Ae
C
e
ia
b
e
ia
b
C
e
e
b
e
e
ia
C
e
e
b
i
e
e
a
C
L
n
b
x
L
n
a
C
f
ここで
x
d
x
L
n
f
L
b
L L x ncos(
)
1
) ( , L L x nx
dx
L
n
f
L
a
1
( )sin(
)
に注目すると、A と B の関係が見えてくる。a
n ,b
nを指数関数に変換してからA, B の標識に代入してみよう。x
d
e
e
f
L
i
x
d
e
e
f
L
x
d
i
e
e
f
L
x
d
e
e
f
L
dx
x
L
n
f
L
a
x
d
x
L
n
f
L
b
L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x n L L x n)
(
2
)
(
2
1
2
1
2
1
)
sin(
1
)
cos(
1
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (n L L x L n i x L L x L n i x L n i x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x n n
C
x
d
e
f
L
x
d
e
e
e
e
f
L
x
d
e
e
f
L
i
i
x
d
e
e
f
L
ia
b
)
(
2
1
)
(
4
1
)
(
2
2
1
)
(
1
2
1
2
1
) ( ) ( ) ( ) ( カッコ内は積分なので、いかに x が変動しても最終的にただの数値になってしまう。そこ で定数C として表すことにした。n が添えてあるのは n は一つの数字ではなく 1,2,3,・・・と いう値を取るので、変数ではないにしろ気にしておきたいからである。同様にして n L L x L n i x L L x L n i x L n i x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x n nC
x
d
e
f
L
x
d
e
e
e
e
f
L
x
d
e
e
f
L
i
i
x
d
e
e
f
L
ia
b
)
(
2
1
)
(
4
1
)
(
2
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
) ( ) ( ) ( ) ( C の添え字を- n にしたのは、C
でn の代わりに- n を代入すると同じ値になるからである。n x L n i n n n x L n i n x L n i n n x L n i n n n x L n i n x L n i n n x L n i n x L n i n x
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
C
e
C
e
C
C
f
1 1 0 1 1 1 ) ( ここで、C=
a
0+b
0+定数 だったので、C は0 n x L n i n
e
C
と表せないのではと思うかも しれないが、定数部をa
0,b
0に吸収させたと考えれば、それでよい事が分かる。以上より n x L n i n xC
e
f
( )t
d
e
f
L
C
L L t L n i t n2
(
)
1
) (これがフーリエ級数展開の指数関数(複素数)表示である。 n
C
の表式でx を t に変えたのは n x L n i L L x L n i x xL
f
e
d
x
e
f
(
)
2
1
) ( ) (これだと微少長さdx が変動することになってしまう。そういう 意味ではないので、違う文字でおいて誤解を避けることにした。
Fourier 級数展開の拡張 3
フーリエ級数展開 n x L n i n xC
e
f
( ),
f
e
d
t
L
C
L L t L n i t n2
(
)
1
) (は周期が L で ある関数について成り立つものであった。ではL→∞(周期が∞)の時はどのようになるか 考えてみよう。周期が∞の関数と言うのはx を-∞から+∞まで変化させても1周期分しかな い、よって周期関数でない関数ということになる。 まずは n x L n i n x C e f( ) で n L n ω π と置いてみる。 いまL→∞を考えているので、
L
1ω
は超微少な値になる。しかしn についてはΣがある ので、この超微少な値の(2倍を入れた時)+(3倍を入れた時)・・・と-∞倍から∞倍ま を足し合わせる。これはまさにdω=L
π
の積分である。ω
ω
ω ω ω ω
d
e
g
e
g
d
e
t
d
e
f
L
e
t
d
e
f
L
e
C
f
x i n x i n x L n i L L t L n i t n x L n i L L t L n i t n x L n i n x n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
まとめると以下の様になる。
dx
e
f
g
d
e
g
f
x i x x i x ω ω ω ωω
) ( ) ( ) ( ) (
2
1
この、周期の無い関数にも適応できるフーリエ級数展開をフーリエ変換と呼ぶ。 フーリエ変換はf
(x) 2dx
が収束するものにしか行えない。収束しないとg が不定か発散 になってしまうからである。この条件をL
2ノルム有界と言う。でもe
iωxがあるためどんな 関数も収束するのでは?と思うかもしれないが、これは複素数であるため押さえにならな い。[Q4]
f
(t)sin(
kt
)
のフーリエ変換を求めよ。
フーリエ変換の式に代入すると)
δ
(δ
π
)
δ
(δ
π
)
δ
(δ
π
π
π
π
ω
π
ω
π
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
2
2
(
)
2
2
(
2
2
)
(
2
1
)
2
(
)
sin(
F
k k k k b a ibt iat t k i t k i t k i t k i t i ikt ikt t i t i ti
i
i
db
e
da
e
i
d
e
d
e
i
d
e
d
e
i
d
e
i
e
e
d
e
kt
d
e
f
[Q5]
() 0 () ) ( t t t
RI
V
dt
dI
L
+
δ
の特解を求めよ。
フーリエ逆変換を用いて)
2
(
)
2
(
)
2
(
( ) ( ) 0 ( )ω
π
δ
ω
π
+
ω
π
ω ω ω ω ω ω
d
e
V
d
e
I
R
d
e
I
dt
d
L
i t i t i t ↓1
) ( ) (δ
δ
ω ωe
dt
t i t ↓(
)
(
)
(
)
-0 ) ( ) (+
ω
ω
ω ω ω ω ωe
dt
R
I
e
dt
V
e
d
I
L
i
i t i t i t)
(
)
(
)
(
I
( )e
i tR
I
( )e
i tV
0e
i tL
i
ω ω ω ω ωω
L
V
I
ω
ω
i
R
0 ) (この
I
(ω)をフーリエ変換の式に代入してω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω ω
d
L
e
V
d
e
L
V
d
e
I
t i t i t i ti
R
2
i
R
2
1
2
I
0 0 ) ( ) ( あとは複素積分を行えば Lt R te
L
V
I
0 ) (という解(特解)が求まる。
[Q6]
() 0
sin(
)
) (kx
V
RI
dt
dI
L
t t+
の特解を求めよ。
フーリエ逆変換を用いて)
2
)
(
(
)
2
(
)
2
(
I
( )e
dt
R
I
( )e
dt
V
0i
( ) ( )e
dt
dt
d
L
ω iωt ω iωt k ω k ω iωtπ
δ
δ
π
π
+
π
)
)
(
(
)
(
)
(
( ) ( ) 0 ( ) ( )e
dt
i
V
dt
e
I
R
dt
e
I
L
i
i t k k t i t i ω ω ω ω ω ω ωδ
δ
π
+
ω
)
(
( ) ( ) 0 ) ( ) (ω ωδ
ωδ
ωπ
+
ω
k ki
V
I
R
I
L
i
)
(
i
R
1
) ( ) ( 0 ) (ωδ
ωδ
ωπ
ω
k k
i
V
L
I
-
(
( ) ( ))
0 ) (ωδ
ωδ
ωω
π
k k
iR
L
V
I
この
I
(ω)をフーリエ変換の式に代入して)
sin(
)
cos
sin
(
)
(
)
cos
sin
(
2
)
(
2
)
)
sin
)(cos
(
)
sin
)(cos
(
(
2
)
)
)(
(
)
(
)
(
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
2
I
2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) (φ
ω
δ
ω
δ
ω
ω
δ
δ
ω
π
π
ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω
kt
L
k
R
V
kt
L
k
R
kL
kt
L
k
R
R
L
k
R
L
k
R
V
kt
kL
kt
R
L
k
R
V
L
k
R
kt
i
kt
kL
iR
kt
i
kt
kL
iR
V
kL
iR
kL
iR
e
kL
iR
e
kL
iR
V
iR
kL
e
iR
kL
e
V
d
iR
L
e
iR
L
e
V
d
e
iR
L
V
d
e
I
ikt ikt ikt ikt k t i k t i t i k k t i t 以上よりsin(
)
2 2 2 0 ) (kt
φ
L
k
R
V
I
t と解(特解)が求まる。Fourier 変換の世界
フーリエ変換には、単に関数をsin や e で展開できるという以上の意味がある。 一見関係ないようだが、まずはここから考えてゆこう。任意の点 P は直行座標でかならず 表す事が出来る。z
c
y
b
x
a
P
このとき
x
、y
、z
の間には内積がゼロ(例えばx
y
0
)が成り立っているため3軸は 直交しおり、これらが張る三次元空間で全ての関数を表すことができる。ところで、フーリエ級数展開
f
(x)a
sin
x
b
sin
2
x
+
c
sin
3
x
・・・
は全 ての関数について行えるので、任意の点P
1,P
2,・・・は以下の様に表せる。・
・
・
・・・
・・・
・・・
3 3 3 3 3 3 ) ( 3 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 1 1 1 1 1 ) ( 1
3
sin
2
sin
sin
3
sin
2
sin
sin
3
sin
2
sin
sin
3 2 1x
c
x
b
x
a
f
P
x
c
x
b
x
a
f
P
x
c
x
b
x
a
f
P
x x x するとこれはsinx、sin2x、sin3x、・・・を直交軸とする無限次元空間で全ての関数を表す 事が出来る・・・ということになるだろう。また本当に直交しているかを確かめる式は 1P
のときsin x
1とsin x
2
1の内積は・・・、P
2のときsin x
2とsin x
2
2・・・と確かめるため、dx
mx
nx
)(sin
)
(sin
まとめると、 任意の点P を色々な座標でみることができる。座標にはいくつか種類があり、直交座標(三 次元)、極座標(三次元)、円筒座標(三次元)、フーリエ空間(無限次元)などが存在する・・・ ということである。これは P をどの様な物差しで測るかということで、P 自体は何も変わ っていない。 ) , 3 sin , 2 sin , (sin ) , , ( ) , , ( ) , , (x yz
P
rP
r zP
x x x・・・P
Parseval の等式
いま、関数f の値f
(x) 2dx
を計算をしてみよう。ω
ω
ω
ω
ω
f
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωdx
dt
d
e
g
g
dx
dt
d
e
g
g
dx
dt
e
g
d
e
g
dx
d
e
g
d
e
g
dx
f
f
dx
t ix t t ix t itx t x i x i x i x x x ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( * ) ( 2 ) (2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
積分の順序は自由であること、またデルタ関数の定義e
ixydy
x2
1
) ( にも注目するとω
ω
ω
ω
ω ω ω ω ω ω ω
d
g
d
g
g
dt
d
g
g
dt
d
dx
e
g
g
t t t ix t 2 ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( *2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
この結果は当然である。なぜなら実空間とフーリエ空間は、ある関数f をどの座標でみてい るかという違いなので、実空間での値とフーリエ空間での値が変わってはならない。音波を使ってパーセバルの等式を直感的に説明してみよう。 スピーカーから音が出ており、その音量が10db の音量で聞こえた。 フーリエ変換するとスピーカーからの音は10kHz と 100kHz と 1000kHz で構成されてい ることが分かった。スピーカーからその3つの波が別々に出ているとして、それらの音量 の和を求めたとしても、それは10db でなければならない。 低音← →高音 カーステレオなどに付いているアレ