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フーリエ変換 ラプラス変換 - まとめ Fourr 級数展開 周期 の関数の場合 co b, b co Fourr 級数展開 周期 の関数の場合 co b, b co Fourr 変換と逆変換 フーリエ逆変換 フーリエ変換

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全文

(1)
(2)

まとめ

Fourier 級数展開(周期2πの関数の場合) 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

C

a

nx

b

nx

f

 

  

,

x

d

nx

f

b

dx

nx

f

a

dx

f

C

x n x n x 2 0 ( ) 2 0 ( ) 2 0 ( )

)

cos(

1

)

sin(

1

2

1

 

 

Fourier 級数展開(周期 L の関数の場合) 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

L

n

b

x

L

n

a

C

f

 

  

,

x

d

x

L

n

f

L

b

dx

x

L

n

f

L

a

dx

f

L

C

L L x n L L x n L L x

)

cos(

1

)

sin(

1

2

1

) ( ) ( ) (

 

 

Fourier 変換と逆変換

)

(

2

1

) ( ) ( ) ( ) (

フーリエ逆変換

ω  

  

  

  (フーリエ変換)

  

  

ω ω ω ω

d

e

g

f

dx

e

f

g

x i x x i x

(3)

Parseval の等式

ω

  

g

ω

d

dx

f

(x) 2 ( ) 2

2

1

Convolution 定理 フーリエ変換が

G

(ω)

 

g

1(ω)

g

2(ω)で、

g

1 ω( ),

g

2 ω( )の逆フーリエ変換が

f

1 ω( ),

f

2 ω( )である時、

 

  

  

f

f

dt

F

(x) 1(x t) 2(t) Laplace 変換と逆変換

 (ラプラス逆変換)

  

 

  (ラプラス変換)

  

  

ds

F

e

i

f

dx

e

f

F

i a i a s sx x sx x s ) ( ) ( 0 ( ) ) (

2

1

(4)

Laplace 変換表 ラプラス空間 実空間

s

1

1 , ) (t

u

2

1

s

t 1

1

n

s

n

t

a

s

1

e

at

)

(

1

a

s

s

(

1

)

1

e

at

a

2 2

a

s

s

cos(at) 2 2

a

s

s

cosh(at) 2 2

a

s

a

sin(at) 2 2

a

s

a

sinh(at) ) 0 ( ) (

x

X

s

s

x

(t) ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2

X

s

x

x

s

s

x

(t)

(5)

Fourier 級数展開

周期関数(x の増加に伴って周期的な値を取る関数)は一般にどの様に表せるか考えてみた い。 まずは周期が2πの関数は一般にどの様に表せるか考えてみよう。つまり、

f

(x)

f

(x 2 ) (x=0 の時の値と x=2πの時の値が同じである)という関数 f を探すクイズである。でも 実は答えは簡単に見つかってしまう。答えはいくつかあって、

x

f

(x)

sin

x

f

(x)

sin

2

x

f

(x)

2

sin

などがそうである。

(6)

もっと複雑な形を考えて、一般解を見つけよう。

・・・

  

  

  

  

x

x

x

f

(x)

sin

3

sin

2

2

sin

3

なども解になるので、 0 ) (

sin

n n x

a

nx

f

 

とできる。n が負の場合を考えないのは、

)

sin(

)

sin(

x

 

x

という性質があるためである。さらに、cos についても同様の議論を行え る。ので 0 ) (

cos

n n x

a

nx

f

 

も解である。これらを統合して 0 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

a

nx

b

nx

f

 

さらに、x に関係のない定数がくっついていても

f

(x)

f

(x 2 )の要求を満たすので 0 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

c

a

nx

b

nx

f

 

  

n=0 の時は x がいかなる値でも

a

0

sin

0

0

b

0

cos

0

b

0 という定数になるのでシグ マの外に出してc と合併する。(

n

0

の時はx の値によって変動するのでΣの外に出せな い。) 1 0 ) (

)

cos

sin

(

)

cos

sin

(

n n n n n n x

nx

b

nx

a

C

nx

b

nx

a

c

f

  

 

  

  

 

これが一般解であり、フーリエ級数展開と呼ばれている。ここから得られる大事な結論は

(7)

[Q1]

1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

C

a

nx

b

nx

f

 

C

,

a

n

,

b

n

を求めよ。

両辺を一周期の区間で積分すると

  

  

     

  

 

     

 

  

  

     

 

 

  

  

  

C

x

C

dx

nx

b

nx

a

Cdx

dx

nx

b

nx

a

Cdx

dx

f

n n n n n n n x

2

0

)

cos

sin

(

)

cos

sin

(

1 2 0 1 2 0 2 0 2 0 1 2 0 2 0 ( ) 2 0 ( )

2

1

dx

f

C

x 両辺にsin(mx)をかけて積分すると

  

 

        

 

  

  

        

 

 

  

  

  

n n n n n x

a

dx

nx

nx

a

dx

mx

nx

b

mx

nx

a

dx

mx

C

dx

mx

f

2 0 2 0 1 2 0 2 0 ( )

)

0

sin

sin

(

0

)

sin

cos

sin

sin

(

)

sin(

)

sin(

2 0 ( )

sin(

)

1

dx

mx

f

a

n x 同様に、cos(mx)をかけて積分すると 2 0 ( )

cos(

)

1

dx

mx

f

b

n x

※ sin(nx)cos(mx) の積分は、sin が奇関数、cos が遇関数なのでゼロになる。

(8)

[Q2]

下図の波をフーリエ級数展開せよ。

π)

π

 (

π)

 (

x

x

f

x

1

0

1

) ( 周期2πの関数なので、以下の様に展開できる。 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

C

a

nx

b

nx

f

 

  

x

d

nx

f

b

dx

nx

f

a

dx

f

C

x n x n x π π π

 

 

)

cos(

1

)

sin(

1

2

1

) ( ) ( ) ( もちろんこの式に代入して計算しても良いのだが、計算量を減らす工夫をしよう。 C は

f

( x)の振動中心を決める定数である。この問題における

f

( x)はy=0 を中心に振動して いるので C=0 である。また、

f

( x)は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ で構成されているはずである。以上より ) ( ) (

sin(

)

1

sin

n x n x

a

nx

a

f

nx

dx

f

π

 

  、  

  

(9)

1 ( ) ) (

sin(

)

1

sin

n n n x x

a

nx

a

f

nx

dx

f

π

 

  、  

  

を計算してみよう。 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 0

1

sin( )

1

sin( )

sin( )

1

( 1)sin( )

( 1)sin( )

1 1

1

cos( )

cos( )

1

(1 ( 1) ) (( 1)

1)

2(1 ( 1) )

0

n x x x n n n

a

f

nx dx

f

nx dx

f

nx dx

nx dx

nx dx

nx

nx

n

n

n

n

n

n

π π π π π

   

 

   

   

   

   

 ( が奇数の時)

   

   ( が偶数の時)

以上より ( ) 1

2(1 ( 1) )

sin(2

1)

(2

1)

n x n

f

n

x

n

 

 

) ( x

f

が連続な関数である時にはフーリエ級数展開で完璧に展開することが出来るが、

f

( x)が 不連続な関数であるときは、不連続点付近で近似の精度が落ちる。これは不連続関数を連 続関数の重ね合わせで表現しようとすることに無理があるからである。この現象を Gibbs 現象という。これについては江端氏がまとめているのでそちらを参照のこと。

(10)

Fourier 級数展開の拡張

フーリエ級数展開 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

C

a

nx

b

nx

f

 

  

は周期が2πの関数にしか 適用できなかった。これを拡張し、2π以外の周期の関数も扱えるようにしよう。つまり ) ( ) (x

f

x L

f

を満たす関数を見つけるという問題である。

x

L

n

f

(x)

sin

この関数はL≦x≦2L , 2L≦x≦3L , ・・・で同じ値を持つことが分かる。よってこれは要求 を満たしている。(

sin(nx

)

のx を xπ/L にしたと考えても良いだろう。)この f について先 程と同様の議論を進めてゆけば 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

x

L

n

b

x

L

n

a

C

f

 

  

,

x

d

x

L

n

f

L

b

dx

x

L

n

f

L

a

dx

f

L

C

L x n L x n L x 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

)

cos(

1

)

sin(

1

2

1

 

 

(11)

[Q3]

下図の波をフーリエ級数展開せよ。

x

L

A

x

L

A

f

(x)

2

0

周期2πの関数なので、以下の様に展開できる。 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

x

L

n

b

x

L

n

a

C

f

 

  

,

x

d

x

L

n

f

L

b

dx

x

L

n

f

L

a

dx

f

L

C

L x n L x n L x 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

)

cos(

1

)

sin(

1

2

1

 

 

C は

f

( x)の振動中心を決める定数である。この問題における

f

( x)はy=0 を中心に振動して いるので C=0 である。また、

f

( x)は奇関数であるからフーリエ展開も奇関数の sin だけ で構成されているはずである。以上より 1 0 ( ) ) (

sin(

)

1

)

sin(

n L x n n x

x

dx

L

n

f

L

a

x

L

n

b

f

  

  、  

 

(12)

1 0 ( ) ) (

sin(

)

1

)

sin(

n L x n n x

x

dx

L

n

f

L

a

x

L

n

a

f

  

 、

 

を計算してみよう。

が偶数の時)

  (

が奇数の時)

    (

   

   

   

 

   

 

   

   

   

 

 

  

n

n

AL

n

n

n

n

A

n

A

n

n

A

n

A

n

n

A

n

n

A

x

L

n

n

L

L

n

A

x

L

n

n

A

x

L

n

n

L

x

L

n

x

n

L

L

A

dx

x

L

n

A

L

dx

x

L

n

x

L

A

L

dx

x

L

n

A

x

L

A

L

dx

x

L

n

f

L

a

L L L L L L L L x n

2

0

1

)

cos(

)

cos(

2

)

cos(

0

2

)

cos(

2

1

)

cos(

)

cos(

0

)

cos(

2

)

cos(

)

cos(

)

cos(

2

)

sin(

1

)

sin(

2

1

)

sin(

2

1

)

sin(

1

0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 以上より 1 ) (

2

sin

n x

x

L

n

n

AL

f

 

(13)

Fourier 級数展開の拡張 2

フーリエ級数展開 1 ) (

(

sin

cos

)

n n n x

L

n

b

x

L

n

a

C

f

 

  

にはsin と cos が含ま れているので、これらを何とか指数関数で表したい。なぜなら指数関数のほうが取り扱い (微分など)が簡単だからである。オイラーの公式

e

ix

cos

x

i

sin

x

を用いると 1 1 1 1 1 ) (

)

(

2

1

)

(

2

1

2

1

2

1

2

2

)

cos

sin

(

n x L n i x L n i n x L n i n n x L n i n n n x L n i x L n i n x L n i x L n i n n x L n i x L n i n x L n i x L n i n n n n x

Be

Ae

C

e

ia

b

e

ia

b

C

e

e

b

e

e

ia

C

e

e

b

i

e

e

a

C

L

n

b

x

L

n

a

C

f

  

 

   

  

 

   

  

 

   

  

 

   

  

 

  

ここで

 

x

d

x

 

L

n

f

L

b

L L x n

cos(

)

1

) ( , L L x n

x

dx

L

n

f

L

a

 

1

( )

sin(

)

に注目すると、A と B の関係が見えてくる。

a

n ,

b

nを指数関数に変換してからA, B の標識に代入してみよう。

(14)

x

d

e

e

f

L

i

x

d

e

e

f

L

x

d

i

e

e

f

L

x

d

e

e

f

L

dx

x

L

n

f

L

a

x

d

x

L

n

f

L

b

L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x n L L x n

)

(

2

)

(

2

1

2

1

2

1

)

sin(

1

)

cos(

1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

 

       

 

  

 

 

        

 

  

 

        

 

n L L x L n i x L L x L n i x L n i x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x n n

C

x

d

e

f

L

x

d

e

e

e

e

f

L

x

d

e

e

f

L

i

i

x

d

e

e

f

L

ia

b

  

       

  

       

  

       

  

  

  

)

(

2

1

)

(

4

1

)

(

2

2

1

)

(

1

2

1

2

1

) ( ) ( ) ( ) ( カッコ内は積分なので、いかに x が変動しても最終的にただの数値になってしまう。そこ で定数C として表すことにした。n が添えてあるのは n は一つの数字ではなく 1,2,3,・・・と いう値を取るので、変数ではないにしろ気にしておきたいからである。同様にして n L L x L n i x L L x L n i x L n i x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x L L x L n i x L n i x n n

C

x

d

e

f

L

x

d

e

e

e

e

f

L

x

d

e

e

f

L

i

i

x

d

e

e

f

L

ia

b

  

       

  

       

  

       

  

  

  

)

(

2

1

)

(

4

1

)

(

2

2

1

)

(

2

1

2

1

2

1

) ( ) ( ) ( ) ( C の添え字を- n にしたのは、

C

でn の代わりに- n を代入すると同じ値になるからである。

(15)

n x L n i n n n x L n i n x L n i n n x L n i n n n x L n i n x L n i n n x L n i n x L n i n x

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C

C

e

C

e

C

C

f

  

    

  

 

  

  

    

  

 

     

   

    

 

   

  

  

1 1 0 1 1 1 ) ( ここで、C=

a

0+

b

0+定数 だったので、C は

 

0 n x L n i n

e

C

と表せないのではと思うかも しれないが、定数部を

a

0,

b

0に吸収させたと考えれば、それでよい事が分かる。以上より n x L n i n x

C

e

f

( )

  

  

t

d

e

f

L

C

L L t L n i t n

2

(

)

1

) (

  

  

これがフーリエ級数展開の指数関数(複素数)表示である。 n

C

の表式でx を t に変えたのは n x L n i L L x L n i x x

L

f

e

d

x

e

f

(

)

2

1

) ( ) (

  

  

これだと微少長さdx が変動することになってしまう。そういう 意味ではないので、違う文字でおいて誤解を避けることにした。

(16)

Fourier 級数展開の拡張 3

フーリエ級数展開 n x L n i n x

C

e

f

( )

 

 

,

f

e

d

t

L

C

L L t L n i t n

2

(

)

1

) (

 

 

は周期が L で ある関数について成り立つものであった。ではL→∞(周期が∞)の時はどのようになるか 考えてみよう。周期が∞の関数と言うのはx を-∞から+∞まで変化させても1周期分しかな い、よって周期関数でない関数ということになる。 まずは n x L n i n x C e f( )   で n L n ω π と置いてみる。 いまL→∞を考えているので、

L

1

ω

は超微少な値になる。しかしn についてはΣがある ので、この超微少な値の(2倍を入れた時)+(3倍を入れた時)・・・と-∞倍から∞倍ま を足し合わせる。これはまさにdω=

L

π

の積分である。

ω

  

   

ω

  

   

  

   

  

   

  

  

ω ω ω ω

d

e

g

e

g

d

e

t

d

e

f

L

e

t

d

e

f

L

e

C

f

x i n x i n x L n i L L t L n i t n x L n i L L t L n i t n x L n i n x n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

2

1

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

(17)

まとめると以下の様になる。

dx

e

f

g

d

e

g

f

x i x x i x ω ω ω ω

  

  

ω

  

  

) ( ) ( ) ( ) (

2

1

この、周期の無い関数にも適応できるフーリエ級数展開をフーリエ変換と呼ぶ。 フーリエ変換は

f

(x) 2

dx

が収束するものにしか行えない。収束しないとg が不定か発散 になってしまうからである。この条件を

L

2ノルム有界と言う。でも

e

iωxがあるためどんな 関数も収束するのでは?と思うかもしれないが、これは複素数であるため押さえにならな い。

(18)

[Q4]

f

(t)

sin(

kt

)

のフーリエ変換を求めよ。

フーリエ変換の式に代入すると

δ

(δ

π

  

δ

(δ

π

  

δ

(δ

π

  

π

π

π

  

ω

π

ω

π

π

  

ω

ω

  

ω

  

ω

  

ω

 

 

 

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

)

2

2

(

)

2

2

(

2

2

)

(

2

1

)

2

(

)

sin(

F

k k k k b a ibt iat t k i t k i t k i t k i t i ikt ikt t i t i t

i

i

i

db

e

da

e

i

d

e

d

e

i

d

e

d

e

i

d

e

i

e

e

d

e

kt

d

e

f

(19)

[Q5]

() 0 () ) ( t t t

RI

V

dt

dI

L

δ

の特解を求めよ。

フーリエ逆変換を用いて

)

2

(

)

2

(

)

2

(

( ) ( ) 0 ( )

ω

π

δ

 

 

ω

π

 +

ω

π

 

ω ω ω ω ω ω

d

e

V

d

e

I

R

d

e

I

dt

d

L

i t i t i t ↓

1

) ( ) (

   

δ

δ

ω ω

e

dt

t i t ↓

(

)

(

)

(

)

-0 ) ( ) (

 +

 

 

ω

ω

ω ω ω ω ω

e

dt

R

I

e

dt

V

e

d

I

L

i

i t i t i t

)

(

)

(

)

(

I

( )

e

i t

R

I

( )

e

i t

V

0

e

i t

L

i

ω ω ω ω ω

  

 

ω

L

V

I

ω

  

  

ω

i

R

0 ) (

(20)

この

I

)をフーリエ変換の式に代入して

ω 

 

ω

 

 

  

ω

 

ω

 

 

ω

 

 

 

 

ω ω ω ω

d

L

e

V

d

e

L

V

d

e

I

t i t i t i t

i

R

2

i

R

2

1

2

I

0 0 ) ( ) ( あとは複素積分を行えば Lt R t

e

L

V

I

0 ) (

 

 

という解(特解)が求まる。

(21)

[Q6]

() 0

sin(

)

) (

kx

V

RI

dt

dI

L

t t

の特解を求めよ。

フーリエ逆変換を用いて

)

2

)

(

(

)

2

(

)

2

(

I

( )

e

dt

R

I

( )

e

dt

V

0

i

( ) ( )

e

dt

dt

d

L

ω iωt ω iωt k ω k ω iωt

π

δ

δ

π

 

 

π

 +

π

)

)

(

(

)

(

)

(

( ) ( ) 0 ( ) ( )

e

dt

i

V

dt

e

I

R

dt

e

I

L

i

i t k k t i t i ω ω ω ω ω ω ω

δ

δ

π

 

 

 +

ω

)

(

( ) ( ) 0 ) ( ) (ω ω

δ

ω

δ

ω

π

 

 

 +

ω

k k

i

V

I

R

I

L

i

)

(

i

R

1

) ( ) ( 0 ) (ω

δ

ω

δ

ω

π

 

ω

  

  

k k

i

V

L

I

-

(

( ) ( )

)

0 ) (ω

δ

ω

δ

ω

ω

π

  

  

k k

iR

L

V

I

(22)

この

I

)をフーリエ変換の式に代入して

)

sin(

)

cos

sin

(

)

(

)

cos

sin

(

2

)

(

2

)

)

sin

)(cos

(

)

sin

)(cos

(

(

2

)

)

)(

(

)

(

)

(

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

1

2

I

2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) (

φ

  

  

  

  

  

  

ω

 

δ

ω

δ

ω

 

  

ω

 

δ

δ

ω

π

π

  

ω

 

 

 

 

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

kt

L

k

R

V

kt

L

k

R

kL

kt

L

k

R

R

L

k

R

L

k

R

V

kt

kL

kt

R

L

k

R

V

L

k

R

kt

i

kt

kL

iR

kt

i

kt

kL

iR

V

kL

iR

kL

iR

e

kL

iR

e

kL

iR

V

iR

kL

e

iR

kL

e

V

d

iR

L

e

iR

L

e

V

d

e

iR

L

V

d

e

I

ikt ikt ikt ikt k t i k t i t i k k t i t 以上より

sin(

)

2 2 2 0 ) (

 

 

kt

φ

L

k

R

V

I

t と解(特解)が求まる。

(23)

Fourier 変換の世界

フーリエ変換には、単に関数をsin や e で展開できるという以上の意味がある。 一見関係ないようだが、まずはここから考えてゆこう。任意の点 P は直行座標でかならず 表す事が出来る。

z

c

y

b

x

a

P

 

  

  

このとき

x

y

z

の間には内積がゼロ(例えば

x

 

y

 

0

)が成り立っているため3軸は 直交しおり、これらが張る三次元空間で全ての関数を表すことができる。

ところで、フーリエ級数展開

f

(x)

  

a

sin

x

  

b

sin

2

x

 +

c

sin

3

x

  

・・・

は全 ての関数について行えるので、任意の点

P

1,

P

2,・・・は以下の様に表せる。

   ・

      

   ・

      

   ・

      

・・・

  

  

  

  

 

・・・

  

  

  

  

 

・・・

  

  

  

  

 

3 3 3 3 3 3 ) ( 3 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 1 1 1 1 1 ) ( 1

3

sin

2

sin

sin

3

sin

2

sin

sin

3

sin

2

sin

sin

3 2 1

x

c

x

b

x

a

f

P

x

c

x

b

x

a

f

P

x

c

x

b

x

a

f

P

x x x するとこれはsinx、sin2x、sin3x、・・・を直交軸とする無限次元空間で全ての関数を表す 事が出来る・・・ということになるだろう。また本当に直交しているかを確かめる式は 1

P

のとき

sin x

1

sin x

2

1の内積は・・・、

P

2のとき

sin x

2

sin x

2

2・・・と確かめるため、

dx

mx

nx

)(sin

)

(sin

(24)

まとめると、 任意の点P を色々な座標でみることができる。座標にはいくつか種類があり、直交座標(三 次元)、極座標(三次元)、円筒座標(三次元)、フーリエ空間(無限次元)などが存在する・・・ ということである。これは P をどの様な物差しで測るかということで、P 自体は何も変わ っていない。 ) , 3 sin , 2 sin , (sin ) , , ( ) , , ( ) , , (x yz

P

r

P

r z

P

x x x・・・

P

(25)

Parseval の等式

いま、関数f の値

(x) 2

dx

を計算をしてみよう。

 

ω

  

       

 

ω

  

       

 

ω

  

       

 

ω

ω

  

       

 

  

  

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

dx

dt

d

e

g

g

dx

dt

d

e

g

g

dx

dt

e

g

d

e

g

dx

d

e

g

d

e

g

dx

f

f

dx

t ix t t ix t itx t x i x i x i x x x ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( * ) ( 2 ) (

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

積分の順序は自由であること、またデルタ関数の定義

e

ixy

dy

x

2

1

) ( にも注目すると

ω

  

       

ω

  

       

ω

  

       

ω

  

       

ω ω ω ω ω ω ω

d

g

d

g

g

dt

d

g

g

dt

d

dx

e

g

g

t t t ix t 2 ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( *

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

この結果は当然である。なぜなら実空間とフーリエ空間は、ある関数f をどの座標でみてい るかという違いなので、実空間での値とフーリエ空間での値が変わってはならない。

(26)

音波を使ってパーセバルの等式を直感的に説明してみよう。 スピーカーから音が出ており、その音量が10db の音量で聞こえた。 フーリエ変換するとスピーカーからの音は10kHz と 100kHz と 1000kHz で構成されてい ることが分かった。スピーカーからその3つの波が別々に出ているとして、それらの音量 の和を求めたとしても、それは10db でなければならない。 低音← →高音 カーステレオなどに付いているアレ

(27)

Convolution 定理(畳み込み積分)

フーリエ変換が ω

ω

ω)

sin

(

e

G

である時、もとの関数

F

( x)

e

ωの逆フーリエ変換と

sin

ω

の逆フーリエ変換の積になるのでは・・・と思う。もしそうなら計算が随分楽になる。こ れが本当に成り立つのか一般的にチェックしてみよう。

dt

dx

e

f

f

dt

e

f

dx

e

f

dx

e

f

dx

e

f

g

g

G

t x i t x t i t x i x x i x x i x ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ω ω ω ω ω ω ω ω

  

    

  

    

  

    

 

  

ここで、x+t=y と置くと

dt

dy

e

f

f

i y t t y ω

  

    

1( ) 2()

dt

e

f

f

e

F

dt

dy

e

f

f

dy

e

F

dt

dy

e

f

f

dx

e

F

dt

dy

e

f

f

G

y i t t y y i y y i t t y y i y y i t t y x i x y i t t y ω ω ω ω ω ω ω ω

  

  

  

  

  

 

  

  

 

  

     

 

) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) (

(28)

 

  

  

    

 

  

  

    

 

  

  

  

  

  

  

ω ω ω ω

dt

f

f

F

dt

f

f

F

e

dt

f

f

e

F

dt

e

f

f

e

F

t t x x t t y y y i t t y y i y y i t t y y i y ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 以 上 よ り 、

G

(ω)

 

g

1(ω)

g

2(ω) で 、

G

(ω) ,

g

1 ω( ),

g

2 ω( ) の 個 々 の 逆 フ ー リ エ 変 換 が ) (ω

F

,

f

1 ω( ),

f

2 ω( )である時、

F  

(x)

f

1(x)

f

2(x) は成り立たず

 

  

  

f

f

dt

F

(x) 1(x t) 2(t) となる。これをコンボリューション定理と呼ぶ。

(29)

Laplace 変換

フーリエ変換は

L

2ノルム有界な関数についてしか行えなかった。これを何とか改良して、 どんな関数でも行えるようにしたい。 いま、

L

2ノルム有界を満たさない関数

f

( x)があるとする。これを無理矢理収束させるには

dx

e

f

ax x) ( 一見解決できたかに見えるが、これでは+∞の時は収束しても、-∞の時が収束しない。

dx

e

f

ax x 0 ( ) これで解決する。しかしフーリエ変換の定義は-∞から+∞なので、なんとか積分領域を伸 ばしたい。そこで、ステップ関数θ(x<0 で 0 、 0<x で 1)をかける。

dx

e

f

ax x x) ( ) (

θ

これで積分領域を保ちつつ収束させることに成功した。ではフーリエ変換してみよう。

dx

e

f

dx

e

f

dx

e

e

f

g

x i a x x i a x x x i ax x x 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω

   

θ

   

θ

 

 

(30)

dx

e

f

g

a i x x 0 ) ( ) ( ) ( ω ω

  

ここでa+iω=s と置き換えると

dx

e

f

F

sx x s) 0 ( ) (

  

これをラプラス変換と呼ぶ。 フーリエ逆変換は

ds

F

e

i

f

ds

e

e

F

i

f

e

d

e

F

f

e

x

d

e

F

f

e

d

e

F

f

e

i a i a s sx x i a i a sx ax s x ax x a s x ax x i x ax x i x ax x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

2

1

2

1

2

1

)

0

(

2

1

2

1

 

    

 

  

ω

 

 

  

ω  

 

 

  

ω 

 

 

θ

ω ω ω ω ω これがラプラス逆変換である。

(31)

微分方程式の

Laplace 変換による解法

ラプラス変換の値を覚えておくと、非常に鮮やかに微分方程式を解くことが出来る。 物理問題で現れやすいラプラス変換を書き出しておくと ラプラス空間 実空間

s

1

1 , ) (t

u

2

1

s

t 1

1

n

s

n

t

a

s

1

e

at

)

(

1

a

s

s

(

1

)

1

e

at

a

2 2

a

s

s

cos(at) 2 2

a

s

s

cosh(at) 2 2

a

s

a

sin(at) 2 2

a

s

a

sinh(at) これらはもちろん定義に従って計算すれば求まるのだが、これらを暗記するかもしくは割 り切って公式集を見るのがミソである。これから続く問題を見てみればそれがわかるだろ う。

(32)

[Q7]

x

(t)

x

(t)

のラプラス変換を求めよ。

) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 () ) 0 ( 0 () 0 ) ( 0 ( ) ) (

0

0

x

sX

sX

x

dt

e

x

s

x

dt

e

x

s

e

x

dt

e

x

X

s s st t st t st t st t s

    

    

    

    

  

) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 () ) 0 ( 0 () 0 ) ( 0 () ) (

)

(

0

x

sx

X

s

x

x

sX

s

x

X

s

dt

e

x

s

x

dt

e

x

s

e

x

dt

e

x

X

s s s st t st t st t st t s

    

    

    

    

    

  

(33)

[Q8]

Ri

E

 (

i

(0)

0

dt

di

L

を解け。

両辺をラプラス変換して

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

0

(

1

)

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (

L

R

s

s

L

E

I

R

Ls

s

E

I

s

E

I

R

Ls

s

E

RI

sI

L

s

E

RI

i

sI

L

s s s s s s s

 

      

 

      

 

    

 

 

 

ラプラス変換表と見比べれば t L R t L R t

e

R

L

e

R

L

L

E

i

1

1

) (

  

   

  

  

(34)

[Q9]

2

3

2

4

2

 (

(0)

3

,

(0)

5

2

x

x

e

x

dt

dx

dt

x

d

t

を解け。

両辺をラプラス変換して

2

1

4

14

3

)

2

3

(

2

1

4

2

9

3

5

3

2

1

4

2

3

) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2

s

s

X

s

s

s

X

sX

s

X

s

s

X

x

sX

x

sx

X

s

s s s s s s s

  

         

  

  

  

   

   

  

  

  

  

  

  

2 2 2 2 2 ) (

)

2

(

4

2

1

1

7

)

1

(

)

2

(

24

20

3

2

24

20

3

)

1

)(

2

(

1

)

14

3

(

2

4

2

3

1

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

X

s

  

  

  

    

  

    

  

    

  

  

ラプラス変換表と見比べれば t t t t

e

e

te

x

2 2 ) (

  

  

7

4

4

※ もちろんラプラス逆変換を真面目に計算してもよいのだが、そうすると複素積分が出

(35)

[Q10]

2

2

5

sin

 (

(0)

0

,

(0)

1

2

x

x

t

e

x

dt

dx

dt

x

d

t

を解け。

両辺をラプラス変換して

)

2

2

(

1

1

)

5

2

(

1

)

1

(

1

5

0

2

1

0

sin

5

2

2 ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 0 ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2

s

s

X

s

s

s

X

sX

s

X

s

tdt

e

X

x

sX

x

sx

X

s

s s s s t s s s s

  

   

  

      

  

   

   

  

  

  

  

  

  

4

)

1

(

1

3

2

1

)

1

(

1

3

1

5

2

1

3

2

2

2

1

3

1

)

5

2

)(

2

2

(

3

2

2 2 2 2 2 2 2 ) (

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

X

s

  

  

    

 

  

  

    

  

  

ラプラス変換表と見比べれば

 

 

  

   

 

  

  

  

t

t

e

t

e

t

e

x

t t t t

2

sin

sin

3

1

2

sin

2

1

3

2

sin

3

1

) (

(36)

[Q11]

(

0

1

,

1

)

0

2

0

4

3

2

y

x

t

y

x

dt

dy

dt

dx

y

x

dt

dy

dt

dx

   

を解け。

初期条件に気を付けつつ2 式の両辺をラプラス変換すると

0

2

))

1

(

(

)

1

(

0

4

3

))

1

(

(

)

1

(

2

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  

  

  

  

  

  

  

s s s s s s s s

Y

X

sY

sX

Y

X

sY

sX

簡単な連立方程式になったので、X と Y についてまとめる。

1

)

1

(

1

1

)

1

(

1

2 ) ( 2 ) (

s

s

Y

s

X

s s

 

ラプラス逆変換を用いれば、解が求まる。

)

cos(

))

sin(

)

(cos(

) ( ) (

t

e

y

t

t

e

x

t t t t

 

(37)

Fourier / Laplace 変換 まとめ

フーリエ変換は初期条件を考慮せずに用いることができ、方程式の特別解を得ることが出来る。 ラプラス変換は初期条件無しに用いることはできず、方程式の一般解を得ることが出来る。 両変換の数学的な有用性は、微分方程式を代数方程式に変換することによって計算を簡単にでき ることにあるが、物理的な有用性はどう説明されるのだろうか? フーリエ変換は初期条件によらない解を導くが、これは与えられた系の初期条件によらない状態 (定常状態)が得られているということである。一方でラプラス変換は初期値による解、つまり 定常的でない状態が得られる。二つの変換は異なるコンセプトで用いるもので、決して「フーリ エ変換を便利にしたのがラプラス変換」では無いのである。 物理問題は大別して「定常状態を探る問題」と「初期値問題」の2つに分けられる。よって、与 えられた問題がどちらを聞いているのかを見極める力があれば、自ずとどちらの変換を使うべき かが見えてくるのである。

(38)

[参考文献]

・ マグロウヒル大学演習シリーズ「フーリエ解析」 Murry R. Spigel 著 中野寛 訳 オーム社 ・ マグロウヒル大学演習シリーズ「ラプラス変換」 Murry R. Spigel 著 中野寛 訳 オーム社 ・ 「使える数学 フーリエ変換・ラプラス変換」 楠田信・平居孝之・福田亮治 著 共立出版株式会社 ・ 物理数学2 のテキストとノート ・ 物理数学演習のテキストとノート ・ 江端修一郎氏のまとめノート Takashi Inoue http://www.persianblue.net

参照

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