多変数フーリエ級数のBochner-Riesz meansのoperator normに関する評価

NII-Electronic Library Service 北 陸 大 学　紀 嬰 第14号　（1990） 　pp．281 ’ 〜288． 1

多 変

・

数

プ ー

_リ

．工

級 数

の

Bo6hner

−

Riesz

　means の

　　　　　　　

op6rator 　

_norm

_に

関

す

_る

評 価

．

小 　嶋　迪　孝

Estimates

　

for

　the　operator 　

horm

　of 　

Bochner

−

Riesz

　　　　　 mearls 　of　multiple 　

Fourier

　series

Miehitaka

　

Kolima

　 　 　 tt

Received　

October

　20．

J990

　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 Summary ．

　In　this　note　we　give　an 　estimate 　frorn　below　for　the　

magniYude

　of　

the

　operator 　norm

II

　

S

。 ・

IIV

・

f

　

B

・chner ・

Riesz

・m ・ah ・ ・

f

・ ・

der

α ・

f

’

n−

dim

・n・

i

。 ・ ・

I

　

F

・ ・

rier

　se・

ies

・

i

_・ the_regi・n

｛

（a_・　P）・・≦・

（

÷

−

t

）

→

1≦P≦ 。

午

1

｝

・



_． 　　　Rn を n （≧ 2） 次 元ユ ー_{ク リッ} ド空間と し，そ．の元x＝ （κ₁，…，　x_。’），　y＝ （yl，…，　yn ）に 　 　 　 lc− ’

　

対 して （x_，y）；

£

夏編 九

1xl

・・_（Xix_）i とする。T をRnの

格

_{子 点全体}の集_念 1” 　

CtR

”／

27tZ

’tを n 　　次元’トーラ スと す る。

LP

（

T

）（

1

≦

p

＜ D。）を丁上_の

p

乗可積分_関数全体の集合 ，　Lea （T ）を

　　

丁 上の本質的有界可測関数 全体の集合と し，

H

　

f

　

i

_．

1

_ρ　｛_？そ れ らの関 数

f

の ノ ル ム とする。

　　　

α ≧ 0 に対 して

f

．∈ L1 （野）の フ．− 1丿工 _{級 数}の α・次の Bochner −

Riesz

　mean ．を

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

・_ノ瞬 ）−

11mP

（R

（

！ −

k

’ ，

12

）

曙 ゐ・綱 　 　 と あ ら わす。 こ ．_． こ に　 　 　 　．

　

　

　

　

　

　

鋸 （・が

∫

。∫ω ． e −’e・_…’_・d ・ （m ∈ zn_）・

去

i

嘆

霧

_｛

灘

爆

_繹惚

_笥

1

懸

湿

紘

幽

　　　　　　iim

　

li

．　

SRa

　

liU

　＝ 。。． 　 　 　 Rteo

で あ るこ と が

E

．

M

，．

Stein

　_and 　G ．．Weiss ［4］_によっ て よ く知．られて い る_。 本稿で は，こ の

＊教・養 部

　Faculty　of　Generai　EdUcation

28ヱ．

NII-Electronic Library Service A 2 　 　 　 小 嶋 迪 孝 ＋D・に発散す_る速_さに_{っ い て の下}か _{らの 評}価_を与_える 。 その 方 法は， 一般 的な楕 円 型 偏 微 分 作 用素に対す る固 有 関数展 開の立場での K ．1．Babenko の _論文 _［1］を_参考に し て 三 _角フ ー1丿工 級数の立_場に立 っ て辿 っ てみ ることであり，そのた あにはE ．M ．　Steinの 論 文 ［3］ ． の助 けを大 い に_借りて い るQ　 ’　 　　 ・　 　　 　 　 　 「 　 　 　 　　 　 　 」 　証 明する定理 は次の もの で あ る。 定 理 （i） 1 ≦_・＜

許

等

・ ≦ ・ く ・、 に対し

で

　　　　　　

Il

　

s

。 α

ilL

’ ≧

CRar

”a ． （li） 1 ≦P ≦ 。

誓

・ 一・ 、に対 して

　　　　　　

1

［、

S

。 ・

rl

” ≧

C

（正。g

麟

こ こ に（i）  に お けるC はR には無関係な ある定数を あ らわ す。 　§1は証 明に必 要な一連の _補題を述べ るの に充て，§2で そ れ らを利 用して定 理を証 明 す る。 　 §1 ．補 題

　

q ∈ C °°（0 ，D・） を次_の 様な関数とす_る 』 ：1 ＜ qQ〈 _q と し

　　　　　　　

0≦ _{q （}t）’≦ 1f ・ ・ t∈ _［O_， ° °） ・

　

．

　 　 　 　

1 、

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

・ ・t）・’一 ・

i

_{・ ・} t・

［

_・

÷

］

・ ・q，・…

　

　

．

　 　

O・（t）・− 1f ・・t・

［

払

］

・ 各 R ＞ Olヒ_対して次の 磐 _上の関tw　

fR

（x）を考え る。 ω 仙 ）一・_。

？

。　o・

（

喫

；

り

非 秘

　　

一 　補題

1

_{． （［}

2

］，

Lemm

α

3

）．

1

≦

p

≦ QQ に対して 　 　 　 n 　　　　　　

11

　

fR

　

llp

　”＝0 _（1〜7 ） が成り立っ ，こ こ に

1

＋

；

． − 1． 　 　 　 　

P

　 　

P

　

次にα _≧

g

に対して

　　

1 （・・ 職 ・・）

r

訊

。

（

1

」

餮

、

e

）

a 　・

（

k

，、

12

）

el （m ・　x ＞一_¢ 。 ・ 　（x） … 蜘 ・一（v・ ’ …

i

’

）

　rn　

f

），i．R

（

1 −

1

_養

！

2

_ア

・

（

［

養

！

2

）

・ ・ ％ とお く。

　

補 題2 ．（［2］， Lemma 　2），（3）の 盗 α （x_）に対 して次の漸

近

i

公 式が成 り立っ ：R ［xl ≧ 1に 282 　 　 　 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service

多 変数フーリエ級 数の Bochner −Riesz　means の operator 　norm に_関する_評価 3

対 して 恥 ）一 飾 ＋ 1）

厚

測 _廊

1

_）一亨 一_・ 鵬 飾

1

− ・） 　 　 　 n 　3 　　　　 ＋

0

_（Rn （1〜

lxl

_） 一一 iL『a ）， こ こ ・，・一

晉

傷

1 ＋ ・

）

． 　 　 　 n − 1 　補題

3

　（［

2

］，　

Lemma

　

4

_）．　0 ≦α ≦ 　　　　　　　に対して 　 　 　 2 　 　 　 n　1 　　　　　　

1

ゆk“ 　一（凋 万 ）” 輪α

ll

、一σ（RT 一α ） が成 り立っ 。 §2 ．定理の証明 定理 を次の形で証 明 するこ _ξにする。 十分大な るすべ て の

R

に対して 次が成り立っ ω

1

≦・

P

・ 。

聖

。 ・ ≦・ ＜

嬉

女寸・て

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

ll

・

s

・ ・

1

！u ・ ・

｛

驀

≒

） 1

｝

壷

（1・）　 1≦

P

≦

kt

 v ・ 一・ap ・

対

して 　 　 　 L

　　　　　　　

ll

　

SRa

　

l

_［Lb _≧

C

_（

logR

_）T ． こ こ に C は R に は無関係な定 数を あ ら わ す。

　

  の評 価 式の右 辺の_値は

e

_）の 評 価 式の右 辺の値の α 一α_p→ 0と した時の極 限 値と なっ そい る。 　さ て，

　

　

　

　

　

　

・ _ω

惚

∵

意

二

靄

_∴

a”’ とお く。 そ うすると我々 の目 的は十 分 大な る すべ て の

R

に対 して

　

（4）

　

1

：SRα

11v

_≧ CR “・−aA （R） が成り立っ こ、とを 証 明することである。 そ の ために我々 は，不 等 式

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

li

・

s

・ ・

liV

≧ 」

驍

⊥ 及び補題 1によ る

11

　

fR

　’

ilp

の上か らの評 価 を利用し，そ して

II

　

S

， α （

fR

）

llp

を下か ち評 価 すること を考 える。

　

こ こ で

A

ω にっ い て，任意に η ＞

0

を固定した と き， ηに依存す る あ る定

tw

　

C

ηが

存

在し て，十 分 大 きいすべ _{て の} R _に対して 　（5＞ A （R η）≧ CηA （

R

） が成り立っ こと を注

意

しておく。 283 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service 4・　 　 　 小 嶋 迪 孝 　我々 は先 ず， 適当な定

tw

　K ＞ Oが 存 在 して， 各

G

〈 η≦ π に対し， 十分 大な るすべ て の R につ い て …

｛

∫

券。＿ 購 ・

1

・dx

｝

÷

… 早

Y

・A 依 _・・ が成 り立_？ことを証 明する。 こ こ に c はR と_{η に は}無関係

_参

定 数をあ らわし，、以 下 定数 c は 現われる毎に異っ て も よいもの とする_。 　 補 題

2

によっ て 　 　 　 ⊥

　

　

　

　

　

｛

∫

_砦

。 ＿

1

購 ）

回

ρ

　

　

　

　

　

≧ c

｛

∫

s

。i。、。，

IR

” 　（Rlxl ）斗 一・ 鵬 （Rl ・

1

− ・）

呵

ナ

　 　 　 1

　　　　　　

−

_o

（｛

∫

4

．’、。1。 ， 刪

R

囲 ）一票 α

1

・ 伽

｝

つ

　 　 　 R 　 　 　 ＝／_l− ／₂ と お く。 先 ず12にっ いて 上か ら評価 する。

　

　

　

　

　

　

　

　

　

ザ …

停

一α

》

∫

告．_＿ ， ・・

1

停

一

蛎

　　　　　　

一．CR

（

甼 一

り

P −’

∫

ユ

・

（

一

亭

一a

）

P ＋ n『Ldr

　 　

1

　 　 　

■

　　　　　　

− CR

（

早 α

》

一’

∫

ユ

酋 の† Ld ・

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

≦

　

CR

（

n−1 　 −a2

）

ρ一P

（

熹）

　P

∫

二

rP（一一一の一1d ’ r

　　　　　　

− c

_（

_÷

_）

ρ R

（

午 二“ ’

∫

ユ

〆（_蝉 ｝L ぬ 　 　 　 R 　故に，α_p ＞ α の _{と き，}

　

　

　

　

　

　

　

、、P ≦ c

（

÷

ア

・

晒

｛

〆 

；

讖鞘

｛・_〉

　

一・

（

÷）

・ ・

晒

捌

ト

欝

拿

_詳

一_の

｝

．が成 り立ち，そ し て α_ρ＝ _{α の} と き，一

　　　　　　　

穿

・ ・

（

÷

）

PR

（

撃 一α

）

P

｛

1

・9・ −

1

・9

奏

｝

（・_｝

　 　

_r ・

（

÷

）

♪ ・

悍

一α

）

勹・9

聖

が成 り立っ 。

　

次に 」、にっ い て

≠

か ら評価する。 284， 　 　 　 N工 工一El ・ 。t・ 。ni 。　Lib … シS・ ・vi 。 ・

NII-Electronic Library Service

　　　　多 変 数フ ーリエ 級数の Bochner −Riesz　means の operator 　norm に関する評価5

　

　

　

」_lp − ・R

（

  一α

》

∫

÷、1＿

ll

…

牛

一αC・… 国 一・・

1

’ d．X

　　　　

　

＝＝・

CR

（

早 一α

ン

∫

11

・ 一_甼 一ac ・s （

R

・一θ）

1

・rn −ldr

　　

 

　

　

　

　

　

一・

k

（

n一且 一 一a 　 2

）

ρ

∫

_嬰

押 一ll・…

R

・　T−・）

1

’ ・’r

　

　

　

　

　

・ ・R

（

÷ ・

）

げ

レ

幽 一ai−・c… _（・・ 一嚇 （（・・_・…

　　　　

L

・

R （

亭 一α

〉

∫

ン

細 ’

音

｛1＋ CQ ・2 （・・ 一・）｝・dr 　 　 　 R

　　　　

　

−

_{CR （}

n　−1 −a2

）

P

｛

∫

L

・幽 一a ）一’ ・・ ＋

∫

1

押 一’ c・ ・2（・・ 一・）

dr

｝

・ ’ 　 　 　 R　 　 　 　R 故に， αp ＞α の と き，部分積分 法 を適 用 して flP≧

c

幽

｛

漕

；

罵

∴

匪

一a ）−1・・M ・

舞

一・・

］

上

　　　　

　　　　

一

∫

1

肋 （・P − ・）・一・i｝押 　2sin2

雅

θ）

d

・

｝

　

　

　

　

。 。

斜

｛

n’‘”’

；

諜

！

∴

（

1 ． ρla，−a）−l

R

η

）

　

　

　

　

　

　

　

　

− o

_（

_妻

_（

_芸

_）

P（”’−a’”1

_）

_｝

　

　

　

　

一 。 。

停

一

の

・

押

_｛

1

欝

2

∴

（

if

，

）

　

　

　

　

　

　

　

　

− o

_（

_÷

_（

_舌

_）

P（”’−a）

_）

_｝

脇

れ・ ・

彊

・ ・な ・・

岩

・

÷

… か ・ ，，_、・，9。 ・ 。

（

・ ・L

旁

咽

卜

欝

導

∵

・

（

麦

）

｝

が得 ら

_μ

・・ま

嵐

ヨ・ の と き，

　

　

　

　

　

　

・1・≧ CR

（

n −1 　2a

）

♪

｛

∫

レ

ーidr ＋

∫

ヱ

・・ c・ ・2 （R ・一・）

dr

｝

　 　 　 R　 　 　 R 燭 るが・　 ’ 　

Ptoneit

分滋 齷 し賺 ・_{議 論 す}ると

　

　

　

　

　

　

・1・≧ CR

（

n−1 　 −a2

）

P

｛

₁

・9 _・− 1・9 ’

｛

f

・＋

［

ズ ’ si

号

2

鶚

一_θ）

］

_写

　　　　

　　　　　

・

∫

1

ズ ・ s’n2

鶚

一_θ） dr

_｝

　 　 　 285 　　　　　　　 N工 工一El 。 。t． 。 。i。　Lib ． 。 ．垂S。 ．vi 。 。

NII-Electronic Library Service

多 変 数フーリエ 級数の Bochner −Riesz　means の operator 　norm _{に 関 す}る評 価 7

　

　

　

　

　

　

　

一_{。 。}早 一

_｛

_，1。_、．_，、

÷

（

1

；

’

i

：

S

． g ， ，

R

R

”_’ rp ，

）

÷_一 。

（（

÷

）

÷

）｝

　　　　　　

1・gi が得 られる が， こ の場合も ま た

甚

聡lo郎 ；＋ ・。 ， 及び

甚

黒 、log　_t 　　　　　　　− 1に注意す る と，適当に 大 きなあ る

K

＞

0

_．を とっ て固定 すれば_， 各

0

＜ _η≦ π に対して十分大な るすべ て の

R

にっ い て

　

　

　

　

　

　

　

　

　

｛

し

1．，

1

蜘

呵

÷

・

CR

！ ’ ； ”Li 　maA _・

_R

・・ 　 　 　 R と_出来る。 以上で（6｝が証明さ れ た。 　次に φ_Ra （x） を（2）に よっ て定義された もの とする と 　 　 　 ⊥

｛

∫

岡 ．，

1

鋸 ω 陋

｝

’ 　 　 　 1　 　　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　1 ・（

M

）n

｛

k

。。 、，

1

蜘 ）

E

…

｝

下一

｛

∫

1。，、，

1

曜 （・）・ （_・…

i

）・ 蜘 ）

呵

万 におい て，H61der の不 等 式 及び_捕題 3に よ り

　

　

　

　

　

　

　

賑

，

1

卿 ）一（

i

・・

ii

−

if

）・ 蜘 ）

1

・dx

｝

÷

　

　

　

　

　

　

　

・

｛

J

、。i． ，卿 ・一・

m

・

f

_・

聯

）1・d・

｝

÷ ・瑠

号

　　　　　　　

≦

il

．¢． ・ 一 （飯 ）n 　粥〜 α

112

（

9n

ηn）

 

　 　 　 n　1　 　 　 　 2−P

　　　　　　　

〒

o

（∫〜　2・− a η　2P ） である。 従っ て（6）により 　 　 　 ⊥

　

　

　

　

　

　

　

　

　

｛

∫

1。1．，

i

・_…a　（x_）

IPdx

｝

ρ

　　　　　　　　　

≧ CR 午 一・_η・・−a ｛

A

（

R

η）−

o

（η ”（

1

夛’L ・−a ） ）｝ 　 　 　 n　！　 　 　 1

　　　　　　　　　

＝

CR

巧 一 一anya ’−a ｛A （R η）−

0

（ητ ＋ り｝ ．が得ら れ る か ら，適 当に小さい_{各 η}＞

0

に対して，十分 大きいすべ て の

R

にっ いて （11・

｛

五

1．， ・蜘 ・

呵

÷

・・

置

Y

・

A

_・

R

・… が成り立っ 。 従っ て この様な ηを固 定 すると， （2＞に よ るSRa（

fR

：x）＝¢Ra （x） と注意  によ り，十分大 な るすべ _{て の} R _に対して 　 　 　 n　！

　

（ユ2）



1

［

SR

α （

fR

）

11P

≧

C

η　

R

− T −aA （R ） が得ら れ る。 　補 題 1と（12）に よ り ．

　

　

　

　

　

　

II

・_’

11

”

螺 鼎

一≧ ・

バ

子一aA ・R・・

7

勘

商   が得られ，定理 が証 明さ れ たこと になる。 　 　 　 　

287

N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service / 8 i]N

es

ra

$

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