信号処理とフーリエ変換第 6 回

(1)

信号処理とフーリエ変換第 6 回

〜Fourier^{変換と反転公式},^{マスターすべき}Fourier^変換(1)^〜

かつらだ

桂田祐史^{まさし}

2020年10月28日

(2)

本日の内容・連絡事項

• ^今回から “^フツーの” Fourier変換の説明を始めます。講義ノート[1]

の§2.1, 2.2, 2.3の途中まで。

• ^{レポート課題}1が出ています。締め切りは11^月10^日15:20^です。

(4)

2 Fourier 変換 2.0 はじめに

いわゆる“フツーの” Fourier変換の定義式と基本的な性質を述べる。

Fourier変換ファミリーは4人いるが、どういう性質を持つかの説明としては、

この節で紹介する“フツーの” Fourier 変換が代表的であり、良いだろう、と考えている。

“フツーの” Fourier変換の定義式には、全空間Rでの積分が出て来る。一般的

な状況で積分の存在を論じるのはあきらめる(かなり難しいから¹)。

物理的な応用が豊富にあるが、言及できない(時間が足りないから。参考書は小出 [2]がお勧め。)。偏微分方程式の問題への応用例を少し紹介する程度。

cos, sinはやめて、複素指数関数版だけ示す(時間の節約のため)。

F の筆記体F や、ギリシャ文字のクシーξ (Ξの小文字)に慣れよう。

1

定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を定義する、ということである。超関数として考えるのが必要になることも多い。

かつらだ桂田

まさし

(5)

2 Fourier 変換 2.0 はじめに

1

定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を定義する、ということである。超関数として考えるのが必要になることも多い。

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2 Fourier 変換 2.0 はじめに

1定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を定義する、ということである。超関数として考えるのが必要になることも多い。_かつらだ

桂田まさし

(7)

2 Fourier 変換 2.0 はじめに

1定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を

(8)

2 Fourier 変換 2.0 はじめに

1定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を定義する、ということである。超関数として考えるのが必要になることも多い。_かつらだ

桂田まさし

(9)

2 Fourier 変換 2.0 はじめに

F の筆記体F や、ギリシャ文字のクシーξ(Ξの小文字)に慣れよう。

1定義式が、Lebesgue積分で意味を持つには、f ∈L¹(R)が必要十分である。L²理論がよく使われるが、L²(R)̸⊂L¹(R)であることに注意する。f ∈L¹(R)でないf に対して、Fourier変換を

(10)

2.1 Fourier 変換の導入 , Fourier の反転公式

2.1.1 Fourier級数の復習

まずFourier級数を復習する。ある程度なめらかなf:R→C^が周期T ならば

(1) fb(n) =Ff(n) := 1 T

Z T/2

−T/2

f(x)e⁻ⁱⁿ^2π^T^xdx (n∈Z) とおくとき

(2) f(x) =

X∞ n=−∞

fb(n)eⁱⁿ^2π^T^x (x∈R) が成り立つことが分かった。

注 §1では、Fourier係数をcn と書いたが、ここでは以下の議論で照らし合わせるため

にfb(n),Ff(n)^{と表している。}

cnのことをfb(n)やFf(n)と書くのは、実は最近の流行でもある。 (3) cn=fb(n) =Ff(n) = 1

T Z T/2

−T/2

f(x)e⁻ⁱⁿ^2π^T^xdx (n∈Z).

かつらだ桂田

まさし

(11)

2.1 Fourier 変換の導入 , Fourier の反転公式

(1) fb(n) =Ff(n) := 1 T

Z T/2

−T/2

(2) f(x) =

X∞ n=−∞

fb(n)eⁱⁿ^2π^T^x (x∈R)

が成り立つことが分かった。

cnのことをfb(n)やFf(n)と書くのは、実は最近の流行でもある。 (3) cn=fb(n) =Ff(n) = 1

T Z T/2

−T/2

(12)

2.1 Fourier 変換の導入 , Fourier の反転公式

(1) fb(n) =Ff(n) := 1 T

Z T/2

−T/2

(2) f(x) =

X∞ n=−∞

fb(n)eⁱⁿ^2π^T^x (x∈R)

が成り立つことが分かった。

cnのことをfb(n)やFf(n)と書くのは、実は最近の流行でもある。

(3) cn=fb(n) =Ff(n) = 1 T

Z T/2

−T/2

かつらだ桂田

まさし

(13)

2.1.2 Fourier 変換の定義と反転公式

周期関数でないf:R→C^が

x → ±∞^のとき|f(x)|がある程度速く減衰するという性質を満たすならば、次のことが成り立つ。

(f を周期Tが大きい関数により[−T/2,T/2]で近似してFourier級数展開し、極限移行する。)

Fourier 変換の定義と Fourier の反転公式

(4) fb(ξ) =Ff(ξ) := 1

√2π Z _∞

−∞

f(x)e⁻^iξxdx (ξ∈R)

とおくとき

(5) f(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

fb(ξ)eⁱ^ξxdξ (x ∈R).

(4)で定まるfb(=Ff)を関数f のFourier変換と呼ぶ。f にfbを対応させる写像 F:f 7→fbのこともFourier変換と呼ぶ。

(5)をFourierの反転公式と呼ぶ。

fb(ξ)(=Ff(ξ))^{のことを、}F[f(x)](ξ)という記号で表すこともある(^後述)^。

(14)

2.1.2 Fourier 変換の定義と反転公式

Fourier 変換の定義と Fourier の反転公式

(4) fb(ξ) =Ff(ξ) := 1

√2π Z _∞

−∞

とおくとき

(5) f(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

かつらだ桂田

まさし

(15)

2.1.2 Fourier 変換の定義と反転公式

Fourier 変換の定義と Fourier の反転公式

(4) fb(ξ) =Ff(ξ) := 1

√2π Z _∞

−∞

とおくとき

(5) f(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

(16)

2.1.2 Fourier 変換の定義と反転公式

Fourier 変換の定義と Fourier の反転公式

(4) fb(ξ) =Ff(ξ) := 1

√2π Z _∞

−∞

とおくとき

(5) f(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

fb(ξ)(=Ff(ξ))のことを、F[f(x)](ξ)という記号で表すこともある(後述)。

かつらだ桂田

まさし

(17)

2.1.3 共役 Fourier 変換

(4), (5)の右辺の類似性に注目しよう。

一般に、関数g:R→C^{に対して、}g の

きょうやく

共役Fourier変換ge=F^∗g を (6) eg(x) =F^∗g(x) := 1

√2π Z _∞

−∞

g(ξ)e^iξxdξ (x∈R) で定める。写像F^∗:g7→eg のことも共役Fourier変換と呼ぶ。

この記号を用いると、Fourier^反転公式(5)^{は次のように表せる。} F^∗(Ff) =f.

逆順にしても成立。つまり、g ^の共役Fourier^変換F^∗g ^をFourier^{変換すると元に戻る}: F(F^∗g) =g.

まとめておく。適当な条件下で

(7) F^∗(Ff) =f, F(F^∗g) =g

が成り立つ。とりあえずF^∗=F⁻¹^{と考えてよい}(本当は定義域・終域を決めないと…)。共役Fourier変換のことを逆Fourier 変換とも呼ぶ。

(18)

2.1.3 共役 Fourier 変換

きょうやく

√2π Z _∞

−∞

この記号を用いると、Fourier^反転公式(5)^{は次のように表せる。}

F^∗(Ff) =f.

逆順にしても成立。つまり、g の共役Fourier変換F^∗g をFourier変換すると元に戻る: F(F^∗g) =g.

(7) F^∗(Ff) =f, F(F^∗g) =g

が成り立つ。とりあえずF^∗=F⁻¹^{と考えてよい}(本当は定義域・終域を決めないと…)。共役Fourier変換のことを逆Fourier 変換とも呼ぶ。

かつらだ桂田

まさし

(19)

2.1.3 共役 Fourier 変換

きょうやく

√2π Z _∞

−∞

F^∗(Ff) =f.

(7) F^∗(Ff) =f, F(F^∗g) =g

が成り立つ。

とりあえずF^∗=F⁻¹^{と考えてよい}(本当は定義域・終域を決めないと…)。共役Fourier変換のことを逆Fourier 変換とも呼ぶ。

(20)

2.1.3 共役 Fourier 変換

きょうやく

√2π Z _∞

−∞

F^∗(Ff) =f.

(7) F^∗(Ff) =f, F(F^∗g) =g

が成り立つ。とりあえずF^∗=F⁻¹^{と考えてよい}(本当は定義域・終域を決めないと…)。

共役Fourier変換のことを逆Fourier 変換とも呼ぶ。

かつらだ桂田

まさし

(21)

2.1.3 共役 Fourier 変換

きょうやく

√2π Z _∞

−∞

F^∗(Ff) =f.

(7) F^∗(Ff) =f, F(F^∗g) =g

が成り立つ。とりあえずF^∗=F⁻¹^{と考えてよい}(本当は定義域・終域を決めないと…)。共役Fourier変換のことを逆Fourier変換とも呼ぶ。

(22)

2.1.4 Fourier 級数と Fourier 変換の対応

Fourier級数とFourier変換で言葉遣いが違っているので、分かりにくいかもしれないが

Fourier係数にはFourier変換が対応し、Fourier級数展開には反転公式が対応する。

「共役」について線形代数で、正方行列U= (uij)がunitaty^{ユニタリ} 行列とは、UのHermite 共役U^∗= (uji)がU⁻¹である、すなわち

U^∗U=UU^∗=I (I は単位行列)

が成り立つということ。Fourier変換はunitary変換と呼ばれるものになっている。

かつらだ桂田

まさし

(23)

2.1.4 Fourier 級数と Fourier 変換の対応

Fourier級数とFourier変換で言葉遣いが違っているので、分かりにくいかもしれないが

Fourier係数にはFourier変換が対応し、Fourier級数展開には反転公式が対応する。

「共役」について線形代数で、正方行列U= (uij)がunitaty^{ユニタリ} 行列とは、UのHermite 共役U^∗= (uji)がU⁻¹である、すなわち

U^∗U=UU^∗=I (I は単位行列)

が成り立つということ。Fourier変換はunitary変換と呼ばれるものになっている。

(24)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

定理 6.1 (反転公式から得られる便利な公式)

(本当は、Fourier変換や逆変換が存在するための条件を書くべきであるが…)

(1) g =Ff ⇔f =F^∗g.

(2) F^∗f(x) =Ff(−x),Ff(ξ) =F^∗f(−ξ).

f のFourier変換、f の共役 Fourier変換は、互いに他方を“折り返した”

ものに等しい。

(3) g =Ff ⇒Fg(ξ) =f(−ξ).

証明

(1) (⇒)反転公式F^∗(Ff) =f にg =Ff を代入すると、f =F^∗g. (⇐)もう一つの反転公式F(F^∗g) =g に f =F^∗g を代入すると、 Ff =g

かつらだ桂田

まさし

(25)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

定理 6.1 (反転公式から得られる便利な公式)

(1) g =Ff ⇔f =F^∗g.

(2) F^∗f(x) =Ff(−x),Ff(ξ) =F^∗f(−ξ).

(3) g =Ff ⇒Fg(ξ) =f(−ξ).

証明

(1) (⇒)反転公式F^∗(Ff) =f にg =Ff を代入すると、f =F^∗g.

(⇐)もう一つの反転公式F(F^∗g) =g に f =F^∗g を代入すると、 Ff =g

(26)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

定理 6.1 (反転公式から得られる便利な公式)

(1) g =Ff ⇔f =F^∗g.

(2) F^∗f(x) =Ff(−x),Ff(ξ) =F^∗f(−ξ).

(3) g =Ff ⇒Fg(ξ) =f(−ξ).

証明

(1) (⇒)反転公式F^∗(Ff) =f にg =Ff を代入すると、f =F^∗g. (⇐)もう一つの反転公式F(F^∗g) =g に f =F^∗g を代入すると、

Ff =g

かつらだ桂田

まさし

(27)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

(2) 共役Fourier変換の定義から(普段g と書くのをf と書く) F^∗f(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

f(ξ)e^ixξdξ (x ∈R).

Fourier変換の定義から(普段、積分の変数をx,変換の変数をξと書くのを入れ替

える)

Ff(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

f(ξ)e^−ixξdξ (x ∈R). この2つの式を見比べると

F^∗f(x) =Ff(−x).

もう1つも同様に示される。あるいはx に−ξ を代入しても良い。

(3) g=Ff とすると、(1)よりf =F^∗g. ゆえにf(−ξ) =F^∗g(−ξ). (2)^より F^∗g(−ξ) =Fg(ξ). ゆえにf(−ξ) =Fg(ξ).

(28)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

√2π Z _∞

−∞

える)

Ff(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

f(ξ)e^−ixξdξ (x ∈R). この2つの式を見比べると

F^∗f(x) =Ff(−x).

かつらだ桂田

まさし

(29)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

√2π Z _∞

−∞

える)

Ff(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

f(ξ)e^−ixξdξ (x ∈R).

この2つの式を見比べると

F^∗f(x) =Ff(−x).

(30)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

√2π Z _∞

−∞

える)

Ff(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

この2^{つの式を見比べると}

F^∗f(x) =Ff(−x).

かつらだ桂田

まさし

(31)

2.2 定義・反転公式から得られる公式

√2π Z _∞

−∞

える)

Ff(x) = 1

√2π Z _∞

−∞

この2^{つの式を見比べると}

F^∗f(x) =Ff(−x).

(32)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

比較的簡単に計算できて、意義ある応用もある、数少ない例を紹介する。

例自体もそれなりに重要であるが、それらの計算に使われるテクニックの修得にも意味がある。

こうする理由は…

Fourier級数の場合は、簡単な例がいくらでもその場で作れたが、Fourier変換の場合はそ

うもいかない。

多項式はおろか、1という関数すら普通の意味ではR^{で積分可能ではなく、}(超関数解釈でもしないと) Fourier変換は求まらない。

応用上で重要な例はたくさんあるが、簡単にはFourier変換が求められない。公式集(昔はこれくらいしか手段がなかった)や数式処理系に尋ねるものであろう。

かつらだ桂田

まさし

(33)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

(34)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

かつらだ桂田

まさし

(35)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

多項式はおろか、1という関数すら普通の意味ではR^{で積分可能ではなく、}(^{超関数解釈} でもしないと) Fourier変換は求まらない。

(36)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

多項式はおろか、1という関数すら普通の意味ではR^{で積分可能ではなく、}(^{超関数解釈} でもしないと) Fourier変換は求まらない。

かつらだ桂田

まさし

(37)

2.3 マスターすべき Fourier 変換

定理 6.2 (マスターすべき Fourier 変換)

以下a>0とする。

(1) Fh e⁻^a^|^x^|

i (ξ) =

r2 π

a ξ²+a².

(2) F

1 x²+a²

(ξ) = 1

a rπ

2e⁻^a^|^ξ^|.

(3) f(x) :=



 1

2a (−a<x<a)

0 (それ以外) とおくとき、Ff(ξ) = 1

√2π sin(aξ)

aξ = 1

√2πsinc(aξ).

ただしsincx:= sinx x .

(4) F

sin (ax) ax

(ξ) =√ 2π×







 1

2a (|ξ|<a) 0 (|ξ|>a)

1

4a (ξ=±a).

.

(5) Fh e⁻^ax²

i

(ξ) = 1

√2ae⁻^ξ

2 4a.

(38)

指数関数の微積分

補題 6.3 (指数関数の微積分)

(1) a∈C^{とするとき}(e^ax)^′=ae^ax.

(2) a∈C\ {0}^{とするとき} Z

e^axdx=e^ax

a +C (C は積分定数).

(3) a>0,b∈C\ {0}^{とするとき} Z a

−a

e^ibx dx= 2 sin(ab)

b = 2asinc(ab).

証明は次のスライドで示す。

注意 6.4

複素指数関数を、実指数関数と三角関数で書き直して計算する人がいるけれど、指数関数のまま計算することを勧める。

かつらだ桂田

まさし

(39)

指数関数の微積分

補題 6.3 (指数関数の微積分)

(1) a∈C^{とするとき}(e^ax)^′=ae^ax.

(2) a∈C\ {0}^{とするとき} Z

e^axdx=e^ax

a +C (C は積分定数).

(3) a>0,b∈C\ {0}^{とするとき} Z a

−a

e^ibx dx= 2 sin(ab)

b = 2asinc(ab).

証明は次のスライドで示す。

注意 6.4

複素指数関数を、実指数関数と三角関数で書き直して計算する人がいるけれど、指数関数のまま計算することを勧める。

(40)

指数関数の微積分

補題6.3^の証明

(1) 複素指数関数をどのように定義してあるかにより証明は違ってくる。例えば e^x^+yi=e^x(cosy+isiny)

が定義であれば、a=α+iβ(α, β∈R)^として

e^ax =e^αx[cos(βx) +isin(βx)]

であるから、

(e^ax)^′=αe^αx·(cos(βx) +isin(βx)) +e^αx·(−βsin(βx) +iβcos(βx))

=e^αx(α+iβ)(cos(βx) +isin(βx))

=ae^(α+i^β)x.

(2) (1)からすぐ分かる。

(3) Z a

−a

e^ibxdx= e^ibx

ib x=a

x=−a

= 2

b ·e^iab−e^−iab 2i

=2

bsin(ab) = 2asin(ab)

ab = 2asinc(ab).

かつらだ桂田

まさし

(41)

記号 F [f (x)](ξ) の説明

定理6.2の(1)で書いた

Fh e⁻^a^|^x^|

i (ξ) =

r2 π

a ξ²+a² は、f(x) :=e⁻^a^|^x^| とするときFf(ξ) =

r2 π

a

ξ²+a² であることを主張している。

つまりF[f(x)](ξ)でFf(ξ)を表す。この記法は良く使われるので、慣れておこう。似たような習慣は、Laplace変換などにもある。例えば

L e^at

(s) = 1

s−a (スルーしても良い).

(私見) aは定数であり、[ ]内の関数の変数を表す文字はx やt であることを「明記してなくても分かりなさい」というわけで、筋の通った記号とは言えない。

Mathematicaでは

FourierTransform[Exp[-a Abs[x]],x,xi,FourierParameters->{0,-1}] FourierTransform[If[-1<x<1,1/2,0], x, xi, FourierParameters->{0,-1}]

のように何が変数であるか指示する(そうでないとコンピューターが理解できない)。

(42)

記号 F [f (x)](ξ) の説明

定理6.2の(1)で書いた

Fh e⁻^a^|^x^|

i (ξ) =

r2 π

a ξ²+a² は、f(x) :=e⁻^a^|^x^| とするときFf(ξ) =

r2 π

a

ξ²+a² であることを主張している。

つまりF[f(x)](ξ)でFf(ξ)を表す。この記法は良く使われるので、慣れておこう。

似たような習慣は、Laplace変換などにもある。例えば L

e^at

(s) = 1

s−a (スルーしても良い).

(私見) aは定数であり、[ ]内の関数の変数を表す文字はx やt であることを「明記してなくても分かりなさい」というわけで、筋の通った記号とは言えない。

Mathematicaでは

FourierTransform[Exp[-a Abs[x]],x,xi,FourierParameters->{0,-1}] FourierTransform[If[-1<x<1,1/2,0], x, xi, FourierParameters->{0,-1}]

のように何が変数であるか指示する(そうでないとコンピューターが理解できない)。

かつらだ桂田

まさし

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