１０-フーリエ変換

(1)

フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換 ２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

(2)

フーリエ変換

講義内容

(3)

ベクトルの直交性













と書ける．　　の内積はとは転置を意味する．とする．ここでまず，２次元の場合． 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( ) ( , b a b a b b a a b b a a t t t t              b a b a b a b a

 

と同値である．が直交であるとは，と 0 ,b atb  a₁b₁ a₂b₂  a b a









と同値である．　　が直交であるとは，に対して　　して，３次元の場合も同様に 0 ) , ( , 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1        b a b a b a b b b a a a t t t b a b a b a b a のことである．　　が直交とはル一般に，ｎ次元ベクト 0 ) , ( 1   



 n i i i t b a b a b a b a, a b ○

(4)

関数の直交性

と書ける．　　　　直交ならは積分となり，していけば上式の総和無限に細かく　サンプリング間隔をである．しているなら，２つのベクトルが直交に表す．ベクトルで以下のようグして，十分細かくサンプリンを，といま，連続関数



    0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 dx x g x f g g g f f f x g x f t t n t n g f g f   x ) (x f x ) (x g 対応する値どうしを掛けて足す ○

(5)

正規直交基底

大きさが１で，互いに直交するベクトルの集合を正規直交基底とよぶ． 正規性(nomality) 直交性(orthogonality)





        j i j i ij j t i j i   0 1 ,u u u



u 1 x 2 x 1 e 2 e 1 u 2 u 1 x 2 x 1 u 2 u 任意に回転した直交ベクトルはすべて正規直交基底．               22 21 2 12 11 1 , u u u u u u ２つの基底ベクトルをとしたとき，タ．はクロネッカーのデル ij



○

(6)

正規直交基底

1 x 2 x 1 u 2 u f ．和で表すことができるに沿ったベクトルとのに沿ったベクトルとはル右図のとおり，ベクト開の正規直交基底での展 2 1 : u u f f 2 2 1 1u u f 







1 1u



1 2



2 2u



との内積をとると，実際，上式の両辺との内積で与えられる．と，を表すスカラーでありベクトルの長さと方向に射影したときのをはここで， 1 1 1 1 u u f u f



の正規直交性より） u u u u u u u u u f u f  ( ) ( ) , ( 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1



      t t t t 立つ．空間に拡張しても成り以上のことは，ｎ次元である．となる．同様に(f,u₂) 



₂ ○

(7)

フーリエ級数

周期的な波形は，複数の周波数の正弦波と余弦波の組み合わせで表現することができる．この表現をフーリエ級数展開といい，次式で表される．この展開における各係数（フーリエ係数と呼ばれる）はどのように決まるだろうか．これを調べる前に，まず三角関数の直交性を調べてみる．          x b x b x a x a a x f



2 sin sin 2 cos cos 2 1 ) ( 2 1 2 1 0 x ) (x f X x x x ＋＋＋．．． 2 / 0 a 1 a 2 a X





 2 ただし ○

(8)

三角関数の直交性

) 5 ( 0 sin cos , integer arbitrary for ) 4 ( 0 sin sin for ) 3 ( 2 sin sin for ) 2 ( 0 cos cos for ) 1 ( 2 cos cos for 0 0 0 0 0     



              X X X X X xdx m x n n m xdx m x n n m X xdx m x n n m xdx m x n n m X xdx m x n n m



○

(9)

フーリエ係数

        a a x a x b x b x x

f cos



cos2



sin



sin2



2 1 ) ( ₀ ₁ ₂ ₁ ₂ この展開における各係数はどのように決まるだろうか． n X n X X X X X a X xdx n x n a xdx n x b xdx n x b xdx n x a xdx n a xdx n x f 2 cos cos cos 2 sin cos sin cos cos cos 2 1 cos ) ( 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0             





  たって積分してみる．をかけて，１周期にわ試みに，両辺にcosn



x



 X n f x n xdx X a 0 ( )cos 2

_

これより，を得る．余弦波の項についても同様に計算して以下を得る．



 X n f x n xdx X b 0 ( )sin 2

_

この項のみ残る ○

(10)

ベクトルの展開とフーリエ級数展開の類推

              x b x b x a x a a x f



2 sin sin 2 cos cos 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 0 x x x 1 1 1 3 3 2 2 1 1 u u u f 



 



 



 1 u 2 u 3 u f 1 1u



2 2u



3 3u



展開係数は，対応する基底ベクトル（基底関数）と信号ｆとの内積を計算することで得られる．．．． ○

(11)

フーリエ級数・フーリエ変換

              x b x b x a x a a x f



2 sin sin 2 cos cos 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 0 x x x 1 1 1 1 u 2 u 3 u ．．．フーリエ級数のおさらい          x b x b x a x a a x f



2 sin sin 2 cos cos 2 1 ) ( 2 1 2 1 0 x ) (x f X X





 2 ただし ○

(12)

フーリエ級数の複素数表示



        n n n n j nx c j nx X c x f ( ) exp(



) exp( 2



/ ) * 0 0 2 , 2 , 2 n n n n n n n c jb a c jb a c a c    _    三角関数を用いたフーリエ級数展開を，複素数の指数関数を使って表すこともできる．         a a x a x b x b x x

f cos



cos2



sin



sin2



2 1 ) ( ₀ ₁ ₂ ₁ ₂ をオイラーの式を使って以下のように書き直す．                              x j x j x j x j x j x j x j x j x j x j x j e jb a e jb a a e jb a j e e b j e e b e e a e e a a x f            2 2 2 1 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ) ( あらためてとおけば，以下のように指数関数による展開の形で表すことができる． ○

(13)

複素フーリエ級数の基底関数

                        ,..., 1 , 0 , 1 ,..., , 2 sin 2 cos 2 exp n X nx j X nx X nx j



x x 1 1 x x 1 1              X x j X x 2 0 sin 0 2 cos



 _j x 1 x 1 j  j               X x j X x 2 1 sin 1 2 cos



             X x j X x 2 2 sin 2 2 cos



             X x j X x 2 1 sin 1 2 cos



1 _x  _j 1 _x ・・・・・・ △

(14)

複素フーリエ級数展開と係数

m n X X n X X n n X X c dx X mx j X nx j X c dx X mx j X nx j c X dx X mx j x f X      



_

 



         2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / ) / 2 exp( ) / 2 exp( 1 ) / 2 exp( ) / 2 exp( 1 ) / 2 exp( ) ( 1



          ,..., 1 , 0 , 1 ,..., , 2 exp n X nx j



の正規直交性を利用した．



    n n j nx X c x f ( ) exp( 2



/ ) dx X nx j x f X c X X n ( )exp( 2 / ) 1 /2 2 /





   級数展開：展開係数：展開係数の導出： △

(15)

周期関数から非周期関数への拡張

) 1 ( ) / 2 exp( ) (



     n n j nx X c x f



) 2 ( ) / 2 exp( ) ( 1 /2 2 / f x j nx X dx X c X X n 



_ 



級数展開：展開係数：周期関数の非周期関数への拡張 x 2 / X  X /2 非周期関数を，無限に大きな周期をもつ周期関数と解釈する．   X これまで扱ってきた周期関数 x 2 / X  X /2   X X △

(16)

フーリエ級数からフーリエ変換へ（１）



_ 



フーリエ展開係数に関する修正：より，を定義すると，式における係数として波数関数である．いま，周における周波数に関する関数であり，は (1) ) ( _n _n n n n c X u F u u u n c    ) 4 ( ) 2 exp( ) ( ) / 2 exp( ) ( ) ( 2 / 2 / 2 / 2 /  dx x u j x f dx X x n j x f u F n X X X X n       



 



) 3 (  X n u n u_n    x 2 / X  X /2 X u 1 u u₂ u_n X u  1  n c 1 c 2 c ．クトルのパワーをもつ整数倍の周波数にスペの波数の周期関数は，基本周周期する．と書き，周波数と定義の逆数をいま， X u X u X / 1   と書ける． △

(17)

フーリエ級数からフーリエ変換へ（２）



_ 



フーリエ展開係数に関する修正： u 1 u 2 u n u X u  1  n c 1 c 2 c x 2 / X  X /2   X と修正される．は，リエ係数の式もつことになり，フーでも値を数このとき，どんな周波 ) 5 ( ) 2 exp( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 exp( ) ( ) ( /2 2 /   dx x u j x f u F dx x u j x f u F u n X X n       



   



) 0 ( ) (     u X X なっていく．りなく小さくスペクトルの間隔は限いくとを限りなく大きくして周期 Xを広げていけばスペクトルの間隔は密になっていく．離散的連続的 △

(18)

フーリエ級数からフーリエ変換へ（３）

フーリエ級数展開に関する修正： u n u X u  1  正される．右のように積分形に修数展開は，このとき，フーリエ級　すなわち，にもっていく．ここで，周期を無限大 0     u X ) 1 ( ) / 2 exp( ) (



     n n j nx X c x f



) 6 ( ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) ( 1 ) / 2 exp( ) ( 



                 n n n n n n n n x u j u F u x u j u F T X nx j c x f



) 7 ( ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) ( lim ) ( 0 





              du ux j u F x u j u F u x f n n n u



フーリエ級数展開に式を以下のように書き直す． ) 2 exp( ) (u j u x F _n



_n 注意：縦軸の値は複素数なので本来はこのような表示は不適当． ↑フーリエ変換の式 △

(19)

Fourier変換の整理と意味合い



     f x f x j ux dx u F( ) { ( )} ( )exp( 2 )







             dx ux x f j x d ux x f dx ux j ux x f u F ) 2 sin( ) ( ) 2 cos( ) ( ) 2 sin( ) 2 cos( ) ( ) (     ) (x f 周波数uの余弦波周波数uの正弦波 ) (u F x x x フーリエ変換（フーリエ積分） u 原信号 ) (u F u 0 フーリエ変換の意味合い（模式図）：フーリエ逆変換



  _   F u F u j ux du x f ( ) 1{ ( )} ( )exp( 2 ) ：フーリエ変換の演算を意味する記号とする } {  ◎ 振幅をとると

(20)

フーリエ変換

講義内容

(21)

デルタ関数

     _   2 2 0 2 exp 2 1 lim ) (







 x x 全積分は１で，原点で無限大の大きさをもつ関数．ディラックのデルタ関数

（Dirac delta function）例１）ガウス関数の極限例２）矩形関数(rect関数）の極限          _a x rect a x a 1 lim ) ( 0



x



x x x a x x a / 1 a a / 1 デルタ関数は超関数と呼ばれ，厳密な意味での関数ではない．しかし，システムのインパルスを表すのに便利であり，頻繁に用いられる． ○

(22)

デルタ関数（つづき）



 f (x)



(x)dx  f (0) x x 0 0 ) 0 ( f ) (x



する効果がある．ンプリング）での関数値を抽出（サはを掛けて積分することデルタ関数 0 ) (  x x





 f (x)



(xa)dx  f (a) x x 0 0 ) (a f ) (x a



a  _ 原点からaだけずれた点でサンプリングする場合の表現デルタ関数の性質応用 ○

(23)

関数値の抽出の数学的説明



 f (x)



(x)dx  f (0) x x 0 0 ) 0 ( f ) (x



 デルタ関数の性質 ○ x a a / 1 x ) 0 ( f ) 0 ( 1 ) 0 ( ) / ( rect 1 lim ) 0 ( ) / ( rect 1 ) ( lim 0 0 f f dx a x a f dx a x a x f a a                「全積分は１」より

(24)

代表的なフーリエ変換対

)} ( ) ( { 2 1 ) 2 cos( ) exp( ) exp( ) sin( ) ( sinc ) ( rect 1 ) ( 0 0 0 2 2 u u u u x u u x u u u x x          









      n nd x d x du d x ) ( ) / ( comb ) ( comb ) / ( comb



ただし ○

(25)

代表的なフーリエ変換対I

1 ) ( ) ( ) (x  x  F u  f



x u ) ( ) (x x f 



F(u)1 1 ) 0 2 exp( ) 2 exp( ) ( )} ( {      



   u j dx ux j x x





x u ) ( ) (x x a f 



 exp( 2 ) ) 2 exp( ) ( ) ( au j dx ux j a x u F





    



   au u F( ) 2



arg   a ○

(26)

代表的なフーリエ変換対II

x u ) exp( ) (x x2 f  



₍ ₎ _exp( 2₎ u u f  



ガウス関数のフーリエ変換はやはりガウス関数 u u u u F x x f



) sin( ) ( sinc ) ( ) ( rect ) (     x u ) ( rect ) (x x f  u u u F



) sin( ) ( sinc (u)   ○

(27)

代表的なフーリエ変換対III

x _u ) 2 cos( ) (x u₀x f 



)} ( ) ( { 2 1 ) ( ) 2 cos( ) (x u₀x F u u u₀ u u₀ f 



 



 



 )} ( ) ( { 2 1 ) ( ) 2 sin( ) (x u₀x F u u u₀ u u₀ f 



 



 



 0 u 0 u  0 x _u ) 2 sin( ) (x u₀x f 



0 u 0 u  0 ○

(28)

代表的なフーリエ変換対IV

) ( comb ) ( ) / ( comb ) (x x d F u du f   



     n nd x d x/ ) ( ) ( comb where



x _u



      n nd x d x x f ( ) comb( / )



( )



      n d n u du u F( ) comb( )



( / ) d 1/d … … … …



            n nd x d x d x x d x ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) (



  ○

(29)

フーリエ変換

講義内容

(30)

フーリエ変換の諸性質

線形性(linearity theorem) 線形性＝重ね合わせの理が成り立つこと． )} ( { )} ( { )} ( ) ( { 2 2 1 1 2 2 1 1 x f a x f a x f a x f a       ) ( ) 2 exp( )} ( {f xa   j



au F u  相似則(similarity theorem) ) ( )} / ( {f x a  a F au  対称性．はエルミート性をもつが実関数なら，関数 ) ( ) ( u F x f ) ( * ) ( u F u F   微分のフーリエ変換 ) ( ) 2 ( ) (x j u F u f dx d _n n n



        コンボリューション定理 ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( x f x h d f x h x g   



      ) ( ) ( ) (u F u H u G  実空間でのコンボリューションフーリエ空間での積シフト則(shifting theorem) ) ( ) 2 ( ) (x j u F u f dx d _

_

       ) ( 4 ) ( ) 2 ( ) ( 2 2 2 2 2 u F u u F u j x f dx d _

_

_ _

_

       | ) ( | | ) ( | F u  F u ○

(31)

相似則

相似則(similarity theorem)： ) ( )} / ( {f x a  a F au  x ) (x f u ) (u F 0 x ) / (x a f u ) (au aF 0   ゆったりした変化）拡大 ( ) 1 ( a ）（低周波成分への集中縮小倍 a 0 x 0 ax 倍 a / 1 倍 a △

(32)

相似則の具体例

x _u ) 2 cos( ) (x u₀x f   _{ ₍ ₎ ₍ _)} 2 1 ) (u u u₀ u u₀ F      0 u 0 u  0 x u ) / ( rect ) (x x a f  au au F   ) sin( (u)  x _u ) 2 2 cos( ) (x u₀x f   { ( 2 ) ( 2 )} 2 1 ) (u u u₀ u u₀ F      0 2u 0 u  0 0 2u  u₀ x u ) 2 / ( rect ) (x x a f  au au F  2 ) sin( (u)  a a 2     余弦波矩形波 a / 1 a 2 / 1 △

(33)

シフト則

波形の平行移動： ) ( ) 2 exp( )} ( {f xa   j



au F u  ) ( ) 2 exp( )) ( 2 exp( ) ( ) 2 exp( )) ( 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) ( )} ( { u F ua j dx a x u j a x f ua j dx a a x u j a x f dx ux j a x f a x f F                     



         証明： x ) (x f x ) (x a f  a   u | ) ( |F u 0 u | ) ( |F u 0 u ) ( ) 2 exp( j



au F u 0 同一！ u ) (u F 同一でない絶対値絶対値フーリエ変換 ) ( ) ( ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( j



au F u   j



au F u  F u 線形位相 △

(34)

線形時不変システムで見るコンボリューション

Linear, time-invariant system In Out ディラックのデルタ関数：インパルス関数デルタ関数入力に対する応答：_{インパルス応答} t f t( ) 入力信号 t 出力信号 g t( )



t _t t



( )t 0 t h t( ) 0 出力信号は入力信号とインパルス応答とのコンボリューションで表される． ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( t f t h d f t h t g   





○

(35)

コンボリューションの幾何学的な説明



f

d

x

h

x

f

x

h

x

g

(

)

(

)

*

(

)



(

)

(

)

  









) (



f



) (



h



) (



h を反転 ①　h(



)



) (x



h ) (x g x 0 ) (



h だけシフト ②　x ④　積分する x



( ) ) (x



f



h  x の積と ③　f (



) h(x



)

連続系での定義

○

(36)

コンボリューション定理

コンボリューション定理： ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( x f x h d f x h x g   



      ) ( ) ( ) (u F u H u G  実空間で，コンボリューションの関係にあるとき，すなわち，フーリエ空間では，それぞれのフーリエ変換の積であらわされる．証明：

 



              _    dx ux j d f x h dx ux j x g u G ) 2 exp( ) ( ) ( ) 2 exp( ) ( ) (      ' x x  とおけば ) ( ) ( ) 2 exp( ) ( ' ) ' 2 exp( ) ' ( ) 2 exp( ) ( ' ) ' 2 exp( ) ' ( )) ' ( 2 exp( ) ( ) ' ( ) ( u F u H d u j f dx ux j x h d u j f dx ux j x h dx x u j d f x h u G               



 

                                ここで ' dx dx  積分範囲は－∞から∞で変わらず． ) ( ) ( ) ( ) (x f x H u F u h    _h₍_x₎ _f ₍_x₎_ _H₍_u₎_*_F₍_u₎ コンボリューション⇔積 _{積⇔コンボリューション} 重要なまとめ ○

(37)

サンプリング定理を理解する１

) ( comb du u d / 1 … … x 0 ) (x f x 0 ) / ( comb ) ( ) (x f x x d f_s   オリジナルの連続関数標本化の操作離散関数 ) ( comb ) ( ) (u F u du F_s   u × _＊ u … … x d … … ) / ( comb x d ) (u F △

(38)

サンプリング定理を理解する２

＊ × x 0 ) / ( comb ) ( ) (x f x x d f_s   離散関数 ) ( comb ) ( ) (u F u du F_s   u … … ) ( rect du u d / 1 フィルタをかける x d ) / ( sinc x d x 0 ) (x f オリジナルの連続関数を復元 u △

(39)

エリアジング

x _u ) 2 /( 1 d 1/d Nyquist freq. ) (u F 0 ) (x f u 0 ) / ( comb ) ( ) (x f x x d f_s   x x ) 2 / ( comb x d d d 2 掛け算 u ) 2 ( comb ) ( ) (u F u du F_s   0 ) 2 ( comb du u ) 2 ( rect ) ( ) (u F u du F_f  _s 0 元の連続信号切り出し不可！フーリエ変換対サンプリングの関数離散信号エリアジングの発生 △

(40)

フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換 ２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換 △

(41)

離散フーリエ変換の概念

x _u ) 2 /( 1 d 1/d ) (u F 0 ) (x f u 0 ) / ( comb ) ( ) (x f x x d f_s   x x ) / ( comb x d d d 掛け算 u ) ( comb ) ( ) (u F u du F_s   0 ) ( comb du 元の連続信号フーリエ変換対サンプリングの関数離散信号 D D 1 周期Dの正弦波（余弦波）の成分Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算するということは，暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．



    1 0 ) / 2 exp( ) ( 1 ) ( N x N ux j x f N u F



△