例題）矩形波をフーリエ級数で表せ

5. スペクトル解析

（Spectrum analysis）

• 5.1 フーリエ級数 Fourier series

• 5.2 フーリエ変換 Fourier Transform

• 5.3 パワースペクトル Power spectrum

• 5.4 離散データのフーリエ展開 For discrete time series

– ナイキスト周波数とエイリアジング Nyquist frequency and aliasing

• 5.5 スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation function

• 5.6 スペクトルの推定法と推定誤差

• 5.6 クロススペクトルとコヒーレンシー

• 5.7 スペクトル解析の例 applications

5.1 フーリエ級数

複素フーリエ級数

例題）矩形波をフーリエ級数で表せ

-π π

http://jc.maxwell.jp/physicalmath/fourier/index.html

n項目 1項目まで

3項目(n=5)まで

6項目(n=11)まで 緑が再現波形

Gibbs

Gibbs現象現象

関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる 第1項から第10項までの和 11項から100項までの和

塵も積もれば山（崖）となる、、、

Contribution from high-frequency terms

とびだし

5.2

フーリエ変換・積分

C

周期信号 非周期信号

連続 フーリエ級数展開 フーリエ変換 信号 離散スペクトル 連続スペクトル

5.3 パワースペクトル power spectrum

フーリエ変換 フーリエ変換の強度

フーリエ逆変換

スペクトル！

パワースペクトル power spectrum

エネルギースペクトル

Power spectrum density

5.4 離散データのフーリエ級数展開

Fourier transform for discrete data series

繰り返すものとして考える (端を「そろえる」必要) この間は関数が一定であるとして 積分を置き換える

エイリアジング aliasing

2⊿t

t 0

⊿tのサンプリングで表現 できる最も短い波長は2⊿t ナイキスト振動数

（Nyquist frequency） f_n = 1/ 2⊿t

ω_n=2πf_n =π/ ⊿t

⊿t

エイリアジング 1.5

Nyquist frequency

実際にはこのような スペクトルが得られ てしまう

エイリアジング周期

例題） T0=1.2の波をdT=1 でサンプルしたら？

エイリアジング aliasing

潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで 読み取る場合、 2⊿t＝48h以下の周期 の信号はエイリアジングを起こす。

5.5 スペクトルと相関関数

ウィーナーヒンチンの関係

Wiener-Khinchin relation

Fourier transform フーリエ変換

自己共分散

関数 スペクトル

Auto-correlation function

spectrum フーリエ逆変換

例)

日野(1977)

複素フーリエ成分 Fourier component

スペクトル spectrum

Fast Fourier Transform : FFT (Cooley-Tukey法) 生データ

Raw data

自己相関 correlation

スペクトルの推定法 Estimation of spectrum

相関法

直接法

直接法 相関法 MEM Blackman-Tukey法

Maximum Entropy Method : MEM

「情報エントロピーを最大にするようにスペクトルを決定する」

方法。ラグの大きいところでの自己相関関数の推定を、情報エ ントロピーを増加させないように逐次的に選ぶ。

松山・谷本（2005）

40−60ヶ月

スペクトルとクロススペクトル

spectrum and cross-spectrum

フーリエ変換 自己共分散

関数 スペクトル

相互相関

関数 クロス・スペクトル

Auto-correlation spectrum

Cross-correlation cross-spectrum

スペクトルの誤差推定

5.8 スペクトル解析の実例

風に流れがどのように 応答するか？

風 流れ

７日 流れ

current

風 wind

Cross-spetrum

High

coherence

Current lags the wind by 1-1.5 days

２次元スペクトル

林(1980)

スペクトル解析の実例

波数

周期 実験

観測

まとめ

•

時系列は幾つかの波に分解できる。パワース ペクトルを計算することにより周期帯（周波 数帯）での変動の強弱を調べることができる。

•

不連続な変動を有限個の波で近似する場合、

短波長成分が顕著に現れる（

）

•

ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。

（エイリアジング）

•

相関関数とパワースペクトルは等価である。