26. フーリエ級数展開の応用
26. Application of the Fourier Series Expansion
講義内容
1. 変数変換（ 時間 t ⇒ 角度 θ ） 2. フーリエ分析の例
3. 計算上便利な性質
変数変換
2周期関数は時間
t [ sec ]の関数として表されるが，
位相角
θ [ rad ]の関数として記述されることも多い
t
から
θに 変数変換 した場合の フーリエ級数展開
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
t k b
t b
t b
t k a
t a
t a
a t
v
k k
sin 2
sin sin
cos 2
cos cos
) (
2 1
2 1
0
=
+ +
=
1
0 ( cos sin )
k
k
k k t b k t
a
a
T t
t
= = 2
2 0
: 0
:
2 2
→
→
=
= T t
T d dt
T dt d
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
k b
b b
k a
a a
a v
k k
sin sin
sin
cos 2
cos cos
) (
2 1
2 1
0
=
+ +
=
1
0 ( cos sin )
k
k
k k b k
a
a
=
2
0 0 ( )
2
1 v d
a = 1
02 ()cos d k vak = 1
02 ()sin d k vbk
※
積分範囲 は
1周期 であればよい。例えば，
- π ~ πもよく利用される
変数変換
例題：フーリエスペクトル
3図の方形波
v(θ)をフーリエ級数展開し，そのフーリエスペクトルを図示せよ。
0 < θ < π
で
v(θ) = 1，
π < θ < 2πで
v(θ) = 0なので
) cos 1
1 ( 1cos
sin 1 sin 1
) 1 (
0 1sin
cos 1 cos 1
) 1 (
2 1 2
) 1 2 (
1
0 0 2
0
0 0 2
0
0 2
0 0
k k k k
d k d
k v
b
k k d
k d
k v
a
d d
v a
k k
-
=
-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ここで，
kが偶数の時：
k
が奇数の時：
1 cos 20 cos
1
= -
= -
k k
以上より，
v (θ)をフーリエ級数展開すると，
+ + + +
=
+ + +
+
=
sin5
5 3 1
3sin sin 1
4 5 2
5sin 3 1
3sin sin 1
2 2 ) 1 ( v
フーリエスペクトルを 図示すると，
※基本派成分が
1となるように 規格化
v(θ)
1
0 π 2π 3π θ
0
b1
bn
4
ω 2ω
3 1 1
3ω
5 1
4ω 5ω θ
性質①：原点の移動-1
4ある非正弦波交流のフーリエ展開式が 分かっている とき，
原点 を 移動 した波形のフーリエ展開式は 容易 に 求める ことが できる
v(θ) 1
0 π 2π 3π θ
+ + +
+
=
sin5
5 3 1
3sin sin 1
2 2
) 1 ( v
+ + +
=
-
=
5 5sin 3 1
3sin sin 1
2
2 ) 1 ( )
( v
f
v(θ)
を下方に
1/2ずらした波形
v(θ)
0 π 2π 3π
θ
2 1
2 - 1
性質①：原点の移動-2
5v(θ) 1
0 π 2π 3π θ
+ + +
+
=
sin5
5 3 1
3sin sin 1
2 2
) 1 ( v
v(θ)
を ー
θ方向に
π/2ずらした波形
v(θ) 1
0
θ
2 -
2
2 3
2 5
- + -
+
=
+
+
+
+
+
+ +
=
+
=
5 5cos 3 1
3cos cos 1
2 2 1
2 5 5
5sin 1 2
3 3 3sin 1 sin 2
2 2 1 ) 2
( v
g 90
°
270°
90°
270
° ＝
90° （
sinθ ⇒ cosθ）＋
180°（反転）
性質②：対称性の効果
6ある非正弦波交流が 対称性 を持つ場合，フーリエ解析が 少し容易 になる
点対称 波 均衡 波
直流 分が ゼロ なので
a0 = 0 ※
積分計算するまでもなく！
v(t) = v( -t )
の関係を持つ 偶 関数の波形
⇒奇 成分は ゼロ 波形の 軸対称 性
⇒半周期 積分の ２ 倍
= /2
0 2 0T ( )
dt t T v
a
軸対称 波
=
0
0 1 ( )
d v
a
= /2
0 ( )cos
4 T
k v t k tdt
a T
=
0 ( )cos
2 v k d
ak
= 0 bk
v(t) = -v( -t )
の関係を持つ 奇 関数の波形
⇒偶 成分は ゼロ 波形の 点対称 性
⇒半周期 積分の ２ 倍
しかも 均衡波
= 0 ak 0 = 0
a = 2
0 ()sin d k v
bk
= /2
0 ( )sin 4 T
k v t k tdt
b T
2 T
T 0
t 同じ
0 T t
2 T
T 0
t
フーリエ級数展開のまとめ①
7時間の関数で与えられる場合
位相（角度）の関数で与えられる場合
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
t k b
t b
t b
t k a
t a
t a
a t
v
k k
sin 2
sin sin
cos 2
cos cos
) (
2 1
2 1
0
=
+ +
=
1
0 ( cos sin )
k
k
k k t b k t
a
a
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
k b
b b
k a
a a
a v
k k
sin 2
sin sin
cos 2
cos cos
) (
2 1
2 1
0
=
+ +
=
1
0 ( cos sin )
k
k
k k b k
a
a
= T v t dt a T
0 1 0 ( )
= T
k v t k tdt
a T
0 ( )cos
2 bk = T2
0T v(t)sinktdt
=
2
0 0 ( )
2
1 v d
a = 1
02 ()cos d k vak = 1
02 ()sin d k vbk
フーリエ級数展開のまとめ②
8問題に波形が与えられたら
… ⇒まず，波形の対称性 を確認！
軸 対称波 点 対象波 均衡 波 対称性無し
bk = 0 a0 = 0
，
ak = 0 a0 = 0半 周期分の波形を関数で表現 １周期分の波形を関数で表現
a0と
akを
半 周期積分計算
bkのみ
半 周期積分計算
akと
bkを
１ 周期積分計算
全ての係数を
１ 周期積分計算 波形
g(t)がすでにフーリエ級数展開した波形
v(t)の原点移動だったら
…⇒
波形
v(t)の 展開式 を 有効活用
横軸 方向に
aの方向 縦軸 方向に
bの移動 斜め 方向の移動
g(t) = v( t – a ) g(t) = v( t ) + b g(t) = v( t – a ) + b
