奇妙な因数分解 平井安久＊ 『-------------------------------------------------ー＿―-研究の要約

岡山大学算数・数学教育学会誌

『パピルス』第

27

(2020

57

64

奇妙な因数分解

平井安久＊

『---ー＿―-研究の要約 ^— --- 高校数学であっかう因数分解の題材について， たすきがけを用いない通常とは異なる方法を 中学生用教材として再構成した。 数式の表記やカラクリを説明する方法を工夫して， 中学3年 生対象に授業実践をおこなった。 教材としての有用性や困難な点を謡論した。

key·words:

1. はじめに

因数分解は中学校第3学年および高校第1学年 で扱われる内容である。x²+2x-3のようにx²の 係数が1であるものは中学校3年で扱われ，

6x² +7x-3のようにx²の係数が1でない場合は 高校1年で扱われる。

本稿で議論するのは， 因数分解の単元での^一般 的な指導法ではない。x²の係数が1でない高校1 年生レベルの因数分解について， 興味のある話題 が

Steckroth(2015)

本研究では， 高校生向けであるこの話題を中学 生用の教材として再構築して， 実際に授業実践を 行い， どのような授業展開が可能か等を考えてみ たVヽ⁰

2.

本研究の目的は， 6x²+ ?x-3のようなx²の係

＊岡山大学大学院教育学研究科

数が1より大きい場合の二次多項式の因数分解に ついて， 少々奇妙な方法を示し， そのカラクリを 考えることで， どんな場合でも成り立つ^一般的な 手続きであることを中学3年生の生徒たちに理解 してもらうことにある。

この類の因数分解は， 現行のカリキュラムでは 高校

1

Steckroth(2015)

では， この因数分解の方法を高校レベルの教材と して紹介されている。 本稿では， 数式表現や説明 方法を中学生向けに工夫した上で， 授業実践をお こなった内容を述べる。 中学生たちの興味•関心 の持ち方や教材自身のおもしろさについて議論を したい。

2. 2教材の内容と特徴

それでは， 二次多項式がどのように^’'奇妙に^”因 数分解されるかを具体的に述べよう。 以下の例1 や例2に示すような手順で^’'変形^’'をしていくので ある。 ただし， ①式から⑤式までのそれぞれのす ぐ次の行にある［ ］内のコメントは操作手順で あって， カラクリの解説ではないことに注意しよ う。

例

1

① 6x² +7x-3

［①式でX²の係数 6 を用いて最後の定数項 に6を乗じてー18とする。対の係数は1とす

る。］

②

x

+7x-18

［②式で因数分解をする。］

③

(x+9)(x-2)

［③式で定数部分のみをそれぞれ6 で割る。

xの項は変化させないこととする。］

3 1

④

(x+-=-)(x--::-) 2 3

3 l

［④式で

(x+-=-)(x-- 2 3

⑤

(2x+3)(3x-1)

［⑤ 式は①式を因数分解した結果になって いる。］

例

2 6x

+5x-3

それでは，

6x

+5x-3

①

6x

+5x-3

［①式で

x

18

x

1

②

x

+Sx-18

［②式で因数分解をする。］

-5

＋ふ

而

③ (x-

2

2

［③式で定数部分のみをそれぞれ6で割る．

Xの項は変化させないこととする。］

-5+面 -5-向

④ (X-

12 --

12

＋ふ

荷

［④式で(x-�)(x-

12 " 12

-5+而 -5

荷

⑤

6(x-�)(x-�) 12 -- 12

）全体

この場合でも， ⑤式は①式を因数分解した結果

になっている。

例1も例2も同じ手続きによって， 結果的に正 しい結果が得られている。

この教材の特徴として以下のように言えるだろう。

・①式から②式への変形が，生徒たちの目にはき わめて奇妙に映ると予想される。

•高校 1年生で学習するような^’'たすきがけ^”を用 いた因数分解ではない。

•この方法を高校 で学習する訳ではない。

2.3

本稿での教材開発のきっかけとなったのは

Steckroth(2015)

しかし， 本稿ではもう少し工夫して， 二次方程式 の解と係数の関係を使って説明することにしよう。

ただし， ここでの解説には高校生レベルの知識や 式表現を用いている。 つまり， 本稿後半で述べる 授業実践の内容や表現方法とは異なるものである ことに注意しよう。

まず，

f(x)=ax

bx+c

f(x)=O

a,p

b c

a+P=-::..., ap=::...

a a である。

f(x) = a(x-aXx-P)

f(x)

f(x) =.:...(ax-aa)(ax-ap) a

と表した上で

X=ax

.:...(ax-aa)(ax-ap) 1

＝

a 1 (X-aa)(X -aP)

＝ー(X

1

-a(a+ P)X +a 海）

1,,,.

. -- b

. __

=-（

X

a

X+a

�)

a a a

=-（X互bX+ac)

a

と変形される。

これらの関係を用いて， 例1や例2での①式か ら⑤式までの^一連の手続きが意味するもの， つま りカラクリを説明しよう。 まず， ①式から⑤式ま での数式を文字式で^一般表現すると以下のように なる。

①

ax

+bx+c

②

X互bX+ac

③

(X -aa)(X -ap) = (ax-aa)(ax-ap)

④

(x-a)(x-P)

⑤

a(x-a)(x-P)

例1や例2では， 意図的にxとXを区別せずに 表記することでカラクリに気づきにくくしている 訳であるが， ここでは， X と

X

X=ax

まず，

f(x)

bx+c

ー1

(X坪bX+ac)

X互bX+ac

とだけ書く。 これが②式である。

次に， 解と係数の関係より②式は，

X互bX+ac

= (X -aa)(X -ap)

と因数分解される（②式から③式へ） 。

(X -aa)(X -ap)

2

a

(ax-aa)(ax-ap) +a+ a

=(x-a)(x-P)

となる（③式から④式へ） 。 最後にaを乗ずることで，

a(x-a)(x-P) = f(x)

となる（④式から⑤式へ） ので， ⑤式が

f(x)

以上より， ①式から⑤式への^一連の手続きは，

どんな係数の二次多項式の場合でも使うことがで きる。 解に虚数が含まれる場合でも成り立つので あるが， 次節以降ではむしろ教材としてのおもし ろさの方を議論したい。

3. 授業の展開

対象は岡山市内のA中学校（県立中学校） 第3 学年

120

B

3

学年

180

2016

12

1

1

全体的な授業の流れは， 以下の

4

学習活動 1． 既習の二次多項式の因数分解につい て

3

3x

+14x+8

学習活動

2. 3x

+ 14x+8

6x

+Sx-4

学習活動3. ^「タネあかしその1」

3x

+14x+8

y=3x

+14x+8

Y=X

14x+24

x,y

(X,Y)

学習活動4. ^「タネあかしその2」

3x

+14x+8

y=3x

+14x+8

Y=X

+14x+24

①式から⑤式までの手続きに意味があることを示 す。

以下， 学習活動1から4までに対応する細かい 具体的場面を示す。 個々の数式や図などの提示内 容や指示文面はすべてスライドで示する（以下の 枠で囲まれたものが使用するスライドの^一部であ る）。

学習活動1． まず， 既習の因数分解の問題として 以下の3つを提示し， 因数分解するよう求める。

x²-4 x互5x+6 x²+2x-24

続いて， ^3x2+14x+8の因数分解という未習の話 題へ入る：

では、

•因数分緞しなさい

3x² +14x+8=

福‘V

このとき，

•この内容は， 高校 1年生で学習する因数分解の 先取りではない。 紹介する方法はそれとは異なる ものである。

•この方法は高校 の授業でも聞くことはないだろ う。

と伝えておく。 ただし， 結果的に，

3x彗14x+8=(x+4)(3x+2)

と因数分解されることだけは生徒たちと共有して おく。

学習活動2. ^「実は， 因数分解の楽な方法がありま す。」と言い， 以下の数式を1行づつ示していく：

3.x² +14x+8 x'+l4x+24 (x+J2)(x+2) (x+4)(x+2 ⁷3 ) (x+4)(3x+2) スライドの各行に対応して，

「3を取り去って8に3をかける」，

「因数分解する」，

「それぞれ3で割る」，

「全体に3をかける」

「できあがり」

と説明する。

続いて別の例として， ^6x2+5x-4の場合につ いても同様に説明する。

学習活動3. ^「タネあかし その1」

3x² +14x+8に ついて，

最初の式を^{y= 3x2 + 14x+8}と表し，

次の式を^{Y=x2 +I4x+24}と表す。

さらに区別を明確にするために^Xを用いて，

y =3x� +14x+8 ² Y =X² +I4X +24

と表し， 両式を別々の色で表示する。

続いて以下のように^(x,y)の数値の組を調べる。

,·=Iのとき．^{1•= 25} x=2(/）ときy=48 .<=3�)とき_v=77

さらに， （^X,Y)の数値の話へ進む。 このとき， 意 図 的に^(X,Y)の値を（3,75),(6,144),(9,23 1)とし て， 以下のように示す：

y=3ぷ＋14x+8^、 }^’=X'+I4X+24

.r y x y I 25 3 75

2 48 <, 144 3 77 ⁹ 231 3x=X, 3y=J·

(x,y)と^(X,Y)の関係に着目すると， ^3x=X, 3y=Yという関係が見られることを強調する。次 に， 以下のように各数式に①から⑤までの番号を つける：

CD 3x²+14x+8

番号を書いて ヘ

ください ② .x'+14x+24

③(x+l2)(x+2)

④

⑤ (X+4)（3.Y+2)

これまでにわかった^(x,y)と^(X,Y)の関係から，

①式から⑤式までの数式どうしの関係は以下のよ うに表されることを示す：

① '- - - - ---―'

: r; •i• 14.X + 24 i②) 3x1+14x+8 =�

、3

’

国匹）

i

④:-^―

---j:

=：（X+4)（X+-）x3 =i(X+4)（3.r+2)i⑤ , '---＇ 3, ’ー一---＇

3.

、

「タネあかし その1 」で使った以下のスライドを 見せて，^「ここでは(x,y)の座標の値と(X,Y)の座 標の値だと考えよう。 」と説明する。

3x² +14x+8以降の等式どうしの関係を順に説明 した上で， ^「つまり。 ①式から⑤式は，3x=X, 3y=Yという関係を用いると，このように等号で

つな ぐことができる。 」と説明する。 さらに， ^「こ のスライドで， 点線で囲まれた部分に①から⑤の 番号をつけて， X とXを区別せずにXだけで書き 並べてみると，このようになる。 」と説明して以下 のスライドを示す：

CD Jx2 + 14x+8

② . ..-'+14...-+24 (;；;(x+ 12)(.Y+ 2)

④(x+4)(x+ ;:-) 2 3

⑤(x +4)(3x+ 2)

I: = 3,＼·’+ 14.\· + 8, ｝ =．9· : ^•I i •IX •I• 24

I^’ l^’ :....L_ : I 25 ; 05 2 4� (, 144 3 77 9) 23 1

3x=X. 3,v=Y

3x=X,3y=Yという関係があるので，（x,y)「

の座標と(X,Y)の座標は， 以下の図のような対応 を考えるとおもしろい。つまり，原点から(x,y)ま での距離と原点から(X,Y)までの距離が，1 :3の 比になっている。 」と説明する。

.、．▲ x : + t•ix.i- 24

8 t x 4

ふ＇,． x, 3

n"­ ー

学習活動4. ^「タネあかし その2 」

「こんどは， グラフを使ってちょっとちがった説 明をしよう。 」と言って，2つの多項式（①式と② 式に対応） を以下の様に二次関数として表す：

グラフをかくと

y =Jr'+ l4x+8 Y =．＼'! i• 1 4 X ·i 24

この類の二次関数は未習の話である点を ことわっ た上で，^「グラフを描くと以下のようになる。 ただ し，（x,y)と(X,Y)の座標が同じ 平面上に描かれ ている。 」と説明する。

さらに， 学習活動2で用いた 6x²+Sx-4 の場 合で， 同じように二次関数として， それぞれを

y= 6x汀5x-4 Y=X豆5X-24

と表しておく。 この場合は，「 6x=X, 6y=Yと いう関係があるので， 原点から(x,y)までの距離 と原点から(X,Y)までの距離が，1 :6の比になっ ている。 」と説明する。

x 4 `”

ー: ， r,

ー

）

＞

\ ＼ 、 ヽ

＼ ＼

ー＼

4 x -r.

4・ ,' ‘, 0,'’

ベ

,‘. ー

•�

、

‘、'‘”‘、‘’

＇ ‘, ‘,

＼ 4 r-

x

9 .

• I

｀『·L

ー

二次関数のグラフ上でどのように対応するかを以 下のように簡単に図示する：

0) ---―'

6x'+5x-4 � : x2 +5X-24匹‘;

③ :―---^-9 6 (X+8)（X-3)

•• 一---- --- = : (6x+8) (6x-J) x6

� ． 6 6 6

(4), ‘-^”, - - - -- - - - -- `4 1','^―-- - ---- - -- - - -

(5

=!(x+�Xx--）ト6 ⇒(3x+4)（2x-l) !

�---3----_24 L--- --4

6x=X, · 6y=Y

-9

\：、．、三喜;=，

②x五5X-24=（）の解 ①6:<+5x-4cc0の解 y⁰X²+5X-2v

最後に以下のようにまとめる：

まとめ

・「あっさりと」解（方法は．意外とマジメな方法 だった

激式で説明しても．グうノで説明して辺追構味 わいがあった

·I注意）係数が無甥数の場合でも大丈夫

（ 以上が授業の内容である。 ）

4.教材としての注意点

元々高校生用の話題だったものを中学 生用に再 構成したのだから， 授業実践では以下のような配 慮が必要である：

・中学 生が未習の ^「f(x)」という表記や ^「解と係 数の関係」という話題は使用しない。 （第2節後半 部に述べたカラクリの解説は中学 生向けの記 述で はないことに注意。 ）

一般的 に成 り立つ こ と を 示 す には ，

「ax²+bx+c」 という数式表現も必要であるが，

そのためには第2節で述べたような高校レベルの 説 明 が 必 要 と な る 。 し た が っ て ，今 回 は

「3 x²+ 14x+8」 のように係数が具体的な整数値 の場合のみの^”解説^’'とする。 さらに，第2節で紹

介した ^「例2 6x

→

-5+

而

面

③ (X -�)(X -2 2

）

このような事例も授業では使用しない。

・学習活動では， ^「タネあかし その¹」 と 「タネ あかし その2」の場面があり，それぞれ数式変形 での説明と二次関数のグラフを使用した説明をお こなっている。 しかし， これは証明方法が2通り あるという意味ではない。 同じ主旨の内容を数式 のみで表現したか関数のグラフとして表現したか の差異にすぎない。

・「タネあかし その2」 の場面では， 中学レベル で未習の二次関数y =3 x²+ 14x+8を用いている。

明らかに^”中学校 の範囲外^’'であるが，今回は， 2 つの放物線どうしの位置関係を視覚的に把握する ことは中学 生にとってそれほど困難でもないと判 断して， 授業で使用することにする。

（ ^「タネあかし その¹」 での 3 x²+ 14x+8は，ニ 次関数ではなく多項式として使用されていること

に注意。 ）

5考察

学習活動1では，生徒たちは3つの 多項式の因 数 分 解 を たやすく解く こ と が で き た 。 続く 3 x旦14x+8の因数分解が未習であることについ ては， 高校 ¹年生の教科書の該当ページを提示す ることで確認できた。さらに，^「高校 へ行っても習 わない方法を紹介します。」と告げたので，関心を もたせることにはなったと思われる。 なお，

3 x五 14x+8= (x+4)(3 x+2)

と因数分解されるという結果を事前に知らせた形 になったが， ^「逆に (x+4)(3 x+2)を展開すれば元 の式が得られるので，正しいことの確認が可能で ある」 と説明することで生徒たちには納得しても

らった。

学習活動2では，’'奇妙な^’'因数分解を見せられ た生徒たちは^一様に不思議な表情をしていた。 特 に ^「3を取り去って8に3をかける」という説明 に対しては， 軽いどよめきのような声も聞かれた。

続く学習活動3へのスム^ーズな接続になったとい える。

学習活動3と4では， 上述のようにスライドを 使って平井からの説明が続いたので， 生徒たちの 細かい反応や理解については授業時間内は不明で あったが， 授業後の生徒からのコメントをいくつ か紹介してみたい。（文章は^一部省略箇所あり。

（ ） 内は平井が追加した文言である。）

まず， よく理解できていると思われる生徒のコ メントとしては， 以下のようなものがあった。

・ ^「解き方よりもそこに至る過程が大切だ。（ タネ あかしその1では） 解の公式と同じように考え て理解した。（ タネあかしその2では） グラフ 上に表した時の距離の比という観点が思いつ かなく納得するのに時間がかったが理解でき た。」

・ ^「数式と相似比の関係性が特におもしろかった。

ある意味数学を味わう ことができた。」

・「（ タネあかしその2で） 二つのグラフが原点か らの相似拡大だと知ったときには驚いた。」

・「理由がわかったときは本当に驚きました。グラ フでの説明を見たときはさらに驚きました。」

・ ^「意味不明な計算だと思っていたが，ちゃんと意 味があっておもしろかった。グラフも1: 3, 1 : 6になるという関係がありおもしろかった。」

・「^一見， 筋が通ってなさそうなのに， 実は相似の 関係があると知って， 数学のおもしろさは この ようなことなんだろうと思った。」

•^「XをX,yをYにおきかえて変形させる ことで 求める ことができることに驚いた。」

・ ^「解き方を見たとき， めちゃくちゃなことをして いるなと思ったが，2通りの解説を聞いて納得 した。」

・「こんなおもしろい方法があったのかと驚きまし

た。 計算とグラフをいっしょに用いると説明が わかりやすくなる ことも新しい発見でした。」

上記のような感想は多数あったので， 生徒たち は少なくとも珍しさとか不思議な印象を受けたこ とは確かであろう。

次に， 内容の理解度はともかく，^「いろいろな解 き方がある」 ことを評価したコメントとしては，

・「（ タネあかしが2通りあったことについて） 複 数のやり方を知っていると便利だ。」

・「今日のお話しは ^「多角的にものごとを見る」に つながる話だった。」

あたかも ^「解法が2通りある」かのように生徒 に印象づけてしまったのは， 授業をした筆者の不 注意であった。

最後に， このようなコメントとは別に， 以下の ような興味を引くコメントもあった：

・ ^「最初3x²+14x+8を間違えて二次方程式として 解いてしまったのですが， その解がx=--4,—ーで，2 3

④の(x+4)(x+-

2

どうなのでしょうか。」

普通， 中学校の教科書では， 二次方程式を解く 際に因数分解を使う簡単な事例は書かれているが，

因数分解の単元の学習時には二次方程式の解の公 式は未習なので， この生徒には ^「二次方程式の解 の公式を使うことで， 二次多項式の因数分解に役 立つ情報が得られる」という認識がまだない（お よび経験もない） のであろう。

6. まとめと今後の課題

今回の授業は， 因数分解について既に学習済み の生徒たちが， 未習で少し複雑な形の因数分解に ついて，風変わりな方法を学習するものであった。

授業実践を通して， この教材自体が持っている 珍しさや不思議さは生徒たちに十分伝わったこと は生徒からのコメントによっても明らかであろう。

さらに， 生徒の中では， 因数分解が単なる「道具」

のようなイメ^ージで固定しつつあったのが， 分析

対象という新たなイメ^ージを与えたかもしれない。

今後の課題としては，

・ グラフ表示をすることで教材がもつ性質を説明 しやすくなるのは明白であるが， 別の解法とい う印象を与えないような説明の仕方が必要であ ること^，、

•生徒の活動や発見ができるようなチャンスを具 体的に用意するように授業 内容を改善すること。

などである。

参考文献

Steckroth, J.(2015). Transformational approach to slip-slide factoring, Mathematics Teacher, 109(3), 228-234.

（令和 2 年 1 1 月 1 5 日受理）