卵形線・卵形面の研究(其一)

奈良教育大学学術リポジトリNEAR

卵形線・卵形面の研究(其一)

著者 松村 宗治

雑誌名 奈良学芸大学紀要

巻 1

号 3

ページ 175‑179

発行年 1952‑03‑20

その他のタイトル Uber Eiflachen und Eikurven (1) URL http://hdl.handle.net/10105/5174

‑175‑

卵形線・卵形面の研究(英一)

te  付 'It  机iM41日 ft iv.‑,‑‑:;.*) (1951年1月12日受額)

soji Matsumura: (jbei Eifl丘chen i‑nd Eikiirven (1)

=*・

‑Mi一‑ tf

・fi ‑‑: ft

汀i.""‑i車

・>t'i I'LI IこLI

V K

第六等

目   次

捕      ォサ

一般化された楕円の性質 偏     差

3C

T{1‑‑ ip.‑(x)dx欄

‑1

卵形面の第一基本童 擬似極小衷両と柵対極′ト表面

第‑章 緒    輸

余は1ソ前東京物理学n雅誌、東北敏等鮮誌、大塚数 学会研誌、日本中等教育数学表徴誌、日オ数学輯報、

嘘逸数学協会鮮誌.台北帝国大学埋農学部紀賓、台北帝 国大学理学部紀執こ於て上記の論題のもとに卵形繰、

卵形画について拙文を公にしたことがある。

今ここに比等につづいて卵形線、卵形耐こついて拙 論を公にせんとす。

努こ章 一般化された楕円の性質 卒面解析埠何学に攻のものがあるO楕円に直角に交 I、‑る・蛭税の史. I∴./">*相称ftmt"*>‑;..‑.

此間執こ関聯して次の間題をここで考えるO一つの 卵形繰'Cの互に直卿こ交る二接線の焚,中:の軌跡が円な るときUは楕円でなけ軸j:なら鞄事.ま林統一党生がか って東京物理半枚群記で証明された串がある.

柑Ill',山を・‑一戦化して:大の間'&与蝣6‑iる。 itl㌘tT>yi¥が LDなる(U)の二接線の交熊の軌跡が夙トラ、を中心とする 円なる場合を考えると

r'sin‑o)‑ i)¥α) +p¥かW)‑蝣2Xa)

× p(α一山jCOSt。 川

を得、ここにTは考える円の半径である.

Mとな寸i!i'<'‑捉税を

‑rcosα+炉iuα‑p(可,

‑t‑cOsβ4‑/sinβ‑P(β) とし壮二式より

蝣‑{l^)8i

isinα‑p:α)sir可:sin(α‑β).(2)

'‑ p(α)cosβ‑p(β cOsα}: sin(α‑β) (3)

r2 ‑p2(α) + p2(α一言)   (生) となる(4)を満足するl>(ォ)は楕円を表す革.ま林先生 の論文よl)分る、林先生の論文では(4)なる画数方躍 式を解いてあるのであるが或はp(a)を旦竺塑歩数に 展開してそれを(4)に入れてその係数を決定してもよ

ろしい、つまり林地一光生の論文の別証明になる。

さて(1)より

0‑ p(α)p ′(α)+p(α‑w)p'(αW)

‑p ′(α、p (α‑a))cosa)‑p (α)p ′(α‑a)Cosco を得べく(5)は或は

0 ‑p′(α ‑ォ) {p(α‑ト函cos<u>

+ p′(α){p(αトp(α‑a))cosw￨

となる(6)に於て

p (α)4=p(α‑(o)coso), p (α‑wH‑

p(ォ) cos(d

(6)

(7)

なる故、 tl'(a)‑oなるときとP′(a‑ai)‑Oとなる.

此事よりaがpの極倍を興えるときa‑eoも亦:Itりと いえる。

臥tp(αトp(α一画sa>] (p(α‑o>)‑p(α)

・coiCO'} > 0      (8) であるからaがpの極大(小)を興うればa‑wはpの梅 小(大)を興える執こなる。

餌,原色と接点との距離をI.せば

r㌢‑p‑+p z       廟 であって極値に向っては'=0なる故、その場合には r‑‑p‑となり原点より接線の巌良へ引いたTなるベク トルはpに垂直になる、つまり此場合鼠魚より鉄線に JPJilこ.; !いたEIW.群は(t l'1痢YtcあーつてLtう; :y化す るにつれて短大、極小が交互にくりかえすものである 而してその極大極小の場合にはその垂線.ま接線に垂直 になっている覇が分る。焚JEにくりかえす理由は下の 如し、(6)より

奈良t'k華人'r一紀要  節1番 節  1952年(昭和27年)3月20日

‑176‑       枚 村 宗 治

0‑p′′(α) {p(αトp(α o)cos(oj+

p ′′。叫￨p(a‑w)‑p(a)cos車p′。a)

・ Ip′(ォ)‑p′ (a‑a>)cosco¥ + p′{a‑a>)

・ ‡p′(0‑0))尋(a) cosゥ}   (10) を得べく(9)よりp (O)の極大、極小の場合にはp′‑0 であるから

0 ‑ p ′′(ォ) {p(ォトp( ‑)cOsa) ￨

+ p′′(a‑co) (p(a‑G))‑p(a)cos(u}  (ll)

となり(8)に依りp'′ (α)>0ならばp〝(α‑〟)く0であり p〝(a)く0ならばV"(a‑w)>Oであるからである此種 の問題をば衷近到着のDuke Matl‑r. Journ. vol.17, nu一l‑ber 3, 1950, p. 263に於てJohnlr. GreenがSets bubtending a constant Angle on a Circleなる表題 の下にのべているが考究の仕方は全く上と別で結果も 全く相異なっている。

第三章 偏    差

卵形線上の点Pを考える＼その点に於ける普通の法線 と擬法線との間の角をpとすると余が東北数学雑誌36, (1933), P. 189で証明せし如く

ta叩‑‡窓‑ p'/B

⁽¹⁾

が成立つ、此pは偏差(Deviation)と称せられるもの である。今

lhn可1 ‑ 〔れn可       (2) が成立つ場合を考える。

7r

ここに1, 2は対点即ちSがK, 8+ ‑Jに於けるtanpの倍を 表すものとするとき(2)よりPl=piを得てCは首中心 線となるo

dp!daは原点より接線に下した垂線の足と接点との

7T

距離に等しくこれをp′で表し1・2はa‑a, a‑a十百 の場合に於ける値とし

〔p′〕1‑ 〔p′〕望         (3)

が成立つならばCは亦膏中心曲線となることが証明出 来るO

又、 p′‑Gonst.が常に成立せばCは円なる事も分る 叉、 p'‑Cプonst.即ちtanp ‑Constが常に成立せばCは 亦円である革も容易に証明出来る。今

〔p'〕1‑ 〔p'〕 〔p'〕n̲   (ア) が成立する場合を考える、ここに′は上記の如くSに ついての微分である、而してl,2,...; n‑1はI'(ォ)に於 てa‑〟,ォ‑2ォj,‑‑,a=(n‑1)Wの場合に於ける の値を表すものとする。 a=n〟の場合はa =u>の場合 と一致する。 (4)が成立つ場合にはそれ等の各点に於

ける曲率宇摩Pは皆相等しくなる.

以上の事をp'の代りにtanpをとっても同段であるO 従って2njwが無理数なる場合にはCは円になる事 が分る。

文、 Cの全周をSとLsをn等分した一つの長さをもとし

〜/:∴二     ∴∴tは、.I・*'.・.1 Iこ,・.

今x軸にSを、ユ′軸にPをとりて直角軸を考えp‑p(s) の図表をとり8‑Sなる魚に於ける此曲線への接線がS 軸となす角をFとせぼ(I)より

tan!F‑3 tan?        (5) を得、上の図表よりFが求められ、従って(5)より戸が 求め得られるO

餌亦〔tln可 +〔tln可田」/2 ‑const. (6) (9 (9)+ (o (s+ 0/2)‑const.   (7) を得べく(7)より

β(S)十β(S+ ど/2J‑const.

を得,更に亦

〔ptan可S=3 + 〔pfondij蹄十」ya ‑const (8) が常に成立つものとせば

p{a).p'(s)+ p{6+ 」/2),P'(s + l/2)‑const

∴ p¥s)+p¥s+l/i)‑consも   (9) が成立する, (9)はカソラッチ‑の曲率が一定なる事 を意味する。

(8)に於けるpttrnpの確固学的意味は下の如し

I:!] '子ニートL‑" t I.汁.・I‑''.'1.‑*1‑1.;:. '!7.*1?:‑'‑.1'、こ・蝣;‑}> y.y.:こK>]

線との交点を0′とせば

′

00 ‑ (otanや

一一::.<'蝣.蝣サ:∴i frト.ii.'‑:,j:" i軒.'.'.一・0''>.‑'間1 1

行接触の幅)が±(なるものを考えるOここにCは定数 である、此時

β‑β==士C

ならば(10)より

1 dp' 1 dp

t.T心   :l 心

∴ tanv‑tang

(10)

(ll)

をうべく従って攻の定理を得

〔定理〕二つの卒面卵形曲線が平行ならば対臆良に於 けるft々の糊nn瀧は‑T'‑fy‑O&る

次に(I)より (0‑3 tan*>.ds 02) を結べく(12)を一般の種々の日照方程式のPに代入せ ばPの蘭の関擁式の代りにpの蘭の謝係式が得られ

るo

ここに(12)に於てのPはSの曲数と考えるのであるO 例えば

sya+p望/β ‑1 ⁽¹³⁾

卵那綿、卵形両の研究(英一)

はR̀illknrveの自照方程式であるがこれは

・yォ+9(Jtin叫2/♂‑1  両

と表し得るわけであるO

其他の自照方程式についても開掛こPで表しうる、今 曲線上に0庶をとt)0に於ける甚線をy軸に又普通の 法線を.1軸にとQ)擬似法線の式を

≠ 1窓    (15)

と置く、普通の法繰上にA無をとりAより接線に平行 線を引きそれが擬似法線との交rtをRとせばcis)より

lim JOAB

OA‑>o OA‑  3 ds 碑 又(15)に於てOA =,0とせは

AB‑吉p窓‑言pi (17)

但しPlは考える曲娘の魔関根/?淘牽牛径である。依 て次の定理を得

定理、曲率中心より普通の法線へ垂線を引きそれが普 通の法線と擬似法線との間にある線分の長さは考える 曲線の考える点に対鷹する点に於ける曲率宇蓬の1/3

に等しい。

上記の所論に於てほ(1)より出発して若死せLも(1) を変更したものについては拙著論文:台北大学埋農学 部紀要、 Vol.X,2, 1933,P. 34及び固辞誌、 Vo】・XV.5,

1935,p, 151を参照せられたいO

上記の如く楕円文は円が有する性質を卵形線が有す るものとしてその卵形紋をもとめると大抵の場合には 卵形級ま楕円文は円になりて該性質は楕円又は円の樽 有ff:になる場合が多い,けれどもその性質が陣有性に ならぬ場合がある、それについては大正八..九年頃の 東京物理17麓灘誌に於ける拙文をみられたい。

卵章Rn‑甚榊の根

̲1

Rnの取が懸何学と薫嬰なる関係を膏する執相席論 文:東北数学鮮誌、 18巻、 1920, p.286にのべである 今ここではこれを坂撰うためルヂア./ドルの多項式 Pl、 (て)についての微分方程式

〔PuU‑2‑11〕'‑n(ii + l)Pn ‑O   (1)

1

と垂直除件jpn(*)dズ‑0 (2)とより窄易に出る微分

‑1

方程式R'′. (r‑1)‑n(n十1)Ru‑O (3)を考える、此 等の細にはn(n+I)Rn= (九2‑1)P/1‑が成立す、これか OK:,の駅として・ヾ=±1が仔在する郎うサ<>。 f,'.j下式 を得

Rn‑(∬蝣‑1) {xLaJ) ‑(1・Lan‑ /2);

(n番数の場合)

9H由‑

"R‑x(xウーIK*3‑aiK*‑a2).‑(∫‑‑a̲>/2) (n偶数の場合)

今RIlの徹LLl方程式‑此式を入れると攻の関係を碍 l41,1,1‑"(n+l).

!+‑+‑+...+‑, 1̲ll(ll+1).

al*i

(n杏数の場合)

1+‑^+土+・・・+

ai a2

mが大なる場合には Pl、 :*)‑

1

瓦=議

̲n(n+ 1).

1  ‑ 訂I ' ( 11偶数の場合)

2 1.3...(2n‑

I/2両 2.4..‑2n

・cosl晋‑(n一昔)￠ ^‑008^

これよりP'nの根,Oとして下の詞係を得

・ro‑cos雲雲汀; 0≦m≦n‑2

nがJ:JI '‑r‑ii今にはll'・"・"mVS.1:しこ、T.・ア: tf.f

府P'n‑0 (2)ならばPn‑l‑vPn‑O (1)なる事を証明

す・:・Ks.'Il.1(. 、 ・二!l蝣'<:J.:ド ・,ir‑'>:‑r> Jfry.<&>¥。

つ串が分るO

P′n.1‑蝣*P'‑‑(n+2)Pn‑o

(iW‑ 1)P,1+1 + *(2n + l)P'n

‑(2n+ l)Pn =‑0

n‑vP′ユ1‑nP′l‑̲ ‑tfPn =0,

*p'n ‑p′n‑rnPn =0,

‑r2‑*‑ii+l.V2p',‑ >+l)Pn+1 ‑O pn+l‑‑rFn>+l)Pn ‑0

(.り

1   . .   ‑        

・ ・ l             ー             1

‑r竺‑1)F,,十i + (n+ l)P,,

‑ n+l>vP… ‑0      (10)

*M)P',‑ + iOVi‑rP,,〕 ‑0  (ll)

(10)より吾々の定理を得、弦にPl,ほルヂヤソドルの r‑jfi 亡 ‑I:、 /・:∴・J汁.in汁・.白・こ.'Ill'‑"、

i*n‑OならばP′叶 =Pnである此証明は(4)より P′n十‑xP′l‑(n+2)Pn ‑0 であるから容易に分る 攻にP′叶1 (九) =Pn(A)に

2

pサ‑V嘉蒜

1.3‑(2i卜11 2.4‑2n

・cOs等+(n+‡)v)+o意)

を代入せばP′n+ 1 =0を満足するDCを求め得O

Ej串   硝・ELiSiS.!

・・定理‑ X I'」‑‑< xミti:‑.iり/>‑ :‑‑j<.'j['<]},i.fii>.し、 it's.‑I

∴「行にして ・"・'‑> ‑;i'りむ(:‑ト:、IIJ:、Mvl i.‑c/,:l‑.'‑ i

;]モ ̲̲、   サ;     照

E‑K2」, F‑K2F, G= K2G

S ttffi

_{Z^Ksl 転  流}

が成立つものとする、ここにE,F,(4は第一基本草, L,M,Nは第二基本量, Kは定数とせば

弾

X‑kX+A

が成立つ、 Aは常ベクl・ルであるO

〔紅明〕 ri々は曲率線を媒介変数にえらぶときは F‑M‑O

となる、此時球面描写は垂直曲線である。払仮定に より表面の法ベクトルに対しては

迂壬

s‑s       (2)

K<

が成*.す、而してX上の曲率枚'まX上の曲率緑に村腰 する、それ故に

※  単 F=Mこ=F=己hT=0

である、 ffi亦(). RodrigileHの蝣V"* 成 + +

I:i

Xu +Kl?,, ‑O,

Xv+Rヱfv‑O,

X

※ X

3㈲Ru

n U   0

ニニFIJ V

] V. t

‑ I. ̲ 無 *" : , R   n

をここに考える(1)及びし21より

a弓‑ FSB院

lく‑xl、 ‑x, ‑kt'?, ‑‑Iヽごl:I'.‑ I・

が或&.つ、そjt紋に

Hl=KRi同駅して毘=K一寸(5) 次に(2).(4)及び(5)より

蝣.<蝣   sミ:L{

XIT ‑‑Klfu‑‑KRi^u‑KXl,

こIi

即ち Xu ‑kXjが成立つ、開院にXv一蝣KAy

.>'蝣

依ってX=ニKX+A,

ここにAは常ベクトルである、これで証明は完了す。

r定理l.h‑:>』  ''¥¥*n:はtミ1+1内*O" '‑illlll」:jKIhi X lと び舛こ拡張する串b;出破る,つまりこれをのべると攻 の薩である。今青々は普通用いられるmこ

:,こ̀

giK ‑K一g,      8)

m囚^Mtin

ds2‑dX‑‑ ^ giAdiiK *7 i.K

‑dxd書= 'ゴmlKduidu,c/i,K=l,2, ‑‑)

i,k

とするO愁るときは

・.::

X‑KX+A

であるOここにAは定ベクトルである。

〔紅明〕再々は曲率線を媒介変数にえらべば プ‑u‑‑. rau。‑O, (M‑k)

である、而してRln+l内の其球面描写は垂直曲線肺を 形成する而して仮定により表面の法紋の畢位ベクトル

ォPaiには

汀蔓

?&9       回

>ォ早

がAt'∴・、  I Xト. '.‑.'"・'.'xい      Hi

手.:: こ:T

才一iI。‑rau。‑㌢iic‑msl‑‑O (i+k (8) である、一方に於てO. Rodrlgviesの公式

Xni+iミi fni‑0,

;Yt ※

Xm+Ri Jni‑O

(9)

が成‑'r.っ、ここにIて*>f一.iは上の定理にのべたと同一 意味のものである。

(6)及び(7)より

テ!: こ:こI1こi.ユ

K X。‑i‑才一i‑Xu,‑i再iT,‑K rtifc, 紋に

I7亭

K; ‑ Klミi      (10)

さてG)> (9)及び(10)より

Srォ   mt >:<

Xwl‑‑iミ?¥n‑ KH]?v¥‑kXu;

であり、これより

X‑kX+A        (ll) が成w.する、ここにAはm位ベクトルである。さて余

as

は以前拙文を表し次の尋を証明したo

2

(Mc)du+2(Mv)du dv+(0,,0、,.)dv‑O

は円系‑j&i'ii Uく)トつ症蝣M牌誌・つ W'‑J;‑‑さま.一つで

(OrOT):E‑ ODォ、圭Y‑(evey)‑G (13) である、ここでは媒介変数:まt了,Vである。

(13)より(Kl.(K)を求め得て

こ:・

X‑kX+A

が成i"r.っ薩にする車が可能である。

・y( ・< :

ここに、 tK), (K),xiXはFT]東夷・軒Cある。

‑t‑^L,1蛇に‑Xハ蝣i;岬5." !{

・'x      ※

〔定理〕 k¥W‑.(0LOv)‑ K¥OvOv):{OJ^

‑K〇(0、,Ov):{0、,叫は(M)の特有件であるo

E^章 mm屈nuEa同Km問ES3山 背通の恥小犬.‑ft;が耐帆X‑iti.る子tt.i了! f¥な却こある、比 叡ま例えは極小表画に対するWEI15RHTRA綿の有 名な表示から誘導し得べし。

照るにこれと類蝣&.の串が擬lU.極小表面に対して未だに 興えられていfxいから此表面に対する解析的性質の研 究をば別な方法で興えられねばならぬ、それに答ふる

(1) S.丸iatsi】t.ll】ra, Boitr栂e zllr Geo. iler Kroise unLI kuguln, M印.. of FまtC‑ <‑>f Sci lいul 〜 ;riciiltiげ'. Taihokt】

Im Uv】iv.; Vol.2(1928)

卵形娘、卵形両の研究(集一      ‑179‑‑

ために次の定理を証明せねばならね。

〔定理l 〕 、擬似極小表面は正限二次盛者形を有せば解 析的である。

〔駈明〕定理1を証明するにはBl那Clllくe教授の著なる 純分吋'II L祁 %ミ)‑">i?liぢ・を指ftl L柑fi'l.1*.小*￨ti!lこ対 しは

JX‑(予x,,、‑0       (1) と置くをうべし

今、擬似等温媒介狂数を採関するならば

G12=0, (盲u‑G。2

である。故に(1)は

JX‑Xuc +xvv‑‑    (3) となる、 (3)によればXの分解なるx(Oは解析的曲数で ある、何となれば

x(i)‑R〔叫。(u+iv)〕 (k‑1,2,3) で表わさるゝからである。

kontravariante ヽrectorなるⅩは吾々の擬似短小表面に l'¥って解析;¥'‑y > :方> <j.‑>

そしてXの解析的なろ事はIA'lievre の特別なる公式

〔上記微分輝何P.140,(49;〕を用いるか叉はLelievre の一般公式から分る〔上記微分確何P,16こ(all)〕, P.162

〔(a8)〕・

勿論同様の論法を普通の縮小に誘導する串が出水るO 鰯亦Eiuil Mtillerの意味に於ける相対極小表面も解 析的卵形両により解析なる串の問題が生ずるがそれは 上にのべた証明に於けるLelievreの公式に相当する 公式をうるならば上記の問題と同掛こ証明する車が出 来るO

所がそれは相対確何学に於ける享長音公式、日オ数学輯 報、 1, (193CP, P.43)より上記の公式を誘導し得べし (Baschke : Dji erentialgeoinetrieP. 163 (a28)参照、

iifiして=如)TiIJIj!? J、境‑、うw>O。

〔定理2〕正隈二次jIEす形を膏し且解析的卵形面の相 kJto'J、/iifiiは附粁甘(「・‑*.ろL,

ここに普通の触小薬融こ対する定理は此特別な揚合と して含むo