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プ リ ・プ レ イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 因 人 の ジ レ ン マ
RepeatedPrisoner'sDilemmawithPre‑playCommunication
高 橋 一 郎
IchiroTAKAHASHI
1は じ め に
よ く知 ら れ て い る よ う に,一 回 限 りの 因 人 の ジ レ ン マ に お い て は,(協 力,協 力)は Nash均 衝 に は な ら な い.ゲ ー ム が 無 限 回 反 復 さ れ る とFolk定 理 が 示 す よ う にindi‑
viduallyrationalな 全 て のoutcome(payoff pairs)の 集 合 がNash均 衝 と して 支 持 さ れ る,
こ の 集 合 は も ち ろ ん 協 力 解 を含 む が,同 時 に あ ま り に も多 く の 均 衡 の 存 在 を 許 して し ま う の で,均 衡 の 集 合 を 絞 り こ むequilibrium selectionの 試 み が な さ れ て き た.こ れ に は, forwardinductionを 始 め,い く つ か の ア プ
ロ ー チ が あ る.こ こ で は,本 論 文 に 関 係 す る ア プ ロ ー チ の エ ッ セ ン ス を 簡 単 に 振 り返 ろ う 。
1‑1.AutomationとComplexityCost Rubinstein(1986),AbrueandRubinstein
(1988)は 無 限 に 繰 り 返 さ れ る 因 人 の ジ レ ン マ を プ レ イ す る 二 人 の プ レ ー ヤ ー を 考 察 し た.各 プ レ ー ヤ ー は オ ー ト マ ト ン を 選 ぶ metaplayerで,利 得 だ け で な く,ス テ ー トの 数 で 測 ら れ るcomplexitycostに 依 存 す る 選 好 を 持 つ.Nash解 は,対 角 線 上 に し か な く, し か もindividuallyrationa1な と こ ろ に 絞 ら
れ る こ と を 示 し た.こ れ は,相 手 のaction がCか らDへ,あ る い はDか らCへ と 切 り 替 っ て い る と き に,自 分 のactionが 同 じ も の に 留 ま っ て い る な ら,相 手 のactionの 切
り替 え を 利 用 して,次 のstateに 移 る よ う に, automatonを 変 更 す る こ と で,一 つstateが 節 約 で き る か ら で あ る.し か し,こ の ア プ ロ ー チ で は こ れ 以 上 均 衡 を 絞 り こ む こ と は で き な い.た と え ば,AbrueandRubinstein(1988)
で は,二 人 の プ レ ー ヤ ー が 等 し い 利 得 を 得 て い るoutcomeは,ど れ も 均 衡 に な っ て し ま う.
1‑2.PerturbedGame
AumannandSorin(1989},Fudenberg andLevin(1989),Watson(1991),Schmidt
(1993),は 一 人,あ る い は 両 方 の プ レ ー ヤ ー
が 小 さ い 確 率 で 非 合 理 的 な 戦 略 の 集 合 の 内 の
ど れ か の 戦 略 に 置 き換 わ る 可 能 性 の あ る と き
の 均 衡 を 考 え た.非 合 理 的 な 戦 略 の 集 合 が
tit‑for‑tat戦 略 の よ う に,相 手 が そ れ に 対 し
て 最 適 反 応 を と れ ば,自 分 に と っ て 有 利 に な
る 戦 略 を 正 の 確 率 で 含 む 状 況 を 考 え た.彼 ら
は,合 理 的 な プ レ ー ヤ ー は あ た か も そ の 非 合
理 的 な プ レ ー ヤ ー(tit‑for‑tater)の よ う に 振
る 舞 う こ と に よ っ て,reputationを 確 立 し て,
利 得 を 引 き 上 げ る こ とが で き る か ら,効 率 的
な 均 衡 の み が 選 び と ら れ る こ と を 示 し た1).
1‑3.進 化 論 的 プ レ ッ シ ャ ー
現 行 の 戦 略(A)が,も し非 効 率 的 な 解 に と ど ま っ て い る と ミ ュ ー タ ン ト(B)が 現 わ れ る.BはBと 出 会 う と協 力 し あ い,Aと 出 会 う とAの よ う に 振 る 舞 う.B同 士 に し か わ か ら な い 暗 号 を や り取 り す る こ と で,B同 士 は 秘 密 裏 に 手 を 結 ぶ の で あ る.Aよ りB の 方 が 優 れ て い る の で,Bは 栄 え,Aは 衰 亡
し て い く.KimandSobel(1992)やMatsui
(1991)は 利 害 に 対 立 が な い ス テ ー ジ ・ゲ ー 一 ム に お い て,プ リ ・プ レ イ ・ コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン が 可 能 で あ れ ば,進 化 論 的 プ レ ッ シ ャ ー が 協 力 的 な 解 の み を 選 び と る よ う に働 く こ と を 示 し た,
BinmoreandSamuelson(1992)は ユ のi要 素 と進 化 論 的 プ レ ッ シ ャ ー を 組 み 合 わ せ て, 協 力 的 な 利 得 を も た ら す 安 定 集 合 を 得 た,彼
ら の モ デ ル で は,matchingし た プ レ ー ヤ ー は 永 久 に 同 じパ ー トナ ー と 因 人 の ジ レ ン マ を プ レ イ す る.し た が っ て,も し,信 号 を 送 る こ と で,永 久 に 処 罰 さ れ る 可 能 性 が あ る な ら , 秘 密 裏 の 握 手 は で き な い.し か し,stateの 数 を 節 約 す る と い う 要 請 か ら安 定 集 合 に 属 し て い るautomatonは,均 衡 径 路 に お い て 全 て のstateを 使 用 し て い る の で,永 久 に 処 罰 す る よ う な 戦 略 は 除 外 さ れ て い る2).こ の 事 が, プ リ ・プ レ イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 同 じ様 に,コ ス ト を伴 う こ と な し に,秘 密 裏 の 握 手
1)こ の ア プ ロ ー チ の も つ 欠 点 に つ い て は,高 橋(1993)を 参 照 さ れ た い.
2)た と え ば,も し,AがGRIM戦 略 な ら,異 な る 行 動 を と っ て,永 久 に 処 罰 さ れ て し ま う が, こ の よ う な 戦 略 は 元 々 安 定 戦 略 で は な い.な ぜ な ら,処 罰 のstateは 均 衡 で は 使 用 さ れ て い な い か ら,GRIM戦 略 はComplexityCostを 節 約 す る よ り優 れ た 戦 略 に よ っ て 駆 逐 さ れ て
し ま う か ら で あ る.
を も た ら す よ う な 信 号 を送 る こ と を 可 能 に す る.相 手 がAな ら処 罰 さ れ る こ と な し に,A の よ う に 振 る 舞 い,相 手 がBな ら,協 力 し あ う.こ の よ う な 戦 略 はBに 対 し て,Aが 得 て い る よ り も高 い 利 得 を も た ら す の で,B の 侵 入 は 成 功 し,Aを 犠 牲 に し な が ら,栄 え て く る.
こ れ ら の ア プ ロ ー チ を 仔 細 に 検 討 す る と, 協 力 を 成 り立 た せ る の に 必 要 な 要 因 が 浮 か び 上 が っ て く る,ま ず,な ん らか の 掩 乱 の 存 在 が 不 可 欠 で あ る.た と え ば,2の ア プ ロ ー チ で は,撹 乱 は 外 生 的 に 与 え ら れ て い る.そ の た め に,こ の ア プ ロ ー チ に は,掩 乱 が ど こ か ら き て い る か 説 明 で き な い と い う 弱 み が あ る.3の ア プ ロ ー チ で は,ミ ュ ー タ ン ト と い う 自 然 な 形 で 撹 乱 が 導 入 さ れ て い る.Kan‑
dori,MaitathandRob(1993)はKimand
Sobel(1992)やMatsui(1991)と 同 じ く 利 害 の 対 立 が な い ス テ ー ジ ・ゲ ー ム で 動 学 的 な 進 化 論 の 安 定 的 な 解 を 求 め た.彼 ら の モ デ ル で は 大 多 数 の プ レ ー ヤ ー は 近 視 眼 的 に で は あ る が,優 れ た 戦 略 を選 ぼ う と す る が,常 に 少 数 で は あ る が,戦 略 を ラ ン ダ ム に 選 ぶ 人 が い る と仮 定 さ れ て い る.こ の 少 数 の プ レ ー ヤ ー が 撹 乱 の 役 目 を 果 た し て い る.Fudenberg andMaskin(1990)は,プ レ ー ヤ ー が 誤 っ て 他 の 戦 略 を と っ て し ま う と い う 形 で,掩 乱 を 取 り入 れ た.
も う 一 つ の 重 要 な 要 素 は,裏 切 り に 対 す る 報 復 を ど の よ う に 組 み 込 む か と い う 問 題 と か
か わ っ て い る.KimandSobe1(1992),Mat.
sui(1991),Kandori,MailathandRob(1993)
は い ず れ も,ラ ン ダ ム に マ ッ チ ン グ し た プ
レ ー ヤ ー は 一 回 だ け ゲ ー ム を し て 別 れ ,次 の
期 に 即 座 に 新 しい パ ー トナ ー と 出 会 う と い う
July1994
設 定 に な っ て い る.こ の た め に,二 人 の プ レ ー ヤ ー の 利 益 が 一i致 す る ス テ ー ジ ・ゲ ー ム し か 扱 え な い の で あ る.相 手 を 裏 切 っ て,得 を し て し ま う 因 人 の ジ レ ン マ の 解 決 は で き な い.
因 人 の ジ レ ン マ を 扱 う に は な ん ら か の 処 罰 の メ カ ニ ズ ム が 必 要 で あ る.
最 後 に な ん ら か の 調 整 の メ カ ニ ズ ム が 不 可 欠 で あ る.明 ら か な 有 力 候 補 は,プ リ ・プ レ
イ ・ コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン で あ る,Binmore andSamuelson(1992)は 有 限automatonと complexitycostを 含 め る こ と で,プ リ ・プ レ
イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン に よ る"秘 密 裏 の 握 手"の 機 能 を 巧 妙 に モ デ ル に 組 み 込 ん で い る.
し か し,そ の 代 償 に,安 定 的 な 戦 略 は ま ず 相 手 を 処 罰 す る こ と か ら 始 ま る と い う 極 め て 直 観 に 反 す る 結 論 を得 て し ま っ た.
CarmichaelandMacLeod(1992)は,因 人 の ジ レ ン マ の 繰 り返 し ゲ ー ム に ギ フ ト とpre.
playコ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン を モ デ ル に 導 入 す る こ と で,協 力 を 持 続 さ せ る こ とが で き る こ
と を 示 し た.各 プ レ ー ヤ ー は 相 手 が 気 に 入 ら な い と き に は,マ ッ チ ン グ を解 消 し て,他 の プ レ ー ヤ ー と ゲ ー ム を す る こ とが で き る と い う 選 択 肢 を も つ.ギ フ トは,与 え る ほ う に と っ て は コ ス トが か か る が,も ら う方 に と っ て は 価 値 が な い と仮 定 さ れ て い る.進 化 論 的 に 安 定 的 な 戦 略 の 集 合(ESSを 集 合 概 念 に 拡 張 し た も の)に お い て は,最 初 に コ ス トの か か る ギ フ トを お 互 い に 与 え 合 い,同 時 に コ ス トの か か ら な い メ ッ セ ー ジ を 交 換 し あ う.そ し て, ギ フ ト を 好 意 の 印 と解 釈 し て,そ の 後 の 各 ス テ ー ジ ・ゲ ー ム に お い て,常 に 協 力 を プ レ イ す る.ギ フ トを 送 ら な い か,ま た は,Dを と る と,関 係 は 解 消 さ れ て し ま う.裏 切 る こ と に よ る 短 期 的 な も う け は,次 の 相 手 に 与 え る
高 橋 一 郎:プ リ ・プ レ イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 因 人 の ジ レ ン マ 47
ギ フ トの コ ス ト に よ っ て,帳 消 し に さ れ る.
毎 回 協 力 す れ ば,同 じ相 手 と 関 係 が 継 続 し, ギ フ トは 最 初 の と き に 贈 れ ば す む の に,Dを と る よ う にprogramさ れ た 戦 略 は 毎 回 新 た な 相 手 と 出 会 う た び に ギ フ ト を 交 換 し な け れ ば な ら な い.こ の モ デ ル で は 処 罰 の メ カ ニ ズ ム が 初 対 面 の 相 手 へ の ギ フ ト と い う 形 で 組 み 込 ま れ て い る.
我 々 は,BinmoreandSamuelson(1992)
と 同 じ く,1と3の 要 素 を 結 合 す る.彼 ら と 同 じ く,利 得 は 平 均 で 測 る.こ の 仮 定 は,人 々 は,非 常 に 辛 抱 強 い こ と を 意 味 す る3)、 そ し て,入 々 は,非 合 理 的 で あ り,単 純 な 戦 略 を 好 む.と り わ け,戦 略 の 複 雑 さ は,そ れ を 実 行 す る オ ー トマ ト ン の ス テ ー トの 数 で 測 ら れ,平 均 利 得 が 同 じ で あ れ ば,人 々 は,よ り 単 純 な 戦 略 を 好 む.さ ら に,進 化 論 的 な 淘 汰
に よ っ て,よ り適 し た 戦 略 が 選 び と ら れ て い く.こ の よ う な 点 で は,我 々 の モ デ ル は 彼 ら の も の と 共 通 で あ る が,次 の2点 で 異 な る.
BinmoreandSamuelson(1992)で は,一 度 matchingし た 相 手 と は 別 れ な い.こ の 論 文 は,CarmichaelandMacLeod(1992)と 同 じ く,別 れ る こ と も プ レ ー ヤ ー の 選 択 肢 に 含 め た.た だ しCarmichaelandMacLeod(1992)
の ギ フ トの 代 わ り に,別 れ る と な か な か 次 の 相 手 と め ぐ り合 え な い と い う 処 罰 の 形 で も ジ レ ン マ は 解 消 す る こ と を 示 す.次 に,こ の 論 文 は,Swinkels(1992)のEquilibriumEvo‑
lutionaryStability(EES)と い う 安 定 概 念 を
3)因 人 の ジ レ ンマ の 状 況 で は,協 力 を も た らす
に は,プ レー ヤ ー は あ る程 度 辛 抱 強 くな け れ
ば な らな い 。"今 日 さ え よけ れ ば い い"と い う
の で あ れ ば,ど の よ う な処 罰 の メ カ ニ ズ ム が
あ っ て も,今 日相 手 を裏 切 る の が 得 だ か らで
あ る.
48季 刊 創 価 使 う.SmithandPrice(1973)の 提 唱 し た, EvolutionaryStableStrategy(ESS)は ,安 定 的 な 戦 略 以 外 の あ ら ゆ る ミ ュ ー タ ン トの 排 除 を 要 求 す る が,EESは あ る 種 の 合 理 性 を も っ た,ミ ュ ー タ ン トに 対 し て の み,抵 抗 力 が あ れ ば よ い と す る.(こ れ を 正 当 化 す る 議 論 に つ い て は 原 論 文 を 参 照 さ れ た い.)
人 々 は ラ ン ダ ム に 出 会 い ペ ア を つ く る.二 人 は,コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン を し,そ の 後 に, 二 人 が 同 時 にCを と る かDを と る か 決 定 す る.そ の 後 に,プ レ ー ヤ ー は 同 じ相 手 と 次 回 も ゲ ー ム を行 う か,あ る い は 別 の 相 手 と プ レ イ す る た め に マ ッ チ ン グ を解 消 す る か を 決 め る.解 消 す る と,次 期 に 外 生 的 に 与 え ら れ た あ る 確 率 で 新 し い パ ー トナ ー と 出 会 う こ と が で き る.同 じ相 手 と 関 係 を 継 続 す る と き に は, 前 期 と 同 じ過 程 を 繰 り返 す.
得 ら れ た 主 な 結 論 は 次 の 通 りで あ る.利 害 の 対 立 の 程 度 と比 較 し て,新 しい 相 手 と 出 会 う確 率 が 小 さ い と き に は,も し相 手 を 裏 切 る と(Dを プ レ イ す る と),短 期 的 に は 利 得 は 増 加 す る が,関 係 は 打 ち 切 ら れ て し ま う,一 旦,相 手 を失 え ば,し ば ら く は,マ ッ チ ン グ が 起 こ ら な い の で,こ の よ う な 戦 略 は 不 利 で あ る 。も ち ろ ん,ペ ア を 組 ん で い る プ レ ー ヤ ー 同 士 が 協 力 関 係 に な け れ ば,こ の よ う な 戦 略 も 不 利 と は い え な い が,プ リ ・プ レ イ ・ コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 進 化 論 的 な プ レ ッ シ ャ ー が 協 力 関 係 を 自生 さ せ る の で あ る.
第2節 で,モ デ ル を 提 示 す る.第3節 で, 効 率 性 の 命 題 とEESの 存 在 を 証 明 す る.第
4節 で こ の モ デ ル の 拡 張 に つ い て 簡 単 に 議 論 す る.
経 済 論 集
2Model
Vol.XXN,No.1
因 人 の ジ レ ン マ の ス テ ー ジ ・ゲ ー ム の 利 得 表 は 次 の 通 りで あ る.
cooperate defect
cooperate
1.1 b,a
defect
a,bo,o
こ こ で α>1,b<0,α+b〈2を 仮 定 す る . 各 プ レ ー ヤ ー は 各 期 に 確 率Pで も う 一 人 の プ
レ ー ヤ ー と マ ッ チ ン グ す る.初 対 面 の 相 手 に は 必 ず 同 時 に ω ∈ Ω の メ ッ セ ー ジ を 送 る.こ の メ ッ セ ー ジ は い わ ゆ る"cheaptalk"で あ っ て,だ れ の 利 得 に も 直 接 の 影 響 を 与rzな い.
Ω は 無 限 集 合 と 仮 定 す る.パ ー トナ ー のwT 信 号 を 知 っ た 後,各 期 に 次 の 順 序 で,ゲ ー ム が 進 展 す る.
段 階1.二 人 は 同 時 にCかDを 選 択 す る.
こ の 段 階 の 各 プ レ ー ヤ ー の ア ク シ ョ ン の ス ペ ー ス はAl={C ,D}で あ る.
段 階2.段 階1の 結 果 を 見 て,同 じ パ ー トナ ー と次 回 も プ レ イ す る か,そ れ と も,別 れ る か を 決 め る.前 者 の ア ク シ ョ ン をR(remain) で,後 者 の ア ク シ ョ ン をS(separate)で, ア ク シ ョ ン の ス ペ ー ス をA2=灰,s}で 表 す.
ど ち ら か 一 方 の プ レ ー ヤ ー が 別 れ る こ と (separate)を 選 ぶ と,マ ッ チ ン グ は 解 消 さ れ る.こ の と き に は,次 期 に,新 しい プ レ ー ヤ ー と 確 率pで 出 会 う.
段 階3。 確 率 δで プ レ ー ヤ ー は 死 に,マ ッ チ
ン グ を し て い な い プ レ ー ヤ ー と 置 き換 わ る .
単 純 化 の た め に 両 方 の プ レ ー ヤ ー は 同 時 に 死
ぬ と 仮 定 し,各 期 に 同 じ人 口 を 維 持 す る よ う
に 死 亡 し た の と 同 じ人 数 の 人 間 が 誕 生 す る と
July1994
仮 定 す る.た だ し,実 際 に は,Binmσreand Samuelson(1992)の よ う に,δ →1の 極 限 を 考 え る.
t期 段 階iの ア ク シ ョ ン プ ロ フ ァ イ ル をa2
∈ ん ×Aiで 示 す.あ る 相 手 と マ ッ チ ン グ が 始 ま っ て か ら,関 係 が 継 続 し て い る と き の' 期 段 階iま で の ア ク シ ョ ン の プ ロ フ ァ イ ル の
列 を 房 で 示 し,こ れ を ヒ ス ト リ ー と 呼 ぶ.
hiに は,最 初 の ω 一信 号 は 含 ま れ て い な い こ と に 注 意 さ れ た い.す な わ ち,
ん1=(ai,a2,…,tai)
た だ し,nal=(R,R),∀n≦t.瑳 を そ の よ う な ヒ ス トリ ー 房 全 体 の 集 合 と す る.ま た,H を 可 能 な 全 て の ヒ ス ト リ ー の 集 合 とす る.す
2
な わ ち,H≡U
i=1UHit=1.
ア ク シ ョ ン の 純 粋 戦 略 をf:H→ ん で 示 し, そ の よ う な 戦 略 の 全 体 を 集 合Fで 表 す.い ま,自 分 がfと い う 純 粋 戦 略 を 選 択 し た と き, fと い う純 粋 戦 略 を も っ た 相 手 と 出 会 っ て か ら 別 れ る ま で の 合 計 利 得v(が)を 考 え よ う.
二 人 が 生 き て い る 限 り,ど ち ら か がsを と る ま で,マ ッチ ン グ は 継 続 す る が,そ の マ ッ チ ン グ が 継 続 す る 期 間 の 長 さ を1(f,テ)で 表 す.こ の と き,合 計 利 得 は 次 の よ う に 表 す こ
と が で き る.
c(f,f) v(が)=Σu(α{)
t=1
△(F)を 混 合 戦 略 の 集 合 とす る.y∈ △(F)と い う混 合 戦 略 が 〆と い う純 粋 戦 略 を と る 確 率
を γ⑦ とす る.混 合 戦 略rに 直 面 した プ レー ヤ ー が 純 粋 戦 略fを と る と きの 事 前 の(ま だ 誰 に も 出 会 っ て い な い と き の)T期 ま で の 合 計 利 得V(f,y)は,
T
(1)ΣVt(云 の=・ ρ ,Σr(テ){"(f,f)
t=1ノ ∈ △(F)
高 橋 一 郎:プ リ ・プ レ イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 因 人 の ジ レ ン マ
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T‑1(f,f)T一 ユ
+ΣVt(f,r)}+(1‑P){0+ΣVt( .f,y)}
t=ltニ1
と な る.
T
Σ γ,(五 γ)
1im‑t=1‑一 一一 一一=V(五 の TT→oo
と 置 い て,(1)を 解 い て
PΣr(∫)v(f,f)(2)v(f ,r)= ρ Σ
γ(∫)1(f,∫)十(1一 ρ) と 求 ま る.ま た,こ の 利 得 関 数 を 拡 張 し て, V(r)を 全 て の プ レ ー ヤ ー が,混 合 戦 略yを プ レ イ す る と き の 各 プ レ ー ヤ ー に と っ て の 期 待 利 得 と す る.
信 号 の 全 体 集 合 が Ω で あ る よ う な コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン を 伴 う ゲ ー ム に お い て は,あ の 信 号 を 送 っ て き た 相 手 と 出 会 う と,典 型 的 な プ レ ー ヤ ー はS=(ω,八 ω,ω))と い う よ う な 戦 略 を と る.こ の 純 粋 戦 略 の 集 合 は,S=Ω × FΩ ×Ω と表 現 さ れ る.S上 の 混 合 戦 略 を σで, そ の 全 体 を △(S)で 表 す,Ω 上 の 混 合 戦 略 を
μ で 表 す と,σ 一(μ,γ)で あ る.コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン ・ゲ ー ム に お い て,S=(ω,プ(ω, w})の 戦 略 を もつ プ レ ー ヤ ー が σ の 母 集 団 に 直 面 し た と き の 利 得 はV(fの で 与 え ら れ る.
戦 略 の 集 合 がSで 利 得 関 数 が 上 述 し たVで 与 え ら れ る と き の ゲ ー ム を,(S,V)で 示 す.
C(σ)を σの キ ャ リ ア,BR(σ)を σ に 対 す る 最 適 反 応 の コ レ ス ポ ン デ ン ス とす る.ま た, こ の ゲ ー ム のNash均 衡 の 集 合 をN(∫ ,V)で 表 す.
以 下 で,我 々 はSwinkels(1992)に よ る EquilibriumEvolutionaryStable(EES)の 安 定 条 件 を 用 い る,EESの 定 義 は 次 の 通 り で
あ る.
定 義:0⊂ △(S)が 次 の 全 て の 条 件 を 満 た す
最 小 の 集 合 で あ る と きEESで あ る と い う.
50季 刊 創 価 1.⑨ は 空 で な い 閉 集 合 で あ る.
2.⑨ ⊂N(S,の.
3.全 て の ∈ ∈(0,∈')と σ ∈ ⑨ に 対 し て も しC(6')⊂.BR((1‑E)σ+∈ σ')な ら ば(1一 の σ+Eσ'∈ ⑨ で あ る.
3協 力 と失 業
マ ッ チ ン グ を し た 後 は,相 手 がCを 取 り っ づ け る 限 り,別 れ ず に 常 に 協 力 す る が,一 ・ 旦 相 手 がDを と る と 直 ち に 別 か れ る と い う 戦 略(こ の 戦 略 をf'と す る,)は ど う い う と き にNash均 衝 に な る だ ろ う か.直 観 的 に も, こ れ を 裏 切 る と,し ば ら くは,次 の 相 手 が 見 つ か ら な い と き だ と わ か る だ ろ う.以 下 で は, P>0と 仮 定 す る.い ま,自 分 以 外 の 全 て の プ レ ー ヤ ー が,∫ ホと い う 戦 略 を 採 用 し て い る と す る.こ の と き,自 分 も ∫8を 使 う と き の 平 均 利 得 を ア と す れ ば,相 手 と 出 会 え ば 常 に,1の 利 得 を,出 会 え な け れ ば 今 期 は,ゼ ロ,次 期 は ア を 得 る か ら,ア は 次 の 式 を 満 た す.
Ve=P×1+(1一 ρ)(0+γ つ
こ れ を 解 い て,Ve‑1が 求 ま る.次 に,自 分 以 外 の 全 て の プ レ ー ヤ ー が,f*と い う 戦 略
を採 用 し て い る と き に,出 会 っ た 相 手 とn‑
1期 間 協 力 しあ いn期 目 にDを と る 戦 略 を 考 え よ う.こ の 戦 略 の 事 前 の 平 均 利 得,V(n) は(2)式 よ り,
p(n‑1+a)(
3)V(n)̲
pn十 」.‐p
簡 単 な 計 算 か ら,全 て の%≧1に 対 し て V(n)〈V(n+1)の 必 要 十 分 条 件 は
1(4>P〈
‑
a
と な る こ と が わ か る.上 式 が 満 た さ れ れ ば, n期 にDを と る よ り もn+1期 にDを と る ほ
う が よ い か ら,最 初(n=1)にDを プ レ イ す る か,あ る い は,永 久 に協 力 す る か の ど ち ら か で あ る.さ ら に,V(1)ePaで あ る か ら, 留>V(1)の 必 要 十 分 条 件 も,(4)式 で あ る こ と が わ か る.こ の 二 つ の こ と か ら,(4)式 が 成 立 す れ ば,f̀は ガ に 対 す る 最 適 反 応 で あ る
こ とが 示 せ た.
下 の 図 で,斜 線 の 部 分 は,ρ 一 α平 面 に お い て こ の よ う なNash均 衝 が 存 在 す る 範 囲 を 示 し て い る.
a
2
0 1 P
所 与 の ρ に 対 し て,α が 増 加 す る に 連 れ て,
∫*がNash均 衝 に な る 領 域 は 狭 ま る.パ ラ メ ー タ ー αで 測 ら れ る 利 害 の 対 立 す る 程 度 が 大 き く な る と き に は,Pが 小 さ く な ら な け れ ば,∫ 准をNash均 衝 に 保 つ こ と は で き な い.
pが 小 さ い と,一 度Dを と っ て,関 係 を 断 ち 切 ら れ る と ま た,次 の 相 手 と め ぐ り合 う ま で 待 た な け れ ば な ら な い が,こ れ が 次 の ゲ ー ム に 参 入 す る 際 の 参 入 障 壁 と し て 機 能 す る.
aが 大 き い 程,裏 切 りの 誘 因 は 大 き く な る か
ら,協 力 を 維 持 す る た め に は,こ の 参 入 障 壁
を 高 く し て,裏 切 る こ と の コ ス ト を 大 き く し
な け れ ば な ら な い の で あ る.
Julyl994高 橋 一 郎:プ リ ・プ レ イ ・コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と 因 人 の ジ レ ン マ
4Pre‑playCommunicationと 協 力 的 な 安 定 集 合
さ て,前 節 で 出 会 え ば,常 に協 力 し,裏 切 ら れ れ ば 関 係 を 断 つ と い う 戦 略 のNash均 衝 を 特 定 した が,も ち ろ ん こ の よ う な 均 衡 が 出 現 す る 保 証 は な い.た と え ば,全 員 が 毎 期
(D,S)を プ レ イ す る な ら ば,毎 期,(D,S) を プ レ イ す る の は,や は り最 適 反 応 に な る.
こ の と き の 各 プ レ イ ヤ ー の 利 得 は も ち ろ ん ゼ ロ で あ る.
し か し,上 述 し た 戦 略 がNash均 衝 に な る た め の 条 件pa<1が 成 り立 つ 限 り,全 て の EESに お い てpre‑playコ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン
は,Veと 等 しい 効 率 的 な 利 得 を 保 証 す る.
直 観 的 に は 次 の よ う な 力 が 働 く.
(1)ま ず,非 効 率 的 なEESσ'が 当 初 に 存 在 し て い る と し よ う.Ω が 無 限 集 合 と い う 仮 定 か ら,ど の プ レ ー ヤ ー も使 用 し て い な い 信 号 が 存 在 す る.こ の 信 号 をwと す る.次 にw
を 使 う プ レ ー ヤ ー を 罰 し な い が,そ の 他 の 点 で は,σ'と 同 じ 様 に 振 る 舞 う ミ ュ ー タ ン ト が 侵 入 して く る.こ の ミ ュ ー タ ン トは 栄 え, や が て,母 集 団 の 全 体 に な る.
(2)そ の 後,ω を 使 う ミ ュ ー タ ン トが 侵 入 す る.こ の ミ ュ ー タ ン トは,出 会 っ た 相 手 が, 同 じ く ω を 返 し て き た と き に は,前 節 で 特 定 し た 戦 略 ガ を と り,そ う で な い と き に は 他 の プ レ ー ヤ ー と 同 じ 戦 略 を と る.こ の ミ ュ ー タ ン トは 自 分 と 同 じ戦 略 を 持 つ ミ ュ ー タ ン ト と 出 会 う とVQと い う 効 率 的 な 利 得 を 手 に 入 れ,既 存 の プ レ ー ヤ ー と 出 会 う と罰 せ ら れ る こ と な し に,他 の プ レ ー ヤ ー が 得 て い る の と等 し い 利 得 を 得 る こ と が で き る の で, 利 得 の 期 待 値 は,他 の 既 存 の 戦 略 に 従 う プ
51 レ ー ヤ ー の そ れ よ り,厳 密 に 大 き くな る.こ う し て,こ の ミ ュ ー タ ン トは 栄 え,既 存 の 戦 略 に 取 っ て 代 わ る.新 し いEESで は,全 て の プ レ ー ヤ ー はVeと い う効 率 的 な 利 得 を 得 る こ と に な る.
(1)の 部 分 は,KimandSobel(1992)の
lemmaと ほ と ん ど 同 様 な の で,省 略 す る.
次 の 命 題1は 全 て のESS集 合 の 効 率 的 で あ る こ と を 示 し て い る.
命 題1:Ω が 無 限 集 合 で,P<⊥ で あ る と し
aよ う.も し,⑨ がESS集 合 で あ る と き,全 て の σ ∈ ⑭ に 対 し て,V(σ)≧ γ で あ る.
証 明:σ=(μ,r)∈ ⑧ と す る.矛 盾 を 導 く た め に,V(σ)〈 γ と す る.ポ を 補 助 定 理 の 結 論 を 満 た す も の と す る.ま た,ア*を 前 節 のNash均 衝 の 純 粋 戦 略 とす る.明 ら か に, V(∫*)>V(σ')で あ る.∂=(ρ 勲 を 次 の よ う に 定 義 す る.
μ(ω)ニ1
〆(f;w,の 玖 ω,の ≠@,w) fCf;,の=
∫*舐 ω,の 一@,の
∫*∈N(S,の で,v(fう>V(σ')な の で,w以 外 の 信 号 を 使 う の は 不 利 に な る の で,∂ ∈N
(S,の で あ る.さ ら に,補 助 定 理 か ら,C(∂)
⊂BR(6').し た が っ て,KimandSobe1(1992) のProposition1よ り,厳 密 に 正 で あ る ε に 対 し て,(1‑∈)σ'+∈ ∂ ∈ ⑪.こ れ よ り,ま た(1‑∈)6'+ε ∂ ∈N(∫,v).し か し,(1 一 の σ'+∈ σ に 対 す る 最 適 な 信 号 は 確 率1 で,ω を 送 る こ と(μ を 送 る こ と)で あ っ て, μ と μ'の 凸 結 合 で は な い.(証 明 終 わ り)
上 の 命 題 はESS集 合 が 存 在 す る と す れ ば, そ れ は 効 率 的 な も の で あ る こ と を 明 ら か に し
て い る.も ち ろ ん,こ の 効 率 性 の 命 題 は,
ESS集 合 が 存 在 し な い な ら ば 意 味 は な い.次
52季 刊 創 価 の 命 題 は,ESS集 合 が 存 在 す る こ と,す な わ ち,任 意 の ω 信 号 とf̀か ら な る 戦 略 が 実 際 にESSに な る こ と を 示 す.
命 題2:ρ α<1と 仮 定 す る.⑭ を段 階1で, 有 限 個 の 信 号 を送 り,後 は 前 節 で 特 定 化 し た
∫掌を と る 戦 略 の 集 合 と す る.こ の 集 合 ⑨ は ゲ ー ム(s,の のESS集 合 で あ る.
証 明:
Step1.
ま ず,㊥ はNash均 衝 の 部 分 集 合 で あ り, しか も 閉 集 合 で あ る.も し,C(σ')⊂BR(σ) な ら ば,σ'と σが 出 会 っ た と き に は,σ と σが 出 会 っ た と き と 同 じ ヒ ス ト リ ー を 生 み 出 さ な け れ ば な ら な い.す な わ ち,常 に 両 者 と も協 力 を 取 り つ づ け る は ず で あ る.(そ う で な い と,σ に 直 面 し た と き に,σ'は,σ よ り劣 る こ と に な る.)
Step2.
0がESS集 合 の 三 番 目 の 条 件 を 満 た す こ と を示 す に は,
(5)C(σ')⊂BR(1一 ε)σ 十 ∈ σ')
と な る ∈が 存 在 す る な ら,d'∈ ⑨ で あ る こ と を示 せ ば よ い.
V(σ,(1一 ε)σ+∈ σ')占よSteplよ り, 匪 で あ る か ら,撹 乱 し た 環 境(1‑E)σ+e σ'に 対 し て,Q'が,σ 以 上 の 利 得 を 得 る に は,V(σ',σ')≧y串 で な け れ ば な ら な い.
そ の た め に は,常 に協 力 し合 う し か な い.し か も,∫ 寧は ス テ ー ト の 数 が 一 つ で あ る か ら, f'とconst‑Cが σ'の 持 ち う る オ ー トマ ト ン の 候 補 で あ る.し か し,σ'の オ ー トマ ト ン が, const‑Cな ら ば,(1‑∈)σ+ε6'に 対 す る 最 適 反 応 は,const‑Cで は な い.こ の 掩 乱 し た 環 境 に 対 し て は,各 期 にDを と り,相 手 が, Dな ら,s,Cな ら,Rを と る の が 最 適 反 応
で あ り,こ の 戦 略 か ら は,α の 利 得 を 得 る こ と が で き る か ら で あ る4>,し た が っ て,σ' の も つ オ ー トマ ト ン は,∫ 富以 外 に な く,こ れ は,定 義 よ り,⑭ に 含 ま れ る.(証 明 終 わ り)
5結 び
我 々 は,入 々 が 十 分 に 辛 抱 強 く,一 度 関 係 が 断 ち 切 れ る と,な か な か 次 の パ ー トナ ー と め ぐ り合 え な い と き に は,因 人 の ジ レ ン マ の よ う に 利 害 の 対 立 す る 状 況 で あ っ て も,協 力 が 内 発 的 に 自生 し て く る こ と を み た.次 の2 点 に 関 す る モ デ ル の 拡 張 が 興 味 深 い.ま ず, 利 得 を平 均 利 得 で は な く,割 引 現 在 価 値 で 測
る こ と で あ る.こ の と き に は,命 題2の 注 で 述 べ た,執 念 深 い 戦 略 に よ る サ ー チ は コ ス ト が か か り す ぎ る の で,const‑Cの よ う に,D の み を と る 相 手 を 処 罰 し な い 戦 略 が 生 き延 び れ る か も し れ な い.こ の よ う な 戦 略 の 全 体 の EES集 合 に 占 め る 割 合 は,割 引 フ ァ ク タ ー に 依 存 す る だ ろ う.次 に,常 に,一 定 割 合 で, あ る 種 の ミ ュ ー タ ン トを が 発 生 し て い る よ う な 状 況 を 定 式 化 す る こ と に よ っ てcomplexity costの 節 約 を 内 生 的 に 説 明 で き る の で は な い か と 思 わ れ る.こ れ ら の 方 向 の 拡 張 を 今 後 の 研 究 課 題 に し た い.
〔参 考 文 献 〕
(1)Abrue,D.,andA.Rubinstein(1988):"The StructureofNashEquilibriuminRepeated
GameswithFiniteAutomata,"Eω%o拠 θ厩oα,
56,1259‑‑1281.
(2)Aumann,R.J.,andS.Sorin(1989):"Coopera一
4)こ の 戦 略 は,い わ ばconst・Cを 探 し 出 す ま で, サ ー チ し続 け る 執 念 深 い 戦 略 で あ る.
