図形の調べ方

第

2 学年４組 数学科学習指導案

指導者 教諭 ○○ ○○ 指導者 教諭 ○○ ○○ １ 単元名 図形の調べ方 ２ 本単元の概要 ⑴ 単元観 本単元の図形の分野において，第一学年では，平面図形や空間図形について観察，操作や実験 を通して，直感的な見方・考え方や，論理的に考察するための基礎を培ってきている。第二学年 では，観察，操作や実験を通して，単に直感的な思考にとどまらず，それらを根拠を明らかにし て筋道立てて説明する，数学的な推論の意義と方法とを学習する。 人類の発展は，科学の発展により進歩してきた。そうした科学の発展の裏には，さまざまなデ ータから帰納的にある規則性の原理を見出し，仮説を立てる帰納法の考え方がある。このことか ら，本単元で，帰納的な推論によって，図形の性質を考えたり，筋道を立てて演繹的に推論する ことは，思考力を高め，図形の性質を見通す直感力を育成する上でも意義深い。 ⑵ 生徒の実態 本学級は，男子14名，女子17名，計31名で構成されている。数学の授業時においては，比較的 簡単な問題であれば発言は多いが，今までの知識を活用するような問題となると，自信がなかっ たり，取り組む前にあきらめてしまったりする生徒もおり発言が少なくなる。授業中の集中力に 欠ける生徒も若干名いる。授業態度は比較的まじめであり，落ち着いた雰囲気の中授業を行って いる。 図形の分野に入るにあたり，図形に関する意識調査を行った。その結果によると，２年４組で 図形の分野に対して苦手意識をもっている生徒は，81.5％を占めた。また，数学的表現で物事を 説明することが苦手だと感じている生徒は63.0％であり，数学的表現により上手に説明できるよ うになりたいと答えた生徒は48.1％であった。４組の１年生の復習問題における正答率は，学年 平均と比べると，すべての問いにおいて，平均を下回っている。 以上のことから，図形の分野に対して苦手意識をもつ生徒への工夫・支援と数学的表現を使う ことの必要性を伝えていくことが課題であると考えた。 ⑶ 本単元の学習活動の工夫 本単元では,数学的な根拠を明らかにすることにより説明することに力を入れたいと考えてい る。そのためには，生徒一人ひとりに，数学的表現を使うことにより，なぜ図形の性質を根拠に して，説明しなければならないのか，その必要性を伝えなくてはならない。そのために，まず本 単元の導入にあたって，ツェルマーの錯視で有名な図を５つ取り上げ，人間の目がいかにあやふ やで不確かなものであるのかを実感させる。その中で，一見，平行には見えない直線がなぜ平行 といえるのか，こいのぼりの中の三角形が同じ大きさであると言えるのはどうしてか，といった ことに疑問を抱かせたい。そうした，図形は線や角によりできていることから，線や角について

学ぶことで，それらの図形が平行である，合同であるなどといったことを説明できるようになる 旨を伝え，数学的な根拠の必要性を感じさせたいと考えている。 また,４月当初の学力分析結果によると，図形の分野で24点満点中，20点以上とった生徒が，31 人中7人であるのに対し，８点以下が11人もおり，中間層が少なく，上位層と下位層とに２極化し ている。そのため，一斉授業では指導が難しいと考え，本単元では習熟度に応じてコースを分け 個に応じた指導の時間を確保できるようにした。また，各コースでは，お互いの意見が交流でき るように３～４人の小グループに分け，根拠を使って説明する機会を設けた。このようにするこ とで，今後，他分野で一斉授業に移行した際にも，お互いに考えを交流したり，教え合ったりす る関係ができることを期待している。 ３ 指導目標および指導計画 ⑴ 指導目標 平行線と角の関係や三角形の合同条件を根拠にして， 数学への関心・意欲・態度 図形の性質を調べたり証明したりすることに関心をも つことができる。 平行線の性質や三角形の角についての性質を基にし 数学的な考え方 て，多角形の角についての性質を調べることができる。 平行線や角の性質を理解し，それに基づいて図形の性 数学的な表現・処理 質を確かめ説明することができる。 平面図形の合同の意味及び三角形の合同条件について 理解することができる。 数量，図形などについての知識・理解 証明することの意義とそのしくみついて理解すること ができる。 ⑵ 指導計画（総時間数１８時間） 第１次 角と平行線・・・・・・・・・・・・・・・・・3時間 第２次 多角形の角・・・・・・・・・・・・・・・・・5時間（本時5/5） 第３次 三角形の合同・・・・・・・・・・・・・・・・3時間 第４次 証明とそのしくみ・・・・・・・・・・・・・・2時間 第５次 合同条件と証明の進め方・・・・・・・・・・・2時間 第６次 まとめ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・3時間 ⑶ 単元の評価規準 評価の観点 評 価 の 規 準 評価の方法 ・図形の性質について直観的にわかることがらを筋道立てて説 行動観察 数学への 明しようとしたり，多角形の内角の和・外角の和を求めようと 学習プリント 関心・意欲・態度 したりする。 自己評価用紙 ・いろいろなことがらが成り立つことを証明しようとしたり， 三角形の合同条件を使って証明を進めていこうとしたりする。 ・図形の性質について，帰納的，類推的，演繹的に考察するこ 学習プリント 数学的な とができる。 発表 見方・考え方 ・すでに正しいことがらや三角形の合同条件を使って，証明す る手順を考えることができる。

・図形の性質を使ってあることがらが成り立つことを説明した 小テスト 数学的な り，角の大きさや，多角形の内角の和・外角の和などを求めた 学習プリント 表現・処理 りすることができる。 ・三角形の合同条件を用いて合同な三角形の組に分けたり，合 同であることを証明したりすることができる。 ・角の位置関係や性質，平行線の性質，平行線になる条件，三 小テスト 数量・図形につ 角形の内角・外角の性質，多角形の内角の和・外角の和につい 学習プリント いての知識・理解 て理解している。 ・合同な図形の性質や三角形の合同条件，証明の進め方を理解 している。

【Ａクラス分】※４については、２パターンあり ４ 本 時 平成２１年１１月５日(木) 第５校時 場所：２年ＴＴ教室【】 ⑴ 本時の指導観 生徒はこれまでに対頂角の性質，平行線と同位角・錯角，三角形の内角と外角について学習してい る。これらの学習を通して，経験的・直観的に知っていることがらや図形の性質を，既知の知識を活 用したり，学んだことを根拠にしたりして論理的に考察し説明する活動を行っている。 本時はこれまでに学んだことがらを根拠として角の大きさについての問題を解決させる。その際， これまでのように自らの考えを表現させるに留まらず，他者の図や表などに書かれた考えを見せ，様 々な解決方法を思考させる。用意した考えシートを活用させ，理解できる解法に記名させていく。 また，表現力を高めるため，３名のグループで解法だけでなく説明し合う活動を取り入れる。その 際，図を書き入れて説明がしやすいように考えシートや学習プリントを準備しておく。発表を通して， 論理的に考察し説明する力を伸ばすとともに，他者の考察の仕方や解決の仕方を学ばせ，成果や課題 を共有させていく。 ⑵ 本時の主眼 ・お互いに説明し合う場を設け，これまでに学習した角の大きさの求め方を，図形の性質を根拠にし て説明することができる。 ・友達の考えを考察し，どのような解き方で考えているのかを見つけ，自らの表現で説明することが できる。 ⑶ 準 備 【教師】 学習プリント，カード（図形の性質），サインペン，自己評価用紙,考えシート 【生徒】 教科書，ノート，ファイル，考えシート ⑷ 展 開 学 習 活 動 ・ 内 容 指 導 上 の 留 意 点 形 態 配 時 １ 前 時 ま で の 学 習 を 想 起 し ， 本 時 の め あ ・「 平 行 線 の 性 質 」 や 「 外 角 の 性 一 斉 ２ て を 確 認 を す る 。 質 」 を ， 模 造 紙 で 黒 板 に 示 す と と も に ， 生 徒 個 々 に 学 習 プ リ ン 図 形 の 性 質 を 使 っ て 角 の 大 き さ を 求 ト で 配 布 す る こ と で ， 角 度 を 求 め ，友 達 の 考 え た 求 め 方 を 説 明 し よ う 。 め る 問 題 を 解 く 根 拠 と な る 事 柄 を 再 確 認 さ せ る 。 導 ２ 角 の 大 き さ を 求 め る 際 に 用 い る 根 拠 ・ 生 徒 が 図 形 の 性 質 を 確 認 し や す 一 斉 ３ 入 と な る 図 形 の 性 質 を 確 認 す る 。 い よ う ， 基 本 的 な 問 題 を 取 り 上 【 平 行 線 の 性 質 】 【 基 礎 ・ 基 本 の 確 認 】 げ ， 図 形 の 性 質 を 使 っ た 説 明 の ２ つ の 直 線 に １ つ の 直 線 が 交 わ る と き ， 流 れ を 下 記 の よ う に 例 示 す る 。

ａ ｂ ｃ ① ２ つ の 直 線 が 平 行 な ら ば ， 同 位 角 は 等 し い 。 ② ２ つ の 直 線 が 平 行 な ら ば ， 錯 角 は 等 し い 。 が 成 り 立 つ 。 【 外 角 の 性 質 】 平 行 線 の 性 質 よ り ， 錯 覚 が 三 角 形 の １ つ の 外 角 は ， そ の と な り に 等 し い の で ， ∠ χ ＝ ４ ５ ° 導 な い ２ つ の 内 角 の 和 に 等 し い 。 で あ る 。 入 ・ 角 度 を 求 め る だ け で は な く ， ど う 求 め た か を 必 ず 図 形 の 性 質 を 根 拠 に 説 明 さ せ る こ と で ， 生 徒 個 々 の 思 考 の 過 程 を 明 ら か に さ せ る 。 ３ 角 の 大 き さ の 求 め 方 を 説 明 し 合 う 。 ・ 生 徒 が 多 様 な 考 え 方 が あ る と い う こ と に 気 づ く よ う ， 前 時 で 生 ⑴ 前 時 に 自 分 が 求 め た 方 法 以 外 の ∠ χ 徒 か ら 出 さ れ た ∠ χ の 大 き さ の 個 10 の 大 き さ の 求 め 方 を 考 え る 。【 活 用 ① 】 求 め 方 を ，考 え シ ー ト に 分 類 し ， ↓ 【 課 題 】 教 室 後 部 の 机 に 置 い て お く 。 小集団 ８ ∠ χ は 何 度 で す か ？ ・ 様 々 な 補 助 線 の 引 き 方 や 図 の 印 展 を 示 す こ と で ， 友 達 の 考 え た 求 め 方 の 根 拠 を 考 え や す く す る 。 【 予 想 さ れ る 解 答 例 】 ・ 新 た な 角 の 大 き さ の 求 め 方 を 考 え た 生 徒 に は ， さ ら に 別 の 求 め 方 と そ の 根 拠 を 考 え る よ う 助 言 す る こ と で ， 角 の 大 き さ を 問 う 問 題 に は 多 様 な 求 め 方 が あ る こ と に 気 付 か せ ， 生 徒 の 意 欲 を 喚 開 起 す る 。 ・ 新 た な 角 の 大 き さ の 求 め 方 に 気 づ く こ と が 困 難 な 生 徒 に は ， 机 間 指 導 で ， 考 え 易 い 補 助 線 の 引 き 方 を 助 言 す る 。 ｱ=90 － □ ・ 生 徒 が 自 ら が 考 え た 求 め 方 が 正 ｲ=180 － ○ し い か ど う か 確 認 で き る よ う ， ｳ= 90 － △ 教 室 後 部 に 置 い て あ る 考 え シ ー ｴ=360 － {ｱ+ｲ+ｳ} ト を 自 由 に 見 る よ う 助 言 す る 。 χ ４５°

・ 同 じ 求 め 方 の 考 え シ ー ト に ， 記 ★ ☆ ＝180 －(○ △ □ ) 名 さ せ る こ と で ， 生 徒 相 互 の 交 流 の 場 （ 確 認 の 場 ） と す る 。 ⑵ 個 で 考 え た 角 の 大 き さ の 求 め 方 と ・ 個 で 考 え る こ と が 困 難 な 生 徒 が 一 斉 15 そ の 根 拠 を 小 集 団 で 交 流 し ， 自 分 の 求 い る こ と も 予 想 さ れ る こ と か ら ， め 方 と は 異 な る 考 え が ， 何 を 根 拠 と し 多 様 な 求 め 方 と そ の 根 拠 に 気 づ て い る の か に つ い て 考 え ， 発 表 す る 。 か せ る た め に ， 小 集 団 で の 交 流 【 活 用 ② 】 と 全 体 で の 発 表 の 機 会 を 設 け る 。 《 発 表 例 》 ・ 考 え シ ー ト の 記 名 が 少 な い 生 徒 か ら 発 表 さ せ る こ と で ， よ り 多 く の 生 徒 が 発 表 す る 機 会 を も て る よ う に す る 。 展 「 Ａ Ｂ に 平 行 な 補 助 線 を 引 き ま す 。」 ・ 他 者 に 分 か り や す い 発 表 と す る た め に ， 図 を な ぞ っ た り ， 差 し 示 し な が ら 説 明 す る よ う に 助 言 す る 。 ま た ， 図 に 色 マ ジ ッ ク を 使 っ た り ， 様 々 な 簡 易 図 形 を 使 「 三 角 形 の 一 つ つ の 外 角 は そ の と な り 用 し た り し て ， 分 か り 易 い 表 現 に な い ２ つ の 内 角 の 和 に 等 し い の で ， と な る よ う 指 示 す る 。 こ こ は ○ △ に な り ま す 。」 ・ 他 者 の 説 明 に 対 し て ， 分 か ら な い こ と は 質 問 で き る こ と を 知 ら せ て お く こ と で ， 生 徒 の 集 中 と 「 平 行 線 で は 錯 角 は 等 し い の で □ は 同 じ 思 考 の 深 ま り を 図 る 。 大 き さ に な り ま す 。」 ・ 発 表 者 に 対 し て 良 か っ た 点 を 述 開 べ る 共 感 の 場 を 設 定 す る こ と で ， 生 徒 に 成 就 感 を も た せ る よ う に 「 よ っ て χ の 大 き さ は ○ ＋ △ ＋ □ で す 。」 す る 。 ４ 本 時 ま で の 学 習 内 容 を 活 用 す る 練 習 問 ・ 練 習 問 題 に 取 り 組 ま せ る こ と で ， 題 を 解 く 。 こ れ ま で の 学 習 内 容 の 定 着 を 図 る 。 ・ 学 習 形 態 は 個 ， 小 集 団 の い ず れ 個

か と し 生 徒 に 自 由 選 択 さ せ る こ 又 は ７ 星 形 三 角 形 で ， ア ～ オ の ５ つ の 内 角 の と で ， 学 習 内 容 の 理 解 の 深 化 を 小集団 和 は 180 ° で あ る こ と を 説 明 し よ う 。 図 る 。 ・ 時 間 内 に 解 け な い 場 合 は ， 宿 題 と し ， 発 表 は 次 時 に 行 う こ と を 伝 え る こ と で ， 生 徒 が 問 題 を じ っ く り 考 え る 時 間 を 確 保 す る 。 展 開 ま ５ 本 時 の 振 り 返 り を す る 。 ・ 本 時 の 学 習 活 動 に つ い て の 教 師 個 ５ と ・ 自 己 評 価 の 評 価 を 伝 え ， 次 時 以 降 の 学 習 め ・ 教 師 か ら の 評 価 意 欲 の 向 上 に つ な げ る 。

【Ｂクラス分】※４については、２パターンあり ４ 本 時 平成２１年１１月５日(木) 第５校時 場所：２年４組教室 ⑴ 本時の指導観 生徒はこれまでに対頂角の性質，平行線と同位角・錯角，三角形の内角と外角について学習してい る。また,図形の問題を解いたり,図形の性質を伝えたりする際には,なぜそうなるのか根拠を問うこ とで,根拠を探そうとする意識を高めてきた。 本時ではまず，図形の性質を図形カードを利用して確認し，根拠となることがらを整理する。その 際，基本的な問題を例に挙げ，根拠の活用の仕方を確認する。 次に，課題を提示し，図形の性質が問題でどのように使えるのかについて個で考えさせる。考えが 出たら小集団でお互いの考えを交流する場を設け，自分の考えを自分の言葉で友達に説明させる。こ のような小集団での交流の場を設けることで，個々の考えの確認や新たな考えの発見につなげる。そ の際，個々で気づいた解法は考えシートに記名させておく。記名の数や解法を，全体の場で説明する 生徒を選ぶ際の参考としていく。また,解法の数の少ない生徒から極力発表させるようにし,一人でも 多くの生徒が発言する機会を確保したい。 そして，練習問題を提示し，平行線の性質の解法を活用していく場を設定する。その際，学習形態 は個，小集団のいずれかとし生徒に自由選択させることで，学習内容の理解の深化を図る。また，図 形を見ているだけで先に進まないようであれば,前問の解法を振り返らせ,補助線の効果的な引き方を 考えさせるための手立てとしていく。 ⑵ 本時の主眼 ・角の大きさの求め方を，図形の性質を根拠にして説明することができる。 ⑶ 準 備 【教師】 学習プリント，カード（図形の性質），サインペン,自己評価用紙,考えシート 【生徒】 教科書，ノート，ファイル，図形カード，考えシート ⑷ 展 開 学 習 活 動 ・ 内 容 指 導 上 の 留 意 点 形 態 配 時 １ 前 時 ま で の 学 習 を 想 起 し ， 本 時 の め あ ・「 平 行 線 の 性 質 」 や 「 外 角 の 性 一 斉 ２ て を 確 認 す る 。 質 」 を ， 図 形 カ ー ド で 黒 板 に 示 す こ と に よ り ， 角 度 を 求 め る 問 角 の 大 き さ の 求 め 方 を ， 図 形 の 性 質 を 題 を 解 く 際 の 根 拠 と な る こ と が 使 っ て 説 明 し て み よ う 。 ら を 再 確 認 さ せ る 。 導 入 ２ 角 の 大 き さ を 求 め る 際 に 用 い る 根 拠 ・ 図 形 の 性 質 を 使 っ た 説 明 の 流 れ 一 斉 ３ と な る 図 形 の 性 質 を 確 認 す る 。 を 確 認 す る た め ， 基 本 的 な 問 題 【 基 礎 ・ 基 本 の 確 認 】 を 取 り 上 げ ， 図 形 カ ー ド を 用 い て 説 明 の 流 れ を 下 記 の よ う に 確

認 す る 。 【 平 行 線 の 性 質 】 ２ つ の 直 線 に １ つ の 直 線 が 交 わ る と き ， ① ２ つ の 直 線 が 平 行 な ら ば ， 同 位 角 は 等 し い 。 導 ② ２ つ の 直 線 が 平 行 な ら ば ， 錯 角 は 入 等 し い 。 が 成 り 立 つ 。 平 行 線 の 性 質 よ り ， 同 位 角 が 等 し い の で ， ∠ χ ＝ 45° 【 外 角 の 性 質 】 で あ る 。 三 角 形 の １ つ の 外 角 は ， そ の と な り に な い ２ つ の 内 角 の 和 に 等 し い 。 ・ 角 度 を 求 め る だ け で は な く ， ど う 求 め た か を 必 ず 図 形 の 性 質 を 根 拠 に 説 明 さ せ る こ と で ， 生 徒 個 々 の 思 考 の 過 程 を 明 ら か に さ せ る 。 ３ 角 の 大 き さ の 求 め 方 に つ い て 考 え る 。 【 活 用 ① 】 （ １ ） ∠ χ の 求 め 方 に つ い て 考 え る 。 ・ 前 時 で 学 級 で で た さ ま ざ ま な 解 個 ８ 【 課 題 】 法 を 紹 介 す る こ と で ， 課 題 を 解 く こ と へ の 関 心 を 高 め る 。 ・ 図 形 の 学 習 が 苦 手 な 生 徒 が 角 の 展 大 き さ を 求 め る 際 の 参 考 資 料 と し て ， 図 形 カ ー ド を 準 備 す る こ と で ， 新 た な 解 法 の 気 づ き に つ な げ る 。 （ ２ ）解 法 に つ い て ，小 集 団 で 話 し 合 う 。 ・ 解 き 終 え た 生 徒 に つ い て は ， 図 小集団 １ ０ 【 予 想 さ れ る 解 答 例 】 形 カ ー ド を 使 っ て 別 の 解 法 は な ① 同 位 角 と 対 頂 角 を 使 っ て 解 く 方 法 い か 考 え る よ う に 指 導 す る こ と で ， 多 様 な 解 法 で 問 題 を 解 く こ 開 と へ の 意 欲 を 高 め る 。 ・ 角 の 求 め 方 に つ い て 考 え る 際 に ， 個 で 考 え さ せ た 後 ， 小 集 団 で の 交 流 の 場 を 設 け る こ と で ， 個 々 の 考 え の 確 認 や 新 た な 考 え の 発 見 に つ な げ る 。

② 錯 角 を 使 っ て 解 く 方 法 ・ 問 題 を 解 く 際 に 生 徒 が 使 っ た 解 法 に つ い て は ， 机 上 の 考 え シ ー ト に 記 名 さ せ る こ と で ， 発 表 す る 際 に 指 名 す る 生 徒 を 選 ぶ 手 段 と す る 。 ③ 錯 角 と 外 角 の 性 質 を 用 い て 解 く 方 法 展 （ Ⅰ ） （ Ⅱ ） （ ３ ） 全 体 の 場 で 考 え つ い た 解 法 を 交 流 ・ 考 え シ ー ト の 記 入 が 少 な い 生 徒 一 斉 １ ２ す る 。 か ら 発 表 さ せ る こ と で ， よ り 多 く の 生 徒 が 発 表 す る 機 会 を も て る よ う に す る 。 ・ 他 者 の 発 表 を 聞 く 際 に は ， 理 解 開 で き た も の に つ い て は 拍 手 さ せ る こ と で ，支 持 的 風 土 を つ く る 。 ４ 練 習 問 題 の ∠ χ の 求 め 方 に つ い て 考 え ・ 練 習 問 題 に 取 り 組 ま せ る こ と で ， 個 １ ０ る 。【 活 用 ② 】 こ れ ま で の 学 習 内 容 の 定 着 を 図 又 は 【 練 習 問 題 】 る 。 小集団 下 の 図 で ∠ χ の 大 き さ を 求 め な さ い 。 ・ 学 習 形 態 は 個 ， 小 集 団 の い ず れ か と し 生 徒 に 自 由 選 択 さ せ る こ と で ， 学 習 内 容 の 理 解 の 深 化 を 図 る 。

（ 平 行 線 の 性 質 を 使 っ た 解 答 例 ） ・ 解 法 の 糸 口 が 見 つ か ら な い よ う で あ れ ば ， 前 問 の 解 法 を 使 っ て 解 く こ と が で き な い か 声 か け を 行 う 。 展 開 ・ １ つ の 解 答 が で き た 生 徒 や 小 集 団 に つ い て は ， 図 形 カ ー ド を 使 っ て ， 他 の 解 法 に つ い て も 考 え （ 外 角 の 性 質 を 使 っ た 解 答 例 ） さ せ る こ と で ， 意 欲 化 を 図 る 。 ・ 本 時 で 生 徒 か ら 出 た 解 法 に つ い て は 次 時 で 取 り 上 げ る よ う に 伝 え る こ と で ， 次 時 の 学 習 に つ な げ る 。 ま ５ 本 時 の 振 り 返 り を 行 う 。 ・ 本 時 の 学 習 の め あ て を 振 り 返 り ， 個 ５ と ・ 自 己 評 価 自 己 評 価 用 紙 の 記 入 を 行 わ せ ， め ・ 教 師 か ら の 評 価 個 人 の 課 題 を 把 握 さ せ る 。