4-1. 固有値と固有ベクトル

１２月１３日講義参考資料

注意：

• このノートはホームページ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ shimizu/LectLB2017.html

（google検索：「清水達郎」＋「RIMS」＋「線形代数」）から ダウンロードできます．ただし講義の内容と一致するとは限 りません．

• 左に太線を引いてあるところは必ずしも理解する必要はあり ません．

定義3.30. V =W1⊕ · · · ⊕Wkを直和分解とする．任意のi̸=jと 任意のwi∈Wi, wj ∈Wjについて

(wi, wj) = 0

を満たすとき，V =W₁⊕ · · · ⊕W_kを直交直和分解という．

V =W₁⊕ · · · ⊕W_k を直交直和分解とする．各iについてW_iの 正規直交基底をひとつとりBi={wⁱ₁, . . . , w_kⁱ

i}^とする．

補題3.31. B:=B1∪ · · · ∪BkはV の正規直交基底である．

Proof. 明らかに(wⁱ_a, w_b^j) =δabδij*1である．

線形部分空間W ⊂ V の正規直交基底u1, . . . , uk をひとつとり，

それを延長して(必要なら直交化して)V の正規直交基底u1, . . . , un

を得る．

補題3.32. W^⊥=⟨u_k+1,· · ·, u_n⟩.

Proof. W^⊥⊂ ⟨u_k+1,· · ·, u_n⟩. V の任意の元vはv=a₁u₁+· · ·+ a_nu_nのように書ける．v ∈W^⊥とすると，任意のi= 1, . . . , kにつ いて(v, ui) =ai= 0であるのでv∈ ⟨uk+1,· · ·, un⟩.

W^⊥⊃ ⟨uk+1,· · · , un⟩. 任 意 の ak+1uk+1 + · · · + anun ∈

⟨uk+1,· · · , un⟩ に 対 し ，任 意 の a1u1 + · · · + akuk に 対 し て (ak+1uk+1 + · · · + anun, a1u1 + · · · + akuk) = 0 な の で ， ak+1uk+1+· · ·+anun∈W^⊥.

補題3.33. V =W⊕W^⊥.

Proof. 補題3.32の表示を用いて，W∩W^⊥ ={0}, W+W^⊥ =V を確かめればよい．

命題3.34. (W^⊥)^⊥=W.

*1a=bかつi=jの時に限り1，それ以外は0ということ．すなわち正規直交．

Proof. 補題3.32より明らか．

引き続きW ⊂V を線形部分空間とする．直和分解V =W⊕W^⊥ において，v∈V はw∈W とw^′ ∈W^⊥を用いてv =w+w^′と書 けるとする．写像

p_W :V →W, p(v) =w をW 方向への正射影という．

W の正規直交基底u₁, . . . , u_kをひとつとると，p_W を具体的に表 示できる:

補題3.35. p_W(x) =∑k

i=1(x, u_i)u_i. 証明の方針. ∑

i(x, ui)ui ∈ W は明らかであるので，あとは x−

∑

i(x, ui)ui ∈W^⊥を示せばよい．すなわち任意のy ∈W について (x−∑

i(x, ui)ui) = 0を示す．そのためにはすべてのyについて示 さなくても各ujたちについて(x−∑

i(x, ui)ui, uj) = 0を見れば十 分であった．(x−∑

i(x, ui)ui, uj) = 0は明らかであろう．

補題3.36. 正射影は線形写像である．

Proof. 上の補題から明らか．

3-6. 直交行列，ユニタリー行列

直交行列

Rⁿ を標準内積をもった数ベクトル空間とする．実正方行列A ∈ Mn(R)から定まる線形写像

f_A:Rⁿ →Rⁿ, x7→Ax

が内積を保つとは，任意のx, y ∈R^{nに対して} (Ax, Ay) = (x, y)

を満たすことをいう．

定義 3.37. f_A : Rⁿ → R^{n が内積を保つような}A ∈ M_n(R)を 直交行列という．

定義3.38. A= (a_ij)_i,j∈M_n(R)に対し，A^T := (a_ji)_i.j∈M_n(R) をAの転置行列という．

補題3.39. (1) (A^T)^T =A, (2) detA^T = detA,

(3) trA^T = trA.

命題3.40. A∈Mn(R)が直交行列であることとA^TA=AA^T =In

であることとは同値である．

Proof. (fA(x), fA(y)) = (x, y) for anyx, y∈Rⁿ

⇔(Ax, Ay) = (x, y) for anyx, y ∈Rⁿ

⇔x^TA^TAy=x^Ty for anyx, y∈Rⁿ

⇔A^TA=In.

系3.41. Aが直交行列なら|detA|= 1である． 

ユニタリー行列

Cⁿを標準エルミート内積をもった数ベクトル空間とする．複素正 方行列A∈M_n(C)から定まる線形写像

fA:Cⁿ →Cⁿ, x7→Ax が内積を保つとは，任意のx, y ∈C^{nに対して}

(Ax, Ay) = (x, y)

を満たすことをいう．

定義 3.42. fA : Cⁿ → C^{n が内積を保つような}A ∈ Mn(C)を ユニタリー行列という．

定義 3.43. A= (a_ij)_i,j ∈M_n(C)に対し，A^∗ :=A^T = (a_ji)_i.j ∈ M_n(C)をAの随伴行列という．

補題3.44. (1) (A^∗)^∗=A, (2) detA^∗= detA, (3) trA^T = trA.

命題 3.45. A ∈ Mn(R)がユニタリー行列であることとA^∗A = AA^∗=Inであることとは同値である．

Proof. (fA(x), fA(y)) = (x, y) for anyx, y∈Cⁿ

⇔(Ax, Ay) = (x, y) for anyx, y ∈Cⁿ

⇔x^TA^TAy=x^Ty for anyx, y∈Cⁿ

⇔A^TA=I_n

⇔A^TA=I_n

⇔A^∗A=I_n.

系3.46. Aがユニタリー行列なら|detA|= 1である． 

Proof. 1 = det(A^∗A) = detA^∗detA = detAdetA = |detA|².

4 固有値と固有ベクトル，行列の対角化

4-1. 固有値と固有ベクトル

A∈Mn(C) =Mn,n(C)をn次正方行列とする．複素数λ∈C^と ０でないベクトルxλ∈C^nが

Ax_λ=λx_λ

を 満 た す と き ，λ をA の固有値，xλ を A の 固 有 値 λに 属 す る 固有ベクトルという．λxλ = λInxλ ともかけるので，上の式は次 のように言い換えることもできる：

(A−λIn)xλ= 0

補題 4.1. λ ∈ C^に対し，∃x_λ ∈ Cⁿ s.t. (A−λI)x_λ = 0 ⇔ det(A−λI) = 0.

定義4.2. det(λI−A)をλの多項式と見たものを，Aの固有多項式 という．

固有多項式の定義からわかるように，固有多項式の解が固有値で ある．したがってn次正方行列の固有値は最大でn個である．

補題4.3. A∈Mn(C)の固有多項式の根^*2をλ1, . . . , λnとするとき，

λ1+· · ·+λn= trA, λ1· · ·λn= detA.

証明は固有多項式を因数分解すればわかる(いわゆる 解と係数の 関係 )：

|λI_n−A|= (λ−λ₁)· · ·(λ−λ_n).

例. [問] (解説) A=

( a b c d

)

∈M₂(C)の固有多項式は

|λI₂−A|=λ²−(a+d)λ+ (ad−bc)

である．よって固有値は λ_+±= ((a+d)±√

(a+d)²−4(ad−bc))/2∈C の2つ（判別式が0のときは1つ）である．たとえ行列の成 分はすべて実数であっても，固有値は実数とは限らない．固有 値λ_±に属する固有ベクトルを求めるには，連立方程式

(A−λ_±I2)xλ_± = 0

を解けばよい．一般に，固有値λに属する固有ベクトルをすべ て集めると線形部分空間になっていて，それをλの固有空間 という．定義4.4参照．

*2すべて固有値だが，重複もある．

(1) A= (

1 1 0 2

)

∈M2(C)の固有多項式と固有値，さらに各固 有値の固有空間を求めよ．

(2) A= (

1 1 0 0

)

∈M2(C)の固有多項式と固有値，さらに各固 有値の固有空間を求めよ．

(3) A= (

2 −1

−4 2 )

∈M2(C)の固有多項式と固有値，さらに 各固有値の固有空間を求めよ．

(4) A=







1 1 0 0 2 0 0 0 i





∈M3(C)の固有多項式と固有値，さらに 各固有値の固有空間を求めよ．

定義4.4. A∈M_n(C)の固有値λについて，

Wλ={xλ∈Cⁿ|(A−λIn)xλ= 0} ⊂Cⁿ をλの固有空間という．

補題4.5. 固有空間は線形部分空間である．

Proof. 一つの証明方法は，A−λInを左から掛けるという写像が線

形写像であることを用いるもの．その線形写像の核(ker)がλの固 有空間である．他の証明として加法・スカラー倍について閉じている ことを確かめてもよい．

命題 4.6. A ∈ M_n,n(C)が相異なる固有値λ₁, . . . , λ_nを持つとす る．各λ_iに属する固有ベクトルx_i ∈Cⁿ をひとつづずつ任意にと る．このときx₁, . . . , x_nはC^{nの基底である}

Proof. 線形独立であることを示せばよい^*3．a1x1+· · ·+anxn = 0 を0を表す線形結合とする．iをひとつ固定する．

0 = (A−λ₁I_n)· · ·(A−λ_i−1I_n)(A−λ_i+1I_n)· · ·(A−λ_nI_n)(a₁x₁+· · ·+a_nx_n)

= (A−λ1In)· · ·(A−λi−1In)(A−λi+1In)· · ·(A−λn−1In−1)((λ1−λn)a1x1+· · ·+ (λn−1−λn)an−1xn−1)

= (A−λ₁I_n)· · ·(A−λ_i−1I_n)(A−λ_i+1I_n)· · ·(A−λ_n−2I_n−2)

((λ1−λn−1)(λ1−λn)a1x1+· · ·+ (λn−2−λn−1)(λn−2−λn)an−2xn−2)

=· · ·=

= (λ_i−λ₁)· · ·(λ_i−λ_i−1)(λ_i−λ_i+1)· · ·(λ_i−λ_n)a_ix_i.

λ₁, . . . , λ_n はすべて相異なるのだったから，a_i = 0．同様にして a1 = · · · = an = 0がわかるので，x1,· · · , xn は線形独立であ る．

ひきつづきA∈ Mn,n(C)が相異なる固有値λ1, . . . , λn を持つと する．各λiに属する固有ベクトルxi∈Cⁿをひとつづずつ任意にと る．このときX :={x1, . . . , xn}^はCⁿ の基底なのであった．線形 写像

fA:Cⁿ→Cⁿ, v7→Av

の基底Xに関する表現行列をAXとする．表現行列の定義から，

(f(x₁), . . . , f(x_n)) = (x₁, . . . , x_n)A_X.

各xiが固有ベクトルであることから，

(f(x1), . . . , f(xn)) = (Ax1, . . . , Axn)

= (λ₁x₁, . . . , λ_nx_n)

= (x1, . . . , xn)



 λ1

. .. λn



.

よって

命題4.7. A∈Mn(C)が相異なるn個の固有値持つとき，異なる固 有値に属する固有ベクトルをならべた基底によるfAの表現行列は対 角行列である．

予習：参考書 ８．１節 ( ^対角化 ) ^．

*3Cⁿの線形独立なn個の元は生成系になり，したがって基底となるのだった．