連成を考慮した吊橋の基礎方程式について （第1報，静的微小変形問題）

連成を考慮した吊橋の基礎方程式について

（第1報，静的微小変形問題）

高橋 和 雄＊ ・ 中沖 耕 造＊＊＊・

田代 幸 英＊＊＊＊＊

古道 正 男＊＊

室井 智 文＊＊＊＊

   On Fundamental Equations of a Stiffened Suspension Bridge

      Considering Coupled Deformatlons       （Part I Static Small Deflection Problem）

      by

       Kazuo TAKAHASHI       （Civil Engineering）

       Masao FURUMICHI

         （Japan Highway Public Cooperation， Kawasahi， Kanagawa）

      Kozo NAKAOKI

     （Kobe Steel Ltd．， Structural Engineering Laboratory， Amagasaki， Hyogo）

       Tomofumi MUROI

      （Japan Hlghway Public Cooperation， Tuyama， Okayama）

       Yukihide TASHIRO

（Department of Civil Engineering， Faculty of Englneering， Kyushu University， Fukuoka）

 Aset of fundamental equations of a stiffened suspension bridge is derived with the aid of the variational principle within static small deflection theory． Because of complexlty in structural conjunct隻ons and mutual reactions of individual members， i． e．， stiffened girder，

cables and hangers， the fundamental equations are the coupled nonlinear form of expressions，

which is caused from the horizontal component Hp of the cable tension produced by live

豆oad．

 As numerical examples， the results are applied to the analysis of a suspension bridge subjected to the static wind forces． Convergence of the present solution， comparison with the previous solution， the effect of the horizontal cable tension Hp and the effect of angles of attack are reported．

1．緒   言

 従来の吊橋の変形や応力解析にあたっては，補剛桁 の変形や鉛直，水平および涙れの各変形がそれぞれ独 立に生ずるものとする解析手法が行なわれてきた1）．

  ＊土木工学科

  ＊＊日本道路公団，神奈川県川崎市  ＊＊＊神戸製鋼所構造研究所，兵庫県尼崎市

＊＊＊＊日本道路公団，岡山県津山市

＊＊＊＊＊九州大学工学・部土木工学科，福岡県福岡市箱崎町

しかしながら，吊橋のケーブルは空間曲線をなすこと，

ケーブルの左右の変位差，補剛桁自身が最初からキャ ンパーによる曲率をもつことおよび風のように水平，

鉛直および回転の各成分を有する外力が作用する場合

などのために各変形が独立に生ずることは不可能であ る．また，吊橋の補剛桁は一般に長大スパンでかつト ラスやボックスなどの中空簿肉断面で構成され，かつ ケーブルが変形しやすい構造物であることを考慮する と，その応力解析にあたっては有限変形理論の適用や，

断面剛の仮定などの検討が必要である．この種の問題 に関して最近本州四国連絡橋上部構造委員会の活動を はじめとしていくつかの研究が見受けられる2）一4）．

 吊橋は補剛桁，ケーブルおよびハンガーからなる複 合構造物からなるために，連成を考慮した吊橋の基礎 方程式を幾何学的考察により力の釣合式を誘導する手 法ではキャンパーによる初期曲率や有限変形，断面変 形を考慮する場合には困難が伴なう．そこで本研究は 変分原理を用いて最小ポテンシャルエネルギーの原理 による吊橋の基礎方程式の誘導を試みたものである．

周知のように本法の特徴は材料力学の基本的仮定のみ を用いて，後は数学的演算のみで基礎方程式を誘導す ることができるために複雑な構造系への適用が容易で ある．本論文ではその第1報として一丁を考慮した吊 橋の基礎方程式を静的微小変形の範囲で，挽度理論と 同程度の精度で工学的な形で誘導した結果を報告した ものである．計算例として従来全く取り扱いの考慮さ れていない抗力，揚力および空力モーメントの3分力 を考慮した風荷重を受ける吊橋の変形と断面力5）につ いて検討したものである．

2．一般図および記号

 解析の対象とした吊橋の一般図および断面図はFig・

1および2に示すとおりである．また，本論文で用い られる記号は次のとおりである．

hl      f1

ht Xc  f

@ h（z） f1

γ0

x＊@ f＊

γ12

 ＊・P Z

11 1 11

side span       main span side span 12

Fig．1 Geometry of a symmetrical three−span suspension bridge with simply supported stiffened     girder

1：補剛桁中央径間長（m）∫：ケーブルサグ（m）

毎：タワーハンガー点でのハンガー長さ（m）

所：側径間の陸側橋台より塔頂までの高さ（m）

∫＊：キャンバーサグ（m），4：補剛桁の高さ（m）

6：主ケーブル間隔（m），α：補剛桁の重心と上弦材  中心（またはハンガー取付点）の距離（m）

θ＝補剛桁のせん断中心と重心との距離（m）

κ・（9）：吊橋完成時のケーブル形状（m）

κ＊（9）：吊橋完成時の補剛桁キャンパー（m）

戻9）：ハンガー長（m）

LE：ケーブルの形状長さ（全径間の合計長）（m）

LT：ケーブルの温度応力長さ（全径間の合計長）（m）

ん：補剛桁の鉛直方向断面2次モーメント  （m4／Bridge）

疏：補剛桁の水平方向断面2次モーメント  （m4／Bridge）

ノ1補剛桁のSt． Venantの涙れ剛性（m4／Bridge）

㌔：補剛桁の曲げ涙れ剛性（m6／Bridge），右y＝E瓦θ 砿：吊橋の死荷重によるケーブルの水平張力

 （t／cable）

耳かバ吊橋の活荷重によるケーブル∫の水平張力

 （t／cable）

b

▽2（z） ▽1（z）

u2（z）

2 百1（z）

@ 1@ 7P・（・）

@    θ1 1

h（、）

17P（・）

@ θ2

a C

e

y  d    C／

o・（・rG・

GW．L u（z）

ψ（z）  mt（z）

vt＋P．（z）

V（z）

      X

Fig．2 Coordinate system sand external forces     of the cross section

 ㍑：補剛桁の単位長さあたりの死荷重（t／m）

 zσ・：ケーブルの単位長さあたりの死荷重（t／m）

ρ〃（9）：補剛桁に作用する鉛直方向活荷重（t／m）

助（9）：補剛桁に作用する水平方向活荷重（t／m）

ρ6（9）：ケーブルに作用する水平方向活荷重（t／m）

 耀（9）：補剛桁の図心に作用する涙れモーメント   （tm／m）

 灰9）：補剛桁の図心の鉛直変位（m）

 吻（9）：ケーブルゴの鉛直変位（m）

 り（9）：補剛桁の図心の水平変位（m）

 窃（9）：ケーブル の水平変位（m）

 砺（9）：ハンガーゴの傾き（rad）

 ．E：鋼の弾性係数（t／m2）

 Eo：ケーブルの弾性係数（t／m2）

 G＝鋼のせん断弾性係数（t／m2），△T：温度変化（。C）

 α：鋼の線膨張係数（1／OC）

 D （9）：補剛桁に作用する風荷重の抗力成分   （t／m／Bridge）

 D6（9）：ケーブルに作用する風荷重の抗力成分   （t／m／cable）

 玩（9）：補剛桁に作用する風荷重の揚力成分   （t／m／Bridge）

 一Mオ（9）：補剛桁に作用する風荷重の空力モーメン   ト成分（tm／m／Bridge） 7（9）：風速（m／sec）

 α（9）：風の迎え角（甲d）。．ρふ風の密度（t・sec2／m4）

 CD：補剛桁の抗力係数 〇五：補剛桁の揚力係数  CM：補剛桁の空力モーメント係数

 ・4P：補剛桁の有効鉛直投射面積（m2）

 四五：補剛桁の水平投射面積（m2）

以上は中央径間についての記号であり，側径間につい ては上記記号にsuffix 1を付けることにする．

（9）ケーブルおよび補剛桁の変形は微小で，Hooke  の法則が成立する．

㈹ 補剛桁の軸方向変位を無視する．

（11）ケーブルの傾斜角は載荷後も一定で，かつケーブ  ルの定着点では不動廼ある．

4．ひずみの定義

（1）補剛桁 Fig・2に示すように断面の図心を原点 に取り，κ，y軸を断面内に，9軸を断面に直角方向 に定める．断面剛の仮定によって，はり内の任意点の 変位関数が次のように定義される6）．

 σ（κ，y，9）一π（9）一yψ（9），7（κ， y，9）

 ＝⑳（9）＋即（9）

 研（κ，：y，9）一一κ麗 （9）一yガ（9）＋〆ωη（κ，y）（1＞

 ここに，απ研：はり内の任意点κ，y，9の変位，

 ω％：規準化されたSt． Venantのゆがみ関数 線形のひずみ一変位関係式を用いて，補剛桁のひずみ は次のように与えられる．

 εκ＝εy＝γκツ＝0，ε・＝一κ麗 一yガ＋9 ωη

脚・寤黶E顔一ψ・（∂ω％∂：y十κ）（2）

（2）ケーブルのひずみFig・1に示すように変形の原 点は吊橋の完成時の静止状態とし，仮定（2）および（5）よ

りケーブルの初期たわみは次のように表わされる．

 κo＝4…ブ9（1−9）／12       ，   （3＞

0

yc

5．吊橋の解析にあたっての基本的仮定

（1）ケーブルは完全に可挽である，

（2）ケーブル，補剛桁の単位長さあたりの死荷重およ  び断面性能は各径間ごとに一定である．

（3）補剛桁の断面は左右対称である．

（4）塔の伸縮および曲げは生じない．

（5）ケーブルおよび補剛桁の死荷重はケーブルのみに  よって支えられる．したがって，活荷重が作用しな  い場合の補剛桁は完全に無応力である．

（6）ハンガーは非常に稠密に配置されており，ケーブ  ルと補剛桁は連続的にハンガーで連結されている．

（7）ハンガーは垂直で，載荷によるひずみを無視する．

（8）補剛桁は薄肉断面梁とみなされ，一般の梨理論が  成立する．

Xl・

0ノ

Xc

（Xく・，yc，Z）

yc

S

ds

Z

（Xc＋dXc， yc÷dyσ  z＋dz）

     （x。＋百，y。†マ

      z．←司      d§

       （X，＋dx、＋U＋面，

       yc＋dyc＋▽＋4▽，

       z＋dz＋w＋dw）

Fig．3 An infintely srnall element of the cable

Fig．3に示すようにケーブルの微小要素♂∫が変形後 4∫になったとする．初期たわみ状態からのケーブル の変位（zちり，zo）は，9のみの関数と考えると，初

期たわみ状態における田子4∫および変形後の線素齋 は次のように表わされる．

 廊＝（伽02＋ぬ2）％＝（1＋り。6／2）％4堵

 4∫一｛（4κ0十4葎）2十4δ2十（49十4痴）2｝施＝｛κ0！2   ＋2κc！諺ノ＋π2＋哲2十1＋2zσノ十zσノ2｝％4g      （4）

茄がケーブルの軸方向変位であることを考慮のうえ，

ケーブルのひずみを求めれば次式となる．

 εo ＝（4亨一4∫）／4∫＝（茄！十κoノ諺ノ 十死，2／2

  十否！2／2）／（1＋κc 2）      （5）

5．吊橋全体のポテンシャルエネルギー

（1）補剛桁のひずみエネルギー 補剛桁のひずみエネ ルギーはHookeの法則を用いて次のように表わされ

る．

巧一去∫∫∫（び9εz＋τκ9γ嬬＋τygγyg）4・麟    一去∫∫∫〔｛E（一・ガー・・〃＋ρw

   ＋G・・2｛∂ωη（     一夕  0κ）2＋（響＋・）2｝〕4姻・（6）

（2）ケーブルのひずみエネルギー ケーブルゴのひず みエネルギーは初期応力砺一一定による項と活荷 重による付加応力σc∫による項との和で表わされる．

砺一轣轣邇?ц μ・

＋÷∫∫∫一三融  

上式を慣用のケーブル張力の水平成分を用いて表わせ ば次のように表わされる．

玲一砺∫1＠慨・齋÷昭＋一÷む〆2）

伽聖∫1＠慨・酬÷瓦・2＋÷δ〆2）姻 ここに，砺∫∫涜幽伽釜

     面一∫∫％幽一眠

本論ではハンガーは仮定（7）により伸びないと仮定した ので，ケーブルの鉛直変位は補剛桁の鉛直変位πおよ びねじれ角ρを用いて次のように表わすことができる．

 涜1＝麗一6〜ρ／2， i〜2＝μ÷6〜o／2      （9）

なお，仮定（7）および（8）よりケーブルの橋軸方向および 補剛桁の橋軸方向の変位を無視するため，以下の誘導 にあたっては式（8）に含まれるケーブル橋軸方向変位 は無視し，ケーブル方程式の項で考慮する．

（3）ハンガーの水平方向傾斜によるエネルギー

仮定（7）によってハンガーはひずまないと仮定したが，

Fig・2に示すようにハンガーの伝幡する力の水平成分 がケーブルと補剛桁との間に生ずる相対変位だけ仕事 をなすことになる．図においてハンガーの力の水平成 分は既知の補剛桁に作用する力を用いて

η一 ｦω （  2α1−6〜o）θ・ （1① 上式におけるハンガーの傾斜角砺はケーブルおよび 補剛桁の各変位の間の適合条件を満足しなければなら

ない．

 1zθ∫ ＝り一廓 十 （α一θ） ρ       （11）

式（1①および式（11）を用いて，ハンガーのなす仕事は次の ように表わされる．

砺一÷Σ∫〔・・｛画＋（・一・）ρ｝〕4・

÷÷∫（ρ〃＋zo ）鵬2＋θ22）4・ （12

（4）外力のなす仕事 Fig．2に示すような外力が補 剛桁およびケーブルに作用したとき，それらの外力が 保存系とすれば外力のなす仕．事は

既一轣o（ρ ＋躍）・＋㌍＋脚

  ＋与（・・＋・・）｝ぬ （13

したがって，吊橋のポテンシャルエネルギーは式（6），

（7），〔8），働および働を用いて次のように表わされる．

 π一巧＋砺1＋レと2＋砺一％     （1の

6．基礎方程式

吊橋の基礎方程式をうるために最小ポテンシャルエネ ルギーの原理を適用する．すなわち，

 δπ一〇      （13 変分原理を用いて式㈲を変形して次のような基礎方程 式が求められる．

 万んπ（4）一（211ω＋飾1＋1％2）麗 ＋（1勤1一砺2）

争〃一ρ ＋（砺1＋砺2）・・〃  （16）

恥・・L｛  62qr＋τ（2砺＋才力1＋砺2）｝・〃

      ゐ 一E砺・（4｝＋（砺1一耳ウ2）一τ・

＋（・一・）」互i磐（θ・＋θ・）一捌

 6＋2（耳ウ2一砺1）κ・ ^（1の

E・・・…一E如・…＋血吉窺（θ・＋θ・）一鋤（18）

（砺＋1％1）哲1 ＋ ^{ρ 十zo}

（砺＋1％2）む2 ＋   2 ρ 十zo

2

   1θ・一一2ρ・（19     1

θ2＝一一Z一『ρo  （20）．

ここに，ん一轣轣E・鋤，瓦一∫∫・・軌     ち一∫∫吻・鋤・ち・一∫∫吻調第

    ノイ∫｛ ∂ω％（     一y  ∂κ）2＋像＋の崎

    κc ＝一8∫（別 十zOo）／12

基礎方程式には式（16）〜式⑳の他に，式（11）の2式が加わ る．基礎方程式に含まれる未知数π，⑳，ρ，61，む2，θ1，

θ2，耳ク1，耳か2の9個のうち，耳か1，耳か2は活荷重に よって生ずるケーブルの付加水平張力で，次のケーブ ル方程式を用いて求められる．

あるから△4∫ゴ＝Eo沼。 d∫secψ＋α△T4∫

式囲〜（24）から，高次の微小項を無視すれば

砺一砺譜4・÷・△恥㏄・ψぬ

」欝薯ぬ一（薯）2ぬ

ケーブルの定着点は不動であるから，

∫： 砺一圃1！一・

式⑳を部分積分すれば，

砺一一Eｸ〔テ｛好1ゴ融一十z

7． ケーブル方程式

 長大スパン橋では支点はローラー支点が多いので，

補剛桁の橋軸方向変位およびハンガーの傾斜を無視す ることができるが，ケーブルの活荷重張力耳ク1，耳ウ2 を求めるにあたっては前述のように軸方向変位を考慮 する1）．ケーブルゴの任意点（κ6，9）の傾斜角をψ とする．この角度は活荷重載荷後多少変化するが，仮 定（11）によって変形後一定もあるとする．ケーブルの微 小部分4∫を近似的に直線とみなせば

 4∫2＝492十4κ02，4∫＝4g secψ      （21）

活荷重の載荷および温度変化による変形後には

 （4∫＋△4∫ゴ）2＝（o「9ヨー4乞δ＝∫）2−1一（4κ6−1−4歪Zゴ）2十ζ1r碗2 （22）

ケーブルの伸び△4∫は張力の増分および温度変化で         耳ウゴ

       （23）

（24）

（25）

∫y否〆2ぬ｝

一・△丁五丁l

ここに呼∬鮮鹸÷1（1＋8∫2    12）

〔26）

    ＋21・（・＋8餐＋÷・・n・小・発・ec・h   LT一∫1／sec・ψ4・÷1（・＋・6芸）

    ＋21・（・＋舗多÷・・n・勿）＋・鳶・ec・η

上式はケーブルの3次元的変形を考慮したケーブル方 程式である．従来のケーブル方程式では〔〕の中の 第2および第3項が省略されている．

8．基礎方程式の簡略化

 吊橋に作用する水平荷重は風荷重であるから左右の ケーブルの水平変位が等しい⑦1掴む2一⑳とおくこと ができるので，左右のハンガーの傾斜角はθ1＝θ2＝θ となる．またケーブルの形状が式⑧のように表わされ ることを考慮すれば，本題の基礎方程式は次のように 簡略化される．

       うE仙〔4）一（211ω一卜砺1一←砺2）・ ＋（砺・一砺2）万〆

    一ρ。一」語（耳ウ1＋耳ウ2）  （2の

E卿・・L｛   わ ⑤1＋4（2砺＋砺1＋霊力2）｝・〃

       ゐ 一E妨・（4）＋（耳ウ1一砺2）一7・

＋（α一θ）（ρ 欄），…一如（砺1一砺・）

 E1ぬ⑳（4）一Elby〜o〔4）十（ρo十窺） θ；1）乃  （2Hω一ト．昆ウ1−1−11≧）2）乏ヲ 一←（1） 一1『zo ）θ＝一メ）6  1zθ＝り一δ十 （α一θ）〜ρ

以上のように誘導した基礎方程式は文献②および（4）と 実質的に合致するものである，

9．風荷重を受ける吊橋の変形と断面力

 誘導した基礎方程式を用いてFig。1に示す3径間 単純吊橋を対象に3分力を考慮した一様分布の風荷重 を受ける場合の静的挙動を解析する．なお風荷重はそ の大きさが変形とともに変化する非保存系であるため に厳密には保存系として誘導した基礎方程式は適用で きないが，静的問題では第1近似値として有効である と考えられる．

 構造物に風が作用すると構造物の空力特性によって 定まった抗力，揚力および空力モーメントの特性曲線 が求まる，吊橋においては特に補剛桁断面の耐風特性 を検証する意味から2次元模型による風上実験が行な われている．Fig．4は関1『橋の風胴実験により求め られた抗力，揚力および空力モーメントの係数である．

迎え角αについて各係数は次のように線形化される．

CII CI、 CM

5｛

6 ₆ →一CD

一一一bL

411 5   5

e    一。一CM o

31 1 針^1  4÷

c ¹

1

・｝・31  3 P

｝2 ²

1一 1 1

0 ^一4

一16㌧12。一80 0。4。 8。 ^αP2。16。

尋一1 i   ヨ

[2←一2 F

一2， 1

ぜ

一3ト3 _覧馬

一3 一4 一4

一4 一51 一5

X10 ^1×10』2

       級数の形に仮定する．

      ％（9） ＝ ・Σα％sinηπξ， 亨）（9） ＝ Σ6ηsinππξ（32）

      ％＝1       ％＝1

       こ  

      U（9） ＝ Σ ηsinηπξ， む（9） ＝ Σ砺z sinππξ       〃；1       〃＝1

      θ（9） ＝ Σθ％sinππξ， ξ ＝ 9／1       π漏1

       式（30），（32）を基礎方程式⑳に代入して，Galerkin法を        適用すれば未定々数を求めるための連立方程式がえら        れる．

      ηπ       2

       ｝τ一      α〃

      6        ηπ       2         1        4

 Fig．4 Relations between components，σ0，

     CL and（）1匠of wind force and the      angle of attack

砺（の一CD（・）＋（艦D）・・，

α（・）一C・（・）＋（釜L）・・， （28）

砺（・）一CM（・）＋（響）・・

したがって，吊橋に作用する活荷重は次のように風荷 重を用いて表わされる．

     1    ＿       ＊

 1）か＝一コ『ρ72CD・〜望1）＝一1） 一1） 〜o，  （29）

    1    ＿         ＊

毎一万ρ72CL」L−L什L岬，

    1    ＿       ＊

槻一ｹ一ρ72CM』五一M ＋・M ψ・

    1

 ρ6一万ρ7／2・4z）o−D6

吊橋のケーブルの形はサグ∫，∫1なる放物線，中央 径間のキャンパーはサグノ＊なる放物線，側径間は直 線とすれば中央径間および側径間のハンガー長は次の

とおりである．

 h（9）＝競一（κc＋κ＊）

   ＝4（∫十∫＊）92／12−4（∫十ノ ＊）9／1十乃       （30）

 妨（9）＝ゼ19ユ2／112一σ1（1一砺／》1    ＋∫1＊／4∫1）／1191＋妬

吊橋の塔が変形しないものとすれば，補剛桁およびケ ーブルの境界条件は次のとおりである．

 麗（0）＝π（1）＝0，麗 （0）＝祝 （1）＝0

 ρ（0）＝9（1）＝0，ψ （0）＝ψ （1）＝O      G1）

．・・堰Ei0）一士妙αう・暫0，・…昭星（0＞等が（1）＝0  む（0）＝り（1）＝0， θ（0）＝θ（1）＝0

上式の境界条件を満足する各変位を次のようにFourier

｛Eん（）4＋（・H轟・＋砺・）（・雫）｝

＋｛（耳ウ1一耳ク2）（）2＋鏡｝δ・

      ｛LT十（・砺1十砺2）面一｝

｛一を（耳力1一砺2）（）2｝・・＋〔Eん（撃）4

＋｛G7十ヨ （2Hω十正ち1十耳ク2）｝（撃）2一躍〕6・

一Eち，（ηπ）・＿・（L 一吻・％

    ηπ

  6        ηπ       T     ㌘

     1 4

一。劣｛       6M ＋了一（砺1一砺2）一髪｝

畷雫）㌦＋｛畷字）4−Dず｝・。

       4  一（五丁一zo，）θπ竃一1万        ηπ

一（2Hω十砺1十1寿）2）（誓）24ゐ

      4  一（五，一zρ ）θπ＝一一Do       ηπ 砺＋・・一4一｛乃 一2（∫十！＊）

侍＋77）｝

（33＞

  1 1 ・・一層舞世高（初，響話、・彫

なお，側径間については上記の連立方程式にsuffix 1 をつければよい．ただし，式（33）の第5式は次のように

なる．

・わ・・＋…一画1一 o妨一呑・

 （÷＋孟巨一一畜≒一   4、ブf一）｝θ7z1  ＿．！1＊

＝3％ Σ

  π2

〃〜η

勉》（〃〜2一η2）2 ^θ〃z1

またケーブル方程式は

砺一段許｛要認、÷（・一÷6・）

  ＋誓認、÷（      うαπ1−2わπ1）＋瓠置、・・4・・

  ＋四三1・・d・・1一・△TLT｝ 岡

式G4）のケーブルの活荷重張力Hpiは補剛桁の変形に よって定まるが，連立方程式の係数項にこれらの項が 多く含まれるために，計算は一種の試算による収束計 算となる．

（1）従来の解法との比較および解の収束

 本法の基礎式（27）において第3，4式の補剛桁および ケーブルの水平変位⑳，むおよび外力として水平成分 のみを残し，適合条件式を用いてハンガーの傾斜角θ を消去すれば，Moisseiff7）によって提案された水平 変位を解析するための方程式が次のようにえられる．

恥…＋等⑫一む）一勘

・E…＋饗（・吻一一ρ・

（茄）

伊藤氏8）は上式を解析的に解くために，変位uおよ びδを式舩の第3，4式のように仮定のうえ，式岡の 両辺に戻9）をかけてGalerkin法を用いて連立方程 式を誘導した．

本法と上述の伊藤氏の方法を比較するために，設計風 速7＝54m／secに対する中央径間の中点の補剛桁お よびケーブルの水平変位u，むの収束状況をFig．5 に示す．図において横軸はフーリエ級数の忌数を，縦 軸は変位U，否を示す．遠忌では吊橋の形状および外 力が左右対称のため，変形も左右対称となり，級数の 項数は奇数項η＝1，3，5…を採用すればよい．本法 の級数の収束はきわめて早く3項程度で完全に収束す るが伊藤氏の方法の収束は遅く，振動しながら本法と 同じ結果に収束していくことがわかる，本法と同程度 の解をうるためには3倍以上の項数を必要とすること

 宥 謬1

5

といえる．本法ではハンガーの傾斜角θを未知数に加 えたために未知数では1つ増加したが，これによって 解の式が伊藤氏の式に比較して簡単となり，かつ収束 がきわめて早いため数値解析上本法の方が有利である といえる．

（2）ケーブルの活荷重張力の影響

 従来の吊橋の解析ではケーブル方程式に吊橋の補剛 桁の鉛直変位と涙れに伴なうケーブルの鉛直変位のみ が考慮され，水平方向の変位による張力の変化は無視 されている．これは水平方向にケーブルがサグを持た ないためであるが，風荷重による水平変位が大きい場 合には検討の余地がある．そこで，（の従来のケーブ ル方程式を用いた場合，（6）ケーブルの水平変位をも 考慮したケーブル方程式を用いた場合，（のケーブル の張力を無視する場合について，3分力を考慮した解 析および（4）水平変位を考慮したケーブル方程式を用 いて，外力として抗力のみを用いた場合の4ケースに ついて解析した．風の迎え角α一〇。について各ケー スのケーブルの水平活荷重張力耳ウ1および耳ウ2お よび径間中央の変位⑳，む，麗，ψを示せばTable 1 に示すとおりである．表より明らかなように水平変位 りおよび蓉についてはケーブルの活荷重張力の影響 はほとんど認められず，（4）欄の抗力のみを用いた場 合と合致することがわかる．吊橋の水平変位について は抗力のみを考慮した解析で十分であることがわかる．

Table l Comparison of displacements of the     maln span

（a） （b） （c） （d）

一 『

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、  、 一  一

砺・（t）1−182．2 耳ウ2（t）

u （m）

δ （m）

π （m）

φ （rad．）

一173．7

4．187 3．930 一〇．080

一〇．00027 一163．9

一155．2

4．183 3．926

0．0

0．0

4．152 3．893 一〇．177  1−1．011

一〇・00027P−0・00007 18．3

18．3

4．144 3．891 一〇．094

一〇．00000

4

3 1

Fig．5

 35791113一一一一15

       11 Convergence of horizontal deflections of the stiffened truss and cables

Table 1に示すように補剛桁の鉛直変位については，

（ののケーブル張力の変化を無視する場合には揚力に より中点で1肌程度浮き上がることがわかるが，（の のケーブルの鉛直変位のみを考慮したケーブル方程式 を用いると，補剛桁の変位は8㎝程度浮き上げるのみ で，ケーブルの活荷重張力の影響は鉛直変位にきわめ て大きな影響を及ぼすことがわかる．なお，活荷重水 平張力は死荷重水平張力Hω一11683tに比べて1．6％

程度の大きさである．これはケーブルの活荷重水平張

力が式（33＞の第1式の右辺荷重項LT＋（耳ウ1＋耳か2）

署一をゼ・けるように作用することを意味するも のである．この性質を利用すれば，吊橋の涙り変形が 小さいから砺2＝耳力1とおいてLT＋16ゾ士力1／12−0 から容易にこれらの初期値を推定することができる．

また，（ののケーブルの水平変位を考慮したケーブル 方程式を用いると，補剛桁は18c那程度上方に変位する ことになる．4m程度の純粋な水平変位によってケー ブルには300t程度の付加活荷重水平張力が生ずるも のと予想されたが，Table 1（4）に示したように18 t 程度であった．これはケーブルは水平方向に移動する ことが不可能で，塔頂を結ぶ線上で振子状の動きをす ることを意味するものと考えられる．Table 1に示す ようにケーブルの水平張力耳ク1，耳か2および鉛直変位 の（のの結果と（のの結果を加え合わせたものは（6）の 結果にほぼ合致することから，（のの結果の鉛直変位 の増加は振子状の動きによるケーブルの鉛直変位に対 応することがわかる．したがって3分力を考慮した吊 橋の変形と応力にはケーブルの水平張力に及ぼす水平 変位の影響は無視できないことがわかる．

一，！

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   0．2    0．    0．冬    ．0．5    α6     ．7    0，8    0．9−  ^L−O

       ／   1   ＼

       ξ

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  、     ！ 一…（c）       ＼     ノ

 、       ノ       、       ，      ノ         、       ！     一・一HPI＝HP2＝0．Ot         、          し       ノ   、、     ，！       （P、 ＝O．O， mt；O．0）        、、     

ブルの水平変位による活荷重水平張力の影響も小さい ことがわかる．

（3）風の迎え角の影響

 Fig．4のように吊橋の空気力曲線の抗力係数CDは ほぼ一定であるが，揚力係数C五と空力モーメント 係数CMは風の迎え角によって変化することがわか る．設計時の迎え角αの変化±40以内における吊 橋の変形と断面力について述べる．Fig．7に迎え角

刈

こ・1↑ 一 V

 ＿＿＿＿＿v 31

2↓      ノ

｛     ・ 1      ／

1  ／ 11．・／

レ 0  ・＋ 一一→．

trussα＝0。

cable      1  噸卜

 l   l   l   l   i

  ｝ ．

  α＝4。

α＝一4。 、、

＼

 ×10 ⊃ rad．

Fig．6 Torsional anglesψof the stiffened truss

 Fig。6に補剛桁のねじれ角ψを示す．図において 一点鎖線は外力として抗力のみが作用した場合の涙れ 角を示す．ハンガーの傾斜角θによる補剛桁の重量 窺の水平成分が補剛桁に涙りモーメント観（α一θ）θ を生ずるために補剛桁は負の方向にねじれを生ずる．

これに対して空力モーメントは正の符号をもつために 補剛桁を正の方向に回転させる．3分力を考慮した吊 橋のねじれ角はハンガーの長さが短かいために大きな 傾斜角θを取れる中央では負．ハンガー長が大きい 端部では空力モーメントの項が大きく，したがって正 のねじれを生ずる．したがってねじり角は2つの節を もつ変形となる．なお，ねじり角に対してはケーブル の水平張力の影響は鉛直変位よりも小さく，またケー

0．0 0．1  0．2  0．3  0．4  0．5  0．6  0．7   0．8

Fig．7 Horizontal deflections， v and     stiffened truss and cables

 0．9−1．0

  ξ

▽，of the

α＝一4。，0。および40に対する補剛桁およびケーブ ルの水平変位り，δを示す．図のようにα一4。の場 合が最も大きく，次いでα一〇〇，一4。の順に小さく なるが，その変化の割合いは小さいといえる，Fig．8 に補剛桁の水平方向の曲げモーメント．脇を示す。

M・1

4

2

0

×104 t璽11

   ，そ

／・

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＿一＿一一判 グ客一一一一一一『…一1

ラ／

α＝0。

一一一 ^ｿ＝4。

一一一一一 ｿ＝一4。

 0．0    0．．1    0．2    0．3    0．4一一一一二一〇．5

      ξ Fig．8 Bending moments M乃of the stiffened     trUSS

 1        陣〒ミ．

一3T     ・一4・1 ＼＼

il上／一／ 認αイ ＼＼＼

 1／       1      09＼1．00： 一一一Pこ1   0・2一一6ご一5一一一て｝控「一一一一一1石0丁5  δ．6   でごうー一一一一6ゴ亀＿＿＝」一＝二毒

1｝＼＼． 1ごr一一一一

。鴛、IGい）『∵二詞 …

Fig．9 Vertical deflections u of the sfiffened     trUSS

 Fig．9に補剛桁の鉛直変位πを示す．図において は（α）は従来のケーブル方程式を用いた結果を，また

（6）は水平変位をも考慮したケーブル方程式を用いた 結果を示すものである．迎え角の影響は水平変位の場 合よりも大きいことがわかる．（6）の場合が（α）の場 合に比較して振子状の動きによって持ち上げられるた めに，α＝40すなわち風に吹き上げられる場合がいち ばん大きな変形を与えることになる．Fig．10に補剛 桁の鉛直方向曲げモーメントル窃を示す．Fig・11に 補剛桁の浸れ角を示す．ねじれ角は鉛直変位同様に迎 え角の影響を受ける Fig・・12rに補剛桁の涙れモーメ ンートTを示す．

一4

一2

0

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／一一一一膨ヨ＿ゲ  ＼＼

  ・兜10 20 3 4015q60・1，一理ン鈴 1・O llマ『、 一、製に＝一，、）

M、×10！m

Fig．10 Bending moment脇of the stiffened     trUSS

一一Q

一1

0 ， 01  02  03

1α＝一4．

1      、、

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  ＼『 一 一 〆 1・一4ド〜『｝匿〆    （・）     1   （b）

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ll Torsional anglesψof the stiffened truss

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一 一一一 一一 ｿ一・・＼・、、：  ／；一・・

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     0、2〆0・30・40 0・51 ・こ転一一 ／  0・9TLO     ノ       ユ へ 

鵡∴）  i∵一 一一・珊

Figユ2 Torsional moment T of the stiffened     trUSS

 水平，鉛直および去れのいずれの場合も吊橋の変形 と断面力は迎え角がゼロの場合より迎え角がある方が 大きくなり，迎え角が正の場合，すなわち風が吊橋を 吹き上げる方向に作用する場合が最も不利になること がわかる．

 以上はいずれも主径間に関するものであ「り，側径間 については紙面の都合上省略する。

10．結   語

 本論では連壁を考慮した吊橋の基礎方程式を擁度理 論と同程度の範囲で誘導するとともに，3分力を考慮 した風荷重を受ける吊橋の変形と断面力について報告 したものである．えられた結果を要約すると，

（1）誘導した基礎方程式は力の釣合式よりえられた結 果と実質的に同じである．

（2）ケーブルの鉛直および水平変位を同時に考慮した ケーブル方程式を誘導した．

（3）基礎方程式の解法として変形の適合条件式として えられるハンガーの傾斜角を未知数に加える解法を採 用した．この処理によってフーリエ級数の収束を従来 の解法より速くすることができた．

（4）吊橋の補剛桁および水平変位はケーブル活荷重の 水平強力の影響をほとんど受けず，従来の抗力のみを 用いた結果と合致する．

⑤ 補剛桁の鉛直変位はケーブルの活荷重張力の影響 を著しく受ける．鉛直変位のみを考慮したケーブルの 活荷重水平張力を用いると鉛直変位を打ち消す方向に 作用する．また，水平変位までをも含んだケーブル方 程式を用いると，水平変位に付随する鉛直変位を生ず る．この変位は揚力による鉛直変位に比べて無視でき ないものである．したがって，3分力を考慮した吊橋 の解析には水平変位を考慮したケーブル方程式を採用 しなければならない．

（6）補剛桁のねじれも活荷重水平張力の影響を受ける がその割合は鉛直変位ほど大きくない．

（7）補剛桁の鉛直変位およびねじれ角は風の迎え角の 影響を大きく受けるが，水平変位については小さい．

（8）迎え角の影響を考慮した場合が迎え角がゼロの場 合よりも大きな変形したがって応力を生ずることにな る．一般に迎え角が正の場合，すなわち風が補剛桁を 吹き上げる方向に作用する場合が不利である．

 以上によって風速が大きくなり水平変位が相当に増 大する場合や迎え角によって揚力や空力モーメント成 分が無視できない場合には連成を考慮した吊橋の解析 の必要があることが立証された．本論では吊橋補剛桁 のキャンパーによる曲率を無視したが，キャンパーが 補剛桁のねじれに及ぼす影響は無視できないものと考 えられる．今後，キャンパーによる曲率の影響や連成 Fを考歯し九吊橋の運動方程式の誘導参卜線形振動の問 題とレて吊橋の連連振動を解析する予定である．これ

『らについては逐次発表の予定である．

こ参考文・献

1）幽平井∵．敦：鋼：橋皿，。技報堂，1招和42年

2） 口本道路公団関門建設所関門架橋工事事務所：風  荷重を受ける吊橋の変形と応力，昭和45年5月 3）土木学会本州四国連絡橋鋼上部構造研究小委員会  解析分科会：本州四国連絡橋鋼上部構造に関する調  査研究報告書，別冊6，吊橋のねじり解析，昭和48  年3月   「      ．

4）倉西，越後：吊橋の側方への変形について，土木  学会第29回年次学術講演会講演概要集第1部，昭和  49年10月，PP．383−384．

5） 奥村：長支間橋梁における鋼構造の問題点，土木

 学会誌，VoL 61，Annual 76，昭和51年4月  PP．5−7

6） 川井：マトリックス法振動及び応答，培風館ゴ昭  和46年

7） Moisseiff， L． S。：Suspension Bridges under  the Action of Lateral Forces， Trans． ASCE，

 VoL 98，1933， pp．1080−1107．

8）Ito， M．：The Lateral Motion of Suspension  Bridges， Trans． of JSCE，1962， PP．10〜16