鉛 直 非 線 形 振 動 に

つ て 鉛 直 非 線 形 振 動 に の

吊 橋

哉**

門

U1小

雄*・角

一 口 同 橋 田

On V e r t i c a l  Nonlinear Vibrations o f   a Suspension Bridge  来

日

by 

Kazuo T  AKAHASHI  ( C i v i l  E n g i n e e r i n g )   Kazuya TSUNODA  (Kumagai‑Gumi C o . ，  L t d ， .   T o k y o )  

N o n l i n e a r   v e r t i c a l   v i b r a t i o n s   o f   a s u s p e n s i o n   b r i d g e   a r e   shown i n   t h i s   pape r .   The n o n l i n e a r i t y   i s   a t t r i b u t e d   t o   t h e   h o r i z o n t a l   component  o f   t h e   t e n s i 1 e f o r c e   p r o d u c e d  i n   c a b l e   by l i v e   l o a d .   The a p p l i c a t i o n   o f   a  G a l e r k i n   method t o   s o l v e   t h e  g o v e r n i n g  n o n l i n e a r  p a r t i a l   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n   y i e l d s   n o n l i n e a r   simu 1 t a n e o u s   o r d i n a r y  d i f f r e n t i a l  e q u a t i o n ，  o f   which t h e   s o l u t i o n i s  s o l v e d  o n  a  d i g i t a l   c o m p u t e r   by t h e  Newton‑Raphson m e t h o d .  

N u m e r i c a l  r e s u 1 t s  a r e   r e p o r t e d  f o r  a  t h r e e ‑ s p a n   s u s p e n s i o n  b r i d g e  w i t h   s i m p l y

^嗣

s u p p o r t e d  s t i f f e n i n g  t r u s s .   L i n e a r  f r e e  v i b r a t i o n s ，  f  o r c e d  r e s p o n s e  t o  r e c t a n g u l a r   p u l s e  and n o n l i n e a r  f r e e  v i b r a t i o n s  a r e  d i s c u s s e d .  

用いて吊橋の鉛直非線形振動を解析した結果を報告す るものである。

2 .   運動方程式

F i g .  

1 

~乙示すような対称な側径間を有する 3 径間 単純吊橋を対象とすれば，吊橋の鉛直たわみ振動の運 動方程式は静力学的な携度理論の基礎方程式の補剛桁 とケーブノレの質量による慣性力および一様分布の外力 を加えれば次のように与えられる

2)

。

( 1 )  

L(u ，

HhEIJ24‑2(Hw

十日

p)

岳 十

可 3²

u

16f 

-士一 (Wt+W

12:'  •• c^{C /}  

)τ一一~~J. Hp-P(t)"""O

8

t 2  

1  . 緒 言

著者らは連成を考慮した吊橋の静的曲げに関する基 礎方程式を提案のうえ，えられた非線形方程式を逐次 近似法を用いて数値解析する乙とによって風荷重を受 けた場合の連成現象を評価した

1)

。ひきつつ、き，本研 究は吊橋の鉛直振動に含まれる非線形項の影響を検討 したものである。従来の吊橋の鉛直振動性状の解析に あたってはケーブノレの活荷重水平張力 H

p

が死荷重水 平張力

Hw

~乙比較してはるかに小さいとみなされて無 祝されている

2)

。との仮定は線形振動として取り扱う ためであるが，振幅の大きい場合には検討の余地があ る。しかしながら，これまでのところ本題に関する報 告は見受けられないようである。そとで，本研究は著 者が連続体の非線形振動の解析に採用している手法を 昭和

53

年

11

月1

8

日受理

*土木工学科

料熊谷組制(東京〉

46 吊橋の鉛直非線形振動について

f

f

爵

ト㌦

x

詞

亀

side _spa丑

  o 高＝｡n    ￡

唐垂≠

side

￡：

span

勉

Fig． I Geometry of a suspension bridge

 ここに，E：ヤング率，1：補剛桁の断面2次モー  メント，Hw：ケーブル1本あたりの死荷重水平張  力，Hp：ケーブル1本あたりの活荷重水平張力，

 w・：補剛桁の単位長さあたりの重量，w。：ケーブ

 ル2日分の単位長さあたりの重量，9：重力の加速

 度，f：ケーブルサグ， p（t）：外力の荷重強度，

 u：鉛直たわみ，♂：支間，t：時間， x：スパン 方向の座標

ケーブルの活荷重水平張力H，は補剛桁の鉛直たわ

みUを次のように表わされる。

恥一 ｿΣ釜∫1・（・・t）d・ （2）

 ここに，E。：ケ縞ブルのヤング率， A。：ケーブル

 1本分の断面積，LE：ケーブルの形状長さ（全径

 問の合計）。

以上は主径間の場合であるが，側径間の場合はサフイ クス 1。を付ければよい。

3．運動方程式の解法

 主径間および側径問の運動方程式を解くために，鉛 直振動を次のように仮定する。

 u＝T1（t）sinπξ十T3（t）sin3πξ，

 U1＝T5（t）sinπξ1，

 ここに，T、（t）， T3（t）およびT5（t）：未知の時間  関数， ξ＝＝X／4 ξ1＝Xユ／Z1

式（1）を解くために，ガラーキン法を適用する。すなわ

ち，

∫IL（u，H・）・in・ξdξ一・・∫IL（u，瓦）・i・

3・ξdξ一・，∫：L（・1，H・）・in・ξ、dξ1一・ （4）

上式より次の3個の非線形連立常微分方程式が求めら れる。

 T1十a1T1十a2T3十a3T5十a荏T〜十a5TIT3十a6  TIT5＝a7P（t），

T3十b1T3十b2T1千b3T5十b4T32十b5TIT3十

b6T3T5＝b7p（t），      （5）

T5十c1T5十。2T1十。3T3十。4T52十。5TIT5十

。6T3T5＝c7P1（t），

ここに，a1〜a？， b1〜b7，c、〜c7：時間関数の係数，

たとえば，

・・一 oEI（チ）4＋2H・（子）2＋÷（響）2

E冷｝／÷（w・鴫

亀一

?i16fπご）2賠／÷（w・＋輸

鞠一一

秩i16fπ♂）（導）Eε含／÷（w岨あ

偽一2（16f

ﾎz）（チ）2響／÷（w・楓）・

属一

?i16fπz）（÷）2E会／÷（暗嚇

鞠一4（16f

ﾎム）（÷ナE会／÷（w・＋輸

衡一

?^÷（Wb十Wc）・

上式は2次の非線形復元力を持った非線形常微分方程 式である。なお，2次の復元力は非対称な復元力特性

をもつ。式（4）の外力p（t），p1（t）が周期外力の場合

（すなわち，う（t）＝pcosωt， p、瀟p）の定常解を求 めるために解を次のように仮定する。

 T。＝ql十qicosωt十q差cos2ωt         （5）

 ここに，ql， ql， ql：未定々数， i＝1，3，5．

上式を式（4）に代入して調和バランス法を適用すれば，

未定々数を求めるための連立非線形代数方程式が求め られる。たとえば，T、に関する方程式は次のとおり である。

alqo1十a2qo3十a3qo5十a4fユ1十a5f13十a6f15＝O，

（aユーω2）q11十a2q13十a3q15十a4911十a5913十a6915

＝a？P，      （6）

（a1−4ω2）q21十a2q23十a3q25十a4hH十a5h13十a6h15

＝0，

ここに，

日0．5

f・j一

?i2…q・・＋q1・q・」＋q・｝・の・

・・j一

p（2q・・q・j＋29・・q1・＋…％・＋…q・・）・

馬・一?i2q・王q・・＋2d・1…＋q1 ql」）・

上式は適当な初期値のもとにNewton−Raphson法

を用いて数値解析することができる。

4．数値結果

 上式（5）の係数a、およびa2において，鉛直振動を支 配するパラメーターはケーブルのサグ比f／♂である。

Hw＝（w・＋w，）Z2／16fよりf／♂が小さくなればケー

ブルの死荷重水平張力Hwが増大し，逆に式②よりケ ーブルの活荷重水平張力H，が減少する。また，fμ が大くなればHwが減少し， Hpが増大する。いまま

での長支間吊橋の実績はほとんどf／♂一1／9−1／12の 範囲に入っており4），非線形性はあまり強くないこと がわかる。

 本論文では具体的な吊橋の特性計算のために，次の 諸元（関門大橋）を採用したが，以下はその演算結果 をもとに考察をすすめることにする。

 Z＝703．5m，♂1＝167．75m， f＝64．Om，

 f1瓢3．906m， LE＝1，216．056m，

 1＝3．44m4／Bridge，11＝2．582m4／Bridge，

 Hw＝ll，862．6t／Cable， w F 19．04t／m／Bridge，

 wt＝20．814t／m／Bridge， w。＝5．132t／m／Bridge，

 E＝2．1×107七／m2， Ee・＝2．0×IO7t／m2，

 A。一〇．2796m2／Cable

式（5｝において線形項のみを取り出して線形振動数を

求めればTable 1に示すとおりである。なお，

Table lには起振機試験5）による関門橋の鉛直た わみ振動の固有振動数を併記している。実測振動数

と計算振動数はよく一致しており，微小振動の範囲で は式㈲の線形項のみ取り出したモデル化で十分である

ことがわかる。Fig．2にTable lの固有振動数

Table l Symmetric vertical frequency

Calc． Exp． Exp．

f（Hz） T（sec） f（Hz） T（5ec〕 Calc。

0，205 4，878 0，212 4．72 1．03

＿占＿ξ」

side span

  O．5

1．0

u

〒

^{main span side span}

Fig．2Mode of vibration of a suspension

    bridge

に対する振動形を示す。本例の振動形は対称ユ次振動 で，その関数形は次のように与えられる。

 u＝sinπξ一〇．499sin3πξ， u1＝・一〇．413sinπξ1． （7｝

両端ヒンジはりの対称1次振動の固有振動形はsin波

形で表わされるが，サグを持つケーブルではsin波形 とはならずに，2つの節を持ったsin 3πξが卓越し

た波形となることが最近の研究で明らかにされてい

る6）。吊橋においてもケーブルの振動の影響が現われ ているものと考えられる。

 吊橋の主径間のみを取り出し，系を1自由度系と仮

定し，補剛桁とケーブルの重量の10％の荷重強度を 持つステップ荷重が突然作用した場合の動的応答を

Runge−Kutt a−Gi11法によりシミレーションした結

果をFig．3に示す。図において点線は線形応答を示

し，肉太の実線は外力が鉛直下向に作用した場合の非 線形応答を，また，細い実線は外力が鉛直上向きに作 用した場合の非線形応答をそれぞれ示すものである。

線形の場合には，応答は荷重の方向に無関係である。

これに対して非線形の場合には復元力特性が正の変位 に対しては変位とともにバネの剛性が増大する硬化バ ネ，負の変位に対しては逆に剛性が減少する軟化バネ の両特性を持つ。このために，荷重が鉛直下向きに作 用する場合には線形の場合よりも構造的に剛になり，

応答振幅は減少し，・固有振動数は増大する。逆に荷重 が上向きに作用する場合には構造的に柔になり，応答 振幅は増大し，固有振動数が減少する。この原因は吊 橋の構造特性から下向の変位に対しては正のケーブル の活荷重水平張力が生ずるために，ケーブルの全水平   ・張力2（Hw＋Hp）が増大し，上向きの変位に対して   逆に減少することによるものである。

   次にp（t）＝oの場合の非線形自由振動の特性   を検討するために，吊橋の主径間の固有円録動数   と径聞中央点の無次元振幅成分q1， ql， q搬       0

48 吊橋の鉛直非線形振動について

t

0

2．5 5．0 7．5 10．0

0．0

0．5

 1．0

，（司

       

       ！

      ノ       1

             

         

                             

        

        

b       

        8      ／！▼

        ノ

   、  ！

    愚、  ノ  ・尋∴  ・）ノ

Fig．3

 n。n1 nea「〔Pく0〕！

   1inea。   ノ

           ・・nliRea「〔P》の  、                      

         

、、、  

㌔  

、 亀

、

＼

 、  、

 、

  、   、   、    、    、    、    亀亀     ＼

、、、●，

Resp・nse・f・・u・p・n・i・n bridg・t・・e・tangula・puユse

び  のし

  、、

  、、

、

Table 2・Nonlinear free vibration of a suspen−

    sion bridge

ω（rad／rec）

^{弟 電 最} A

1．5620 0．1308 1．4354 0．0440 1．4942 1．5560 0．1065 1．2976 0．0357 1．3341

L5600

0．0822 1．1420 0．0276 1．1701 1．5640 0．0579 0．9599 0．0194 0．9795 1．5680 0．0335 0．7317 0．0112 0．7430 1．5720 0．0091 0．3822 0．0030 0．3852 1．5737 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000

 1．0

1融10．8 司

0．6

0．4

o．2

0。0

1。22 1．24 1．26

L30

よび最大振幅A（いずれも桁高9．Omで無次元化）と の関係を求めればTable 2に示すとおりである。

表において第2列目qlは振幅の直流成分，第3列目 百1は基本波の振幅成分および第4列目qlは2倍の高

調波成分をそれぞれ示すものである。全体として，振 幅の増大とともに振動数が減少する軟化バネの特性を

示す。振幅が桁高程度A＝1．0となっても振動数は1

％程度変化するのみで，正・負の両復元力の存在する 自由振動数に及ぼす振幅の影響は正・負のいずれかの

変位が生ずる場合よりも小さい。振幅の直流成分ql

は振幅の増加とともに増大するが，この項は振動の中 立点の移動を示すもので，引張・圧縮の両ひずみエネ ルギーが等しい位置すなわち振動の中心が吊橋の静的 平衝点から上方へ移ることを意味するものである。し たがって，自由振動数に及ぼす非対称な復元力特性を 持つ非線形性の影響は相殺される。

Fig．4

LO

li｝む1

3

0．5

ω

Relation between nonlinear fre−

quency and amplitudes

0．0

 1●22      1．24       1．26       1・28       1。30

      ω〔rad／sec）

Fig．5・Relation between nonlinear fre−

    quency and direct current compo−

    ne1ユts

  帝む

E。・・

。喝輔●o一鞠陶一

一噛一一〇〇●●

一軸一噛。●鱒亀L

一■

 Fig．4は式（6）を解いて吊橋の主および側径間を考

慮した対称1次振動の各スパン中央点の円振動数ω

と振幅の基本波ql−ql， l ql 1の関係を示すものであ

る。また，Fig。5は円振動数ωと振幅の直流成分

1qトq81， q言との関係を求めたものである。側径間 を考慮し，主径間のsin 3πξの影響を含む場合の方が 非線形の影響が大きくなる。

5．結  語

 本研究は吊橋の鉛直振動に含まれるケーブルの活荷 重水平張力による非線形項の影響を検討したものであ る。運動方程式に含まれる2次の非線形項の影響はス テップ荷重のように正または負のいずれかの変位のみ が生ずる場合にはかなり効いてくるが，自由振動のよ うに正・負の両変位が存在する場合には非線形項の影 響は相殺されて小さくなる。非線形項の影響は全体と して軟化バネの挙動を示し，振動の中立点は鉛直上方 に移動することが明らかとなった。側径聞がある場合 には非線形の影響が大きくなるようである。本研究は ケーブルの2次の非線形項まで取り扱ったが，さらに 振幅が大きくなれば3次の非線項をも考慮する必要が ある。質量の大きな長大ケーブルが使用される場合に はケーブル自身の動的挙動が主構に大きな影響を及ぼ すことが予想される。そのためには単一ケーブルの動 特性を解明することが必要となるが，古典的問題とも 思われるケープ〜レについてここ数年間数多くの研究が 行われている6）〜9）。今後これらの成果をふまえて連 成を考慮した吊橋の非線形運動方程式を誘導のうえ，

吊橋の丁丁非線形振動および耐風安定性を解析する予 定である。

 最後に，本研究は昭和53年度の文部省科学研究費を

受け，数値計算には九州大学の大型計算機FACOM

230−75を使用したことを付記する。

 参考文献

D 高橋・室井・平野：連成を考慮した吊橋の基礎方  程式および風荷重を受けた場合への応用，土木学会  論文報告集，第277号，昭和53年9．月，pp．25〜40 2）平井：鋼橋（皿），技報堂，昭和42年，pp．424〜

 425

3） Takahashi， K．：Non−1inear Free Vibra−

 tions of Beams， Theoretical and Applied  Mechanics， Vo1．24， PP．109〜120，1976 4） 日本鋼構造協会編：吊構造，コロナ社，pp．55〜

 58，昭和50年

5） 日本道路公団：関門橋工事報告，昭和52年8月，

 PP．1100〜1112

6） 山口・宮田・伊藤：ケーブル系の動的挙動に関す

 る2，3の考察，土木学会第33回年次学術講演会講  演概要集，第1部，昭和53年9月，pp．244〜245

7）Irvine， H． M． and Caughey， T． K．：The

 Linear Theory of Free Vibrations of a

 Suspended Cable， Pro． R． Soc．（London），

 A341，ユ974， PP．299〜315．

8）West， H． H．， Geshwindner， L．G． and  Suhoshi， J． E． ：Natural Vibrations of  Suspension Ca切es， Pro． of ASCE， Vo1． IO1，

 No． STll，1975， PP．2277〜2291

9）Henghold， W． M．， Russe11， J． J． and  Morgam， III， J． D．：Free Vibrations of  Cable in Three Dimensions， Pro． of ASCE，

 Vo1．103， No． ST5，1977， PP．1127〜1136