【1】 次の極限を求めなさい。

微積 I.exm14-2.1

微積分及び演習 I (2014 年度 前期 ) 小テスト 2 2014.07.10

【1】 次の極限を求めなさい。

(1) lim

x → 0

1 − cos(3x)

x ² (2) lim

x →∞

log(2 + x) log(2 + 3x ² )

【2】 次の関数 f (x) の x = a についてのテイラー展開を

f (x) =

∑ ∞ n=0

c n (x − a) ⁿ

とするとき， c n を求めなさい。

(1) f (x) = e ^{− 2x} , a = 2 (2) f (x) = 1

x , a = − 5 (3) f (x) = log x , a = 4

【3】 次の関数

f (x) = x ⁴ + 6x ³ + 12x ² + 3

の 1 次および 2 次の導関数を求めなさい。また，− 3 ≤ x ≤ 3 での増減，凹凸を調べ，結果を下の例のよう にまとめなさい。グラフは描く必要はありません。

(

例

)

−3 < x < −1 ;

減少，下に凸

x = − 1 ;

極小

−1 < x < 0 ;

増加，下に凸

x = 0 ;

変曲点

0 < x < 1 ;

増加，上に凸

x = 1 ;

極大

1 < x < 3 ;

減少，上に凸

【4】

(1) 複素数 z = − 2 + 2 √

3 i を re ^iθ の形に表しなさい。ただし，r > 0，− π < θ ≤ π として下さい。

(2) 方程式，

z ⁴ = − 2 + 2 √ 3 i

を満たす複素数の解は 4 つあります。この 4 つの複素数を x + iy の形で求めなさい。

【5】 2 変数関数

f (x, y) = e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} について次の問に答えなさい。

(1) 1 次の偏導関数， ∂f(x, y)

∂x ， ∂f (x, y)

∂y ，と 2 次の偏導関数， ∂ ² f (x, y)

∂x ² ， ∂ ² f (x, y)

∂x∂y ， ∂ ² f (x, y)

∂y ² ，を求 めなさい。

(2) f (x, y) の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標，および極大か極小かの判定を理由を付けて書

いて下さい。

微積 I.exm14-2.2

微積分及び演習

I (2014

年度 前期

)

小テスト２ 略解

【

1

】 ロピタルの定理を用いた解答を書きます。ロピタルの定理を用いた等号を^ロピタル

=

と書きます。

(1)

x lim → 0

1 − cos(3x) x ²

ロピタル

= lim

x → 0

3 sin(3x) 2x

ロピタル

= lim

x → 0

9 cos(3x)

2 = 9

2 . (exm14-2.1)

(2)

x lim →∞

log(2 + x) log(2 + 3x ² )

ロピタル

= lim

x →∞

1 2+x

6x 2+3x ²

= lim

x →∞

2 + 3x ² 6x(2 + x)

ロピタル

= lim

x →∞

6x 12x + 12

ロピタル

= lim

x →∞

6 12 = 1

2 . (exm14-2.2)

別の計算法でもかまいません。例えば

x→∞ lim

log(2 + x)

log(2 + 3x ² ) = lim

x→∞

log “

x(1 + 2/x) ” log “

x ² (3 + 2/x ² ) ” = lim

x→∞

log x + log “

1 + 2/x ” log x ² + log “

3 + 2/x ² ”

= lim

x →∞

log x + log “

1 + 2/x ” 2 log x + log “

3 + 2/x ² ” = lim

x →∞

1 +

log

“

1+2/x

”

log x

2 +

log

“

3+2/x ²

”

log x

= 1

2 . (exm14-2.3)

【

2

】ここでは

(4.34) ∼ (4.38)

に与えた基本的な関数のテイラー展開に関係づけて

∆x = x − a

のべき級数の形を求めてみ

ます。

(4.26)

に従って高次の微分係数を計算してもかまいません。

(1)

e ^{− 2x} = e ^{− 2(x − 2) − 4} = e ^{− 4} e ^{− 2∆x} = e ^{− 4} X ∞ n=0

“ − 2(x − 2) ” n

n! = e ^{− 4}

X ∞ n=0

(−1) ⁿ 2 ⁿ

n! (x − 2) ⁿ . (exm14-2.4)

従って，

c n = e ^{− 4} (−1) ⁿ 2 ⁿ

n! , n = 0, 1, 2, · · · . (exm14-2.5) (2)

1

x = 1

− 5 + (x + 5) = − 1 5

1

1 − ∆x/5 = − 1 5

X ∞ n=0

„ ∆x 5

« n

= − X ∞ n=0

1

5 ⁿ⁺¹ (x − 5) ⁿ . (exm14-2.6)

従って，

c n = − 1

5 ⁿ⁺¹ , n = 0, 1, 2, · · · . (exm14-2.7) (3)

log x = log(4 + (x − 4)) = log

„ 4

„ 1 + ∆x

4

««

= log 4 + log

„ 1 + ∆x

4

«

= log 4 + X ∞ n=1

( − 1) ⁿ⁺¹ n

„ ∆x 4

« n

= log 4 + X ∞ n=1

( − 1) ⁿ⁺¹

n 4 ⁿ (x − 4) ⁿ . (exm14-2.8)

従って，

c 0 = log 4 , c n = ( − 1) ⁿ⁺¹

n 4 ⁿ , n = 1, 2, · · · . (exm14-2.9)

【

3

】

1

次および

2

次の導関数は以下のようになります；

df(x)

dx = 4 x ³ + 18x ² + 24x = 2x(2x ² + 9x + 12)

“

= 2x

“

2(x + 9/4) ² + 15/8

””

, (exm14-2.10) d ² f(x)

dx ² = 12 x ² + 36x + 24 = 12(x ² + 3x + 2) = 12(x + 1)(x + 2) . (exm14-2.11)

微積 I.exm14-2.3

1

次および

2

次の導関数の符号と

0

となる点を表にまとめると

x − 3 · · · − 2 · · · − 1 · · · 0 · · · 3

f ⁰⁰ (x) + 0 − 0 +

f ⁰ (x) − 0 +

f(x) 30 - ­ ¹⁹ ©

? ¹⁰ - ­ ³ ª 6 ³⁵⁴

(

変曲点

) (

変曲点

) (

極小

)

となります。これから，

f(x)

の増減と凹凸は以下のようになります：

− 3 < x < − 2 ;

減少，下に凸

x = − 2 ;

変曲点

−2 < x < −1 ;

減少，上に凸

x = − 1 ;

変曲点

−1 < x < 0 ;

減少，下に凸

x = 0 ;

極小

0 < x < 3 ;

増加，下に凸

. (exm14-2.12)

なお，

y = f (x)

のグラフは以下のようになります：

x y

(参考図) y = f(x)

のグラフ。

【

4

】

(1) r =

˛ ˛

˛− 2 + 2 √ 3i

˛ ˛

˛ = √

4 + 12 = √

16 = 4

なので，

z = −2 + 2 √

3i = 4e ^iθ = 4

“

cos θ + i sin θ

”

(exm14-2.13)

より，

θ

は

cos θ = − 1

2 , sin θ =

√ 3

2 (exm14-2.14)

を満たします。

−π < θ ≤ π

より

θ = 2π/3

となります。以上より

z = 4 e ^i2π/3 . (exm14-2.15)

(2) z = r e ^iθ

とすると

r ⁴ e ^4iθ = 4 e ^i2π/3 (exm14-2.16)

より

r ⁴ = 4 4θ = 2π

3 + 2n (exm14-2.17)

が成り立つ必要がああります。ただし，

n

は整数を表します。

r > 0

なので

r = √

2 . (exm14-2.18)

また，

θ = π 6 + nπ

2 (n = 0, ± 1, ± 2, . . .) (exm14-2.19)

より，異なる解は

n = 0, 1 , 2 , 3

から得られます。従って解を

z 1

，

z 2

，

z 3

，

z 4

とすると

微積 I.exm14-2.4

z 1 = √

2 “ cos π

6 + i sin π 6

”

= r 3

2 + i 1

√ 2 , (exm14-2.20)

z 2 = √

2

„ cos 2π

3 + i sin 2π 3

«

= − 1

√ 2 + i r 3

2 = iz 1 , (exm14-2.21)

z 3 = √

2

„ cos 7π

6 + i sin 7π 6

«

= − r 3

2 − i 1

√ 2 = − z 1 , (exm14-2.22)

z 4 = √

2

„ cos 5π

3 + i sin 5π 3

«

= 1

√ 2 − i r 3

2 = −z 2 = −iz 1 (exm14-2.23)

となります。

【

5

】

(1)

∂f(x, y)

∂x = − 2x e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} , ∂f(x, y)

∂y = 4y(1 − y ² ) e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} , (exm14-2.24)

∂ ² f(x, y)

∂x ² = 2( − 1 + 2x ² ) e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} , ∂ ² f(x, y)

∂x∂y = − 8xy(1 − y ² ) e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} . (exm14-2.25)

∂ ² f(x, y)

∂y ² = 4(1 + y ² − 8y ⁴ + 4y ⁶ ) e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} . (exm14-2.26) (2)

まず，偏導関数が

0

となる条件から，極値をとる可能性のある点を求めます。

e ^{− x 2 +2y 2 − y 4} > 0

なので，条件

x = 0 , y(1 − y ² ) = 0 (exm14-2.27)

より，極値をとる可能性のある点は

(x, y) = (0, 0) , (0, −1) , (0, 1) (exm14-2.28)

となります。

それぞれの点でのヘッセ行列とその行列式は

H (0 , 0) =

„ −2 0

0 4

«

, det H = − 8 (exm14-2.29)

H (0 , −1) =

„ −2e 0 0 − 8e

«

, det H = 16e ² , f xx = −2e < 0 (exm14-2.30) H (0 , 1) =

„ − 2e 0

0 −8e

«

, det H = 16e ² , f xx = −2e < 0 (exm14-2.31)

となります。以上より，

f(x, y)

は

(x, y) = (0 , ± 1)

で極大値

f (0 , ± 1) = e

をとることがわかります。

なお，

(0, , 0)

は鞍点となります。

x y

(参考図) f(x, y)

の等高線。