電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

電磁波の反射と透過

6/8

講義分

今後の講義スケジュー ル

・ 6/8( 第 8 回目 ) 界面での電磁波の反射と透過

・ 6/15( 第 9 回目 ) 電磁波の導波路と共振器　 ( 第 2 回レポート締め切り )

・ 6/22 大学創立記念日のため休講

・ 6/29( 第 10 回目 ) 光導波路と光共振器

・ 7/6( 第 11 回目 ) 電磁ポテンシャルとゲージ変換　 ( 第 3 回レポート出題 )

・ 7/13( 第 12 回目 ) 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル

・ 7/20( 第 13 回目 ) 電気双極子による電磁波の放射　 ( 第 3 回レポート締め切り )

・ 7/27( 第 14 回目 ) まとめ

・ 定期試験　 8/1( 水 ) 、 8/3( 金 ) 、 8/10( 金 ) のうちのいずれかの日

界面での電磁波の反射と透

2 種類の媒質が xy 平面 (z = 0) を境に

過

接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平面電磁波が 媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射角  _i で斜め入 射し、その一部が反射角  _r で反射され

、またその一部が透過角  _t で媒質Ⅱ内

に透過する場合を考える x

z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i

H_i E_r

H_r

Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

t i

i t

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

2 1

1 2



 

 

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数

t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

2 1

2

 

 

ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス ここで図のように、入射波の電場ベクト

ルは x-z 平面内にのみ存在し、磁場ベ クトルは y 方向成分のみを有するとす ると、

p.210 (12.62 式 )

p.210 (12.62 式 )

界面での電磁波の反射と透 過

t i

t i

i r

Z Z

Z Z

E r E









cos cos

cos cos

1 2

1 2



 

 

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数

t i

i i

t

Z Z

Z E

t E





 cos cos

cos 2

1 2

2

 

 

ただし、 Z₁, Z₂ は、それぞれ媒質 1, 2 の固有インピーダンス 次に図のように、入射波の磁場ベクトル

が x-z 平面内に存在し、電場ベクトル は y 方向成分のみを有するとすると、

例題 12.3 (p.212)

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

H_i

E_i E_r

H_r

H_t E_t y

_i _r

_t Z₁

Z₂

例題 12.3 (p.212)

界面での電磁波の反射と透 過

) tan(

) tan(

) cos sin

cos )(sin

sin sin

cos (cos

) sin sin

cos )(cos

cos sin

cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

2 1

1 2

t i

i t

i t

t i

t i

t i

t i

t i

i t

t i

t t

i i

i i

t t

t i

i t

i r

Z Z

Z Z

E r E



































































 







 





 



 

 

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

磁場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) cos(

) sin(

cos sin

2

cos sin

cos sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

2 1

2

t i t

i

i t

t t

i i

i t

t i

i i

t

Z Z

Z E

t E

































 

 

 

 

12.57 式と 12.63 式より、

1

2 sin

sin Z Z

i t



  この関係を以下の式に代入して変形していくと、

界面での電磁波の反射と透

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、

過

電場 ( ベクトル ) が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、

) sin(

) sin(

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos

cos cos

1 2

1 2

i t

i t

t i

i t

t i

i t

t i

t i

i r

Z Z

Z Z

E r E



































 



 



 

 

) sin(

cos sin

2

cos sin

cos sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

1 2

2

i t

i t

t i

i t

i t

t i

i i

t

Z Z

Z E

t E



























 

 

 

 

( 今回の出席レポート ) (6/15 提出〆切 )

以上で求めた　　　　　　 　　を、入射角  _i に対し て図示せよ







 t r t r , , ,

2

 

_i  _t  r or t

i

0

2



-r or -t

例えば、　　を図示すると、r^

これらは Fresnel の式と呼ばれている

界面での電磁波の反射と透

以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射し

過

た場合の電界反射係数は、入射角  _i と透過角 ( 屈折角 ) _t の和がちょうど 直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度  _i のこと を Brewster 角という。

Brewster 角 _i は、

2

 

_i  _t 

1 1 2 2

1 1 tan

tan n

n Z

Z

i



 

 

Snell の法則より、

1 2 2

1

sin sin

n n Z

Z

t

i  





従って、 Brewster 角 _i は、

x z

媒質Ⅰ 媒質Ⅱ

E_i H_i E_r

H_r Z₁

H_t E_t y

_i _r

_t Z₂

直角 Brewster 角

Brewster 角の物理的意

このような Brewster 角が存在する物理的意味は

味

E_i

x z

媒質Ⅰ

媒質Ⅱ y

_i _r

_t Brewster 角

この方向に は、電磁波を 放射できな い

海面や雪面からの反射が眩しい 時、偏光サングラスをかけると 眩しくなくなる理由は ?

Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を

生じるが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため

電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分 極からの電磁波の放射と考えることができる

Brewster 角の身近な例

E

偏光子

E

偏光子

完全導体による電磁波の反

導電率 = ∞ の完全導体による電磁波の反射

射

完全導体の中には変動電磁場は全く浸透できないため、表面における電磁 波の境界条件は、

0 0







 n B

t E

完全導体 E = 0

E_n ≠ 0 導体表面に

電荷が現れ る場合があ る

電場の法線成 分 E_t は必ず しもゼロでは ない

完全導体

H_t ≠ 0 導体表面に

電流が流れ る場合があ る

磁場の接線成 分 H_t は必ず しもゼロでは ない

0 B

変動磁場 静磁場

0  0 B

完全導体

B_n = 0

磁場の法線成 分 B_n はゼロ

 0 B

変動磁場 静磁場

0  0 B 静磁場に対

しては必ず しもゼロで ない

完全導体 = ∞

電場 E

界面での電場の 接線成分 E_t はゼ ロ

E = 0

完全導体による電磁波の反 射

 cos( ) cos( )

1

) cos(

) cos(

0 0

0 0

t kz E

t kz Z E

H H

H

t kz E

t kz E

E E

E

r i

ry iy

y

r i

rx ix

x

































z < 0 の領域を固有インピーダンス Z の媒質が占め、 x, y (z = 0) 平面を

境にして z > 0 の領域の完全導体と接しているとする。さらに、電磁波

は x 方向に偏光した正弦波とし、その角周波数を  とする。媒質中 (z

< 0) から導体界面に対して垂直に入射した場合を考え、電場と磁場を入

射波と反射波の和として表せば、

0 z

完全導体 媒質 : Z

E_rx

入射波 反射波 x

H_iy E_ix

H_ry







k は電磁波の波数

完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面 で E_x = 0 であり、

0 0

0  _r 

i E

E

従って、媒質中の電磁場は、

  ^{E kz t}

t Z kz

E t

kz Z E

H

t kz

E t

kz E

t kz E

E

i i

i y

i i

i x













cos 2 cos

) cos(

) 1 cos(

sin sin

2 ) cos(

) cos(

0 0

0

0 0

0





















完全導体による電磁波の反

射

入射波 反射波 定在波



定在波の節の位置 定在波の腹の位置

出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html

電場の節



 



 

 2



 n k

z n (n = 0, 1, 2 　‥ )

磁場の節



 







 

 

 2 2

1 

n z



 







 

 

 2 2

1 

n z

電場の腹



 



 

 2



 n k

z n

磁場の腹

z = 0 z

(n = 0, 1, 2 　‥ )

(n = 0, 1, 2 　‥ )

(n = 0, 1, 2 　‥ ) 電場

電磁波の共振

平行平板共振器 (Fabry-Perot 共振器 )

器

完全導体による平行平面で挟まれ た空間に存在する電磁波はどのよ うに表される ?

n = 1 n = 2 n = 3

完 全 導

体 完全導体

z = 0 z = L

簡単のため、電磁波は x 方向に偏 光した正弦波とし、 z = 0, L に位 置する完全導体面に対して、垂直 に入射しているものとする。

電界 E_x は、いつの瞬間においても完全導体表面でゼロとなる から、E_x  E_i0 cos(kzt)E_i0 cos(kzt)  2E_i0sinkzsint

において、 z = 0, L において E_x = 0 となるためには、

t L z

E n

E_{x n}  

sin

0 sin

 (n = 1, 2, 3 　‥ )



 



  2 n 

よって、 L L (n = 1, 2, 3 　‥ )

k n



 

 2 であるから、

?

電磁波の共振 器

n L

n

 2



従って、このような完全導体による平行平板間に存在することができる電 磁波の波長は離散的になり、

(n = 1, 2, 3 　‥ )

で与えられる。このように、完全導体の平行平板による Fabry-Perot 共振器 によって電磁波は量子化され、この量子化された電磁波をモードと呼ぶ。 (n はモー ド番号 )

光の場合は、完全導体の代わりに、 2 枚の平行平面鏡により Fabry-Perot 共 振器を構成し、レーザーの光共振器などに広く用いられている。

光ビーム

平行平面鏡

レーザーの光共振器の概略

半導体レーザ

半導体レーザー (Laser Diode: LD) 　光を増幅する媒体が半導体からなり、

ー

pn 接合への電流注入により、電子の反転分布状態を作り出し、光を増幅 特徴　・ コンパクト ( チップ本体は 0.3mm 角程度 )

　・ 取り扱い容易 ( 乾電池 2 本程度で動作可能 ) 　・ 直接変調で数 Gbps の高速変調が可能

　・ 高信頼性 ( 通信用の InGaAsP レーザは 100 万時間以上の寿命に ) 　・ 安価 (FTTH 用 LD はチップコストで数百円、 CD 用 LD は数十円に )

縦多モード発振 Fabry-Perot (FP) 共振器型レーザー

2 枚の平行に向き合った鏡による FP 型光共 振器によって正帰還が得られ発振するレーザ ー発振波長

q L n_eff

q

 2



q: モード番号　1,2 ‥‥

n_eff: 実効屈折率  発振スペクトル

へき開面(鏡面)

FP レーザーの構造

電磁波の導波

平行平板による導波路 (Slab 導波路 )

路

完全導体

完全導体

完全導体による平行平面で挟まれた空間に斜めに入射した電磁波は、図の ように反射を繰り返しながら伝搬していく。従って、導波路として機能す る。

ベクトル解析の復 習

E E

E E

E E

E E







































































) (

) (

rot rot

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

0 ) ( grad

rot

2 









ガウスの定理



 ^{  }

V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理





S C

dS

dr F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

2 2 2

2 2

2

z y

x 

 



 



 



2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1

1

t c

t c z

y x



 







 



 



 



 

□

ダランベルシアン ラプラシアン

ベクトル解析の復 習



 







 



 



 













 















 



z y

x z y x

2 2 2

2 2

2

, ,

演算子∇ ( ナブラ ) とララララララの意味

勾配 (gradient)

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 



 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence)

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

スカラー積 ( 内積 ) AB  A^xB^x  A^yB^y  A^zB^z

ベクトル解析の復 習

回転 (rotation)

x z y

z y x x

z y

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x x

x

e e

e x

E x

E



 







 



 



 







 



 



 







 



 











 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( )

( )

( rot

ベクトル積 ( 外積 )









z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

A B

A B

A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A       

ナブラ∇と E(x) のベクトル積

3. 受電端を短絡した場合

波の反 射

送電端 V_s

l x

Z₀ Z_x

Z_in x_s

V_x I_x I_s

V₀=0 I₀

x=0

受電端 短絡

x I

e e

I I

x I

Z e

e I Z V

x x

x

x x

x













cosh )

2 ( 1

sinh )

2 ( 1

0 0

0 0 0

0















 受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい

x_s x=0

短絡 2 x=0

 2

3 

 2 2

5

 3

電圧 電流 全反射

 0

t

4

 t  2

 t  4 3

 t 

 t

x I Z

Z V

x x

x   ₀ tanh

任意の点より受電端の 方を見たインピーダン 定在波 ス

4. 受電端を開放した場合

波の反 射

送電端 V_s

l x

Z₀ Z_x

Z_in x_s

V_x I_x I_s

V₀ I₀=0

x=0

受電端 開放

Z x e V

Z e I V

x V

e e

V V

x x

x

x x

x













sinh )

2 ( 1

cosh )

2 ( 1

0 0 0

0

0 0















 受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい

x x=0

開放 2 x=0

 2

3 

 2 2

5

 3

電圧 電流 全反射

 0

t

4

 t  2

 t  4 3

 t 

 t

x I Z

Z V

x x

x   ₀ coth

任意の点より受電端の 方を見たインピーダン 定在波 ス

波の反射と定在 波

t = 0

 2

 4



4 3



x

+x 方向に進行する波 反射波 反射端 定在波 = 進行波 + 反射波

出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html

反射端 ( 全反射 ) 進行波 反射波 定在波



反射端 (r=0.5)

進行波 反射波 定在波

反射端 (r=0.1)

進行波 反射波 定在波 定在波の節の位置

定在波の腹の位置

定在波