Oka, The Schwartz kernel theorem for the tempered distributions in the Heisenberg group, to appear in Hokkaido

Math. J..

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Application

Application (LTI system on H )

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

73

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Application

定義

5 (平行移動作用素 T

_β

) .

.

. . .

. .

g = (x, y , t) ∈ H

とする. いま,

β ∈ H

における平行移動作用 素

T

βを

[T

β

f ](g ) = f (β

⁻¹

g )

と定義する.

連続線形写像

k : S ( H ) → S

^′

( H )

は,任意の

ψ ∈ S ( H

^d

)

に対し,

T

β

k [ψ] = k[T

β

ψ]

が成り立つとき,「平行移動不変」という.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Application

.

命題

7 ( H

^d 上の線型時不変システム)

.

.

.

. . .

. .

k : S ( H

^d

) → S

^′

( H

^d

)

連続線形システム とし,

K(g

1

, g

2

)

を

H

^d

× H

^d上の核超関数とする. このとき,システム

k

は,

K (g

1

, g

2

) = h(g

₂⁻¹

g

1

),

となる

h ∈ S

^′

( H

^d

)

が存在するとき,平行移動不変になる.

つまり,任意の

ψ ∈ S ( H

^d

)

に対し,

k [ψ] = ψ ∗ h

が成り立つときである.

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74

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Application

定義

6 (BIBO (Bounded-Input Bounded-Output)

安定)

.

.

. . .

.

.

連続線形システム

k

は, 定数

C > 0

が存在して,任意の

ψ ∈ S ( H

^d

)

に対し,

sup

g∈H^d

| k [ψ](g ) | ≤ C sup

g∈H^d

| ψ(g ) |

が成り立つとき,

BIBO (Bounded-Input Bounded-Output)

安 定という.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Application

.

定理

8 (Y. Oka)

.

.

.

. . .

.

.

h ∈ S

^′

( H

^d

)

と

ψ ∈ S ( H

^d

)

に対し, k[ψ] =

ψ ∗ h

とする. このと き,

k

が

BIBO (Bounded-Input Bounded-Output)

安定になる必 要十分条件は,

Λ ∈ M ( H

^d

)

となることである. ここで,

Λ ∈ S

^′

( H

^d

)

は, kの核関数,

M ( H

^d

)

は,

H

^d上の有界ラドン測 度の空間である.

.

Example 2

.

.

.

. . .

.

.

h = δ ∈ S

^′

( H

^d

)

とする. このとき,

ψ ∈ S ( H

^d

)

において,

k [ψ](g ) = (ψ ∗ δ)(g ) =

#

H^d

ψ(g

^′

)δ(g

^′−1

g )dg

^′

= ψ(g )

である. つまり,

k

の核関数は, Dirac’s測度で表されることが わかり,かつ,

k

は

BIBO

安定であることがわかる.

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75

Yasuyuki Oka

正則閉集合に台を持つ超関数に関する核型定理

正則閉集合に台を持つ超関数に関する核型定理

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ユークリッド空間上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

.

定義

7 (ユークリッド空間上の正則閉集合)

.

.

.

. . .

.

.

閉集合A⊂R^dは, D>0,ω>0,0<q≤1が存在し,

|x1−x2|≤D

となるAの任意の２点x1,x2が次の条件を満たす曲線c で結ぶことが可能 なとき,正則であるという.

.

.

.

1 cの長さlは,

l≤ω|x1−x2|^q を満たす.

.

.

.

2 cはAに含まれる.

[1]

吉田耕作,伊藤清三編,関数解析と微分方程式, 岩波書店,

(1976). [2] L. H¨omander, The Analysis of Linear Partial Differential Operator I, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, (1963). [3] T. Kakita, On the Whitney-Schwartz theorem, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 28, (1992), 13-20.

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76

Yasuyuki Oka

ユークリッド空間上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

Ex. 1. A

が凸閉集合なら

A

は正則閉集合

(ω = q = 1, D = sup

x₁,x₂∈A

| x

1

− x

2

| ).

Ex. 2. A = { (x, y) ∈ R

²

| x ≥ 0, y ≥ 0 } (第１象限)

は 正則閉集合

(ω = q = 1, D = ∞ ).

Ex. 3. A = { (x, y) ∈ R

²

| y ≥ 0 } (上半平面)

は 正則閉集合

(ω = q = 1, D = ∞ ).

Ex. 4. B = { (x, y ) ∈ R

²

| x ≥ 0, y ≥ 0 }

C = { (x, y) ∈ R

²

| x

²

+ y

²

< 1, x ≥ 0, y ≥ 0 } A = B \ C (ω = √

2, q = 1, D = ∞ ) (凸ではない集合)

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ユークリッド空間上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

• A:

正則閉集合,

• S (A)

^′

= { f ∈ S

^′

| supp f ⊂ A }

u ∈ S (A)

^′

u∗E

−−−−→

←−−−−

t→0+

• U(x , t) ∈ C

^∞

( R

ⁿ

× (0, ∞ )),

• (

_∂

∂t

− ∆ )

U(x , t) = 0,

• ∃ C > 0, ∃ µ, ν ≥ 0 s.t.

| U(x , t ) | ≤ Ct

^−ν

(1 + | x | )

^M

e

^−d(x,A)28t

, d(x, A) = inf

y∈A

| x − y | , (x ∈ R

^d

, 0 < t < 1).

(Y. Oka, 2014)

•

熱核の手法は超関数の台を決定するのに便利

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77

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ユークリッド空間上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

定理

9 (シュワルツの核型定理)

.

.

. . .

.

.

A

1と

A

2を

R

と

R

上の正則閉集合とする. いま

k

を

S (A

2

)

か ら

S (A

1

)

^′への連続線形写像とすると, このとき.

⟨ kψ, ϕ ⟩ = ⟨ T , ϕ ⊗ ψ ⟩ ,

となる

T ∈ S (A

1

× A

2

)

^′がただ一つ存在する. ただし,

ϕ ∈ S (A

1

), ψ ∈ S (A

2

)

である.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合に台を持つ緩増加超関数に ついて

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

78

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合の定義

定義

8 (ハイゼンベルグ群上の正則閉集合)

.

.

. . .

. .

閉集合

A ⊂ H

^d

∼ = R

^2d+1とする. このとき,

D > 0, ω > 0, 0 < q ≤ 1

が存在し,

ρ(g

₂⁻¹

g

1

) ≤ D

となる

A

の任意の２点

g

1

, g

2が次の条件を満たす曲線

c

で結 ぶことが可能なとき, 正則であるという.

.

.

.

1

c

の長さ

l

は,

l ≤ ωρ(g

₂⁻¹

g

1

)

^q を満たす.

.

.

.

2

c

が

A

に含まれる.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合の定義

.

命題

8 (C. C. G.)

.

.

.

. . .

. .

(x, y, 0)

と原点を結ぶ測地線は唯一つ存在し, それは平面

{ t = 0 }

上の直線である.

[C.C.G.]O. Calin, D-C. Chang and P. Greiner, Geometric Analysis on the Heisenberg Group and Its Generalizations, A.

M. S/IP, (2007).

Ex. 5.

.

命題

9

.

.

.

. . .

.

.

A = { (x, y, 0) ∈ H

¹

| y = ax }

とする. このとき, Aは正則閉 集合.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

79

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合の定義

Ex. 6.

定義

9 (測地的凸集合 (cf. R. Monti (2005))) .

.

. . .

. .

A ⊆ H

¹とする. いま, Aの任意の２点

p

0

, p

1に対し, p0と

p

1

を結ぶすべての測地線

γ: [0, L] → H

が

A

に含まれるとき,集 合

A

を測地的凸集合という. ただし,

• L = d

cc

(p

0

, p

1

), d

c

c: Carnot-Carath´ eodory distance,

• γ(0) = p

0

, γ(L) = p

1

とする.

.

命題

10

.

.

.

. . .

.

.

A ⊆ H

¹とする. このとき,

A :

測地的凸集合

= ⇒ A :

正則閉集合.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合の定義

.

命題

11 (R. Monti and M. Ricly(2005))

.

.

.

. . .

. .

H

¹の測地的凸部分集合は,次の４つの集合しかない.

.

.

.

1

H

¹

(全体)

.

.

.

2

φ (空集合)

.

.

.

3

{ a } , a ∈ H

¹

.

.

.

4 測地線の弧

R. Monti and M. Rickly, Geodetically convex sets in the Heisenberg group, J. Convex Anal., Vol. 12, No. 1, (2005), 187-196.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

80

Yasuyuki Oka

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

u ∈ S (A)

^′

u∗Ps

−−−−→

←−−−−

_s

→0+

•Us(g)∈C^∞(Hⁿ×(0,∞)),

•

„∂

∂s −∆_Hd

«

Us(g) = 0,

•∃C >0, ∃µ,ν≥0,∃a>0 s.t.

|Us(g)|≤Cs^−µ(1 +ρ(g))^νe^{−aρ(g,A)2/2s}, 0<s <1,g ∈H^d

(Y. Oka, 2014)

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の正則閉集合に台を持つ緩 増加超関数について

.

定理

10 (シュワルツの核型定理)

.

.

.

. . .

.

.

A

1と

A

2を

H

と

H

上の正則閉集合とする. いま

k

を

S (A

2

)

か ら

S (A

1

)

^′への連続線形写像とすると, このとき.

⟨ kψ, ϕ ⟩ = ⟨ T , ϕ ⊗ ψ ⟩ ,

となる

T ∈ S (A

1

× A

2

)

^′がただ一つ存在する. ただし,

ϕ ∈ S (A

1

), ψ ∈ S (A

2

)

である.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

81

Yasuyuki Oka

結論と今後の課題

結論:１．熱核の手法を手に入れる.

２．１．により,かなり多様な状況に対するシュワルツの核型 定理を手に入れることが出来る.

３．シュワルツの核型定理を線形システムとみなす.

 

(芦野ー萬代ー守本)

４．(芦野ー萬代ー守本)に従い,連続線形システムのウェーブ レット解析ができる.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

結論と今後の課題

今後の課題

１．ハイゼンベルグ群上のシュワルツの核型定理が、工学的 にどのような意味をもつのか?

２．ハイゼンベルグ群上で, (芦野ー萬代ー守本)に従い,連続 線形システムのウェーブレット解析ができるか？

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

82

1

⸆ⲡ㆑ูࡢࡓࡵࡢ࢙࣮࢘ࣈࣞࢵࢺ

᪂஭ᗣᖹ*ࠊIndra Nugraha Abdullah*ࠊዟᮧ ᾈ*

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Zernike

࣮࣓ࣔࣥࢺ࡟ࡼࡿ≉ᚩᢳฟἲ࡜ࡢẚ㍑࡟࠾

࠸࡚ࡑࡢຠᯝࢆホ౯ࡋࡓࠋࡑࡢ㝿ࠊࢧ࣏࣮ࢺ࣋ࢡࢺ࣐ࣝࢩࣥ(SVM)ࢆ㆑ู᪉ἲ࡜ࡋ࡚᥇⏝ࡋ ࡓሙྜࡢ㆑ูᛶ⬟࡟ࡼࡗ࡚ຠᯝࢆホ౯ࡋࡓࠋ

Rotation invariant and shift invariant wavelets for discrimination of medicinal leaves with acquired digital camera images in nature together

with wavelet descriptor for representation of shape of leaves

Kohei Arai, Indra Nugraha Abdullar, Hiroshi Okumura Graduate School of Science and Engineering, Saga University

Abstract. Rotation invariant and shift invariant wavelets for discrimination of medicinal

leaves with acquired digital camera images in nature together with wavelet descriptor for

representation of shape of leave are proposed. In particular, a method for rotation invariant wavelet

(Dyadic and Dual Tree Complex Wavelet Transformation: DT-CWT) through rotation of the original

images is proposed instead of realization of rotation invariant wavelet transformation. The proposed

method is compared to Zernike moments of texture representation which is essentially rotation

invariant feature which can be extracted from images. In the comparison, test performance of

classification performance (not training performance) is used after the classification with the well

known classification method as one of the best performance of classification method, Support Vector

Machine: SVM. Through the experiments with the ornamental leaf images which are acquired with

visible digital camera, comparative study of classification performance is conducted. The results

show the proposed method with Dyadic and DT-CWT would be enough in terms of classification

performance in comparison to Zernike moment utilized classification method.

2

ドキュメント内 u•½¬26”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eWi2014/11/12”Łj (ページ 75-86)