scaling 関数のパラメータ領域

フィルタ長

N + 1

が比較的小さい場合のフィルタ係数列

h

のパラメータ領域について記 す．

2

つの等式条件

(1.1), (1.2)

を満たす有限数列

h

は

N − 1

個の独立なパラメータ，例え ば

N = 5

のとき

p , q , r , s

によって，

h =

√ 2 4

1 − p , 1 + q , p − r , s − q , 1 + r , 1 − s

と表すことができる．この係数列で

Lawton

条件

(1.3)

を満たすパラメータの組全体を

D

N

で表し，

scaling

関数のパラメータ領域と呼ぶ．

M < N

のとき

D

M は

D

N の一部に，非ゼ ロ項が

M + 1

個に退化した係数列として含まれている．

N = 1, 2, 3, · · ·

^について

D

N の決 定を試みるが，

N ≥ 4

の場合は困難な課題となる．

D

N の中で直交条件

(1.11)

を満たす

h

のパラメータ領域を

D

^⊥_N^（

N

は奇数）で表す．

2.1 N = 1 の場合

この場合は特殊で，

Haar wavelet

に対応する係数列

(2.1) h =

√ 2 4

2 , 2

に限られる．これを

H

で表す．領域

D

1

= D

^⊥₁ ^はこの

1

点

H

からなる．

2.2 N = 2 の場合

係数列

h

は

1

個のパラメータ

p

により次のように表現される：

(2.2) h =

√ 2 4

1 − p , 2 , 1 + p .

p = 0

は

2

階の

B-Spline wavelet S

₂に対応する．

p = ± 1

のときフィルタ長が

2

に減り，

p = −1

^は

H, p = 1

は

H

を右シフトした

s H

に対応する（シフトオペレータを

s

で表す）．

3

Lawton

条件よりパラメータ領域

D

2 は次の開区間となる：

(2.3) D

2

=

p ; − √

3 < p < √ 3

.

2.3 N = 3 の場合

係数列

h

は

2

個のパラメータ

p , q

により次のように表現される：

(2.4) h =

√ 2 4

1 − p , 1 + q , 1 + p , 1 − q . p = 1 / 2 , q = − 1 / 2

は

3

階の

B-Spline wavelet S

₃に対応する．

p = (1 − √

3) / 2 , q = (1 + √

3) / 2

は

2

階の

Daubechies wavelet D

₂に対応する．

パラメータ領域

D

3は，

Lawton

条件より次のように決定される（図

1

）

[8]

：

(2.5) D

3

=

( p , q) ; 0 < (p

²

+ q

²

) (3 + ( p + q − 1)

²

) < 24 .

式

(2.5)

は

p , q

に関して対称である．

h

の相反（

reciprocal

）係数列を

h

（

h

_n

= h

N−n） で表す．直線

p + q = 1

上にはよく知られた

scaling

関数が並ぶ．

2 1 1 2

2 1 1 2

q

D

3

D

2

H S

2

s H

S

₃

←− D

^⊥₃

s S

2

p

O D

^∗₂

P

_out

s

²

H

D

₂

, D

₂

: Daubechies 2

階

S

3

: B-Spline 3

階

S

₂

, s S

₂

: B-Spline 2

階

H, s H, s

²

H: Haar P

_out

:

円周上の除外点

O:

領域内部の除外点（原点）

図

1

^{パラメータ領域}

D

3 と

D

^⊥₃

直交条件

(1.11)

より，直交領域

(2.6) D

^⊥₃

=

(p , q) ; p

²

+ q

²

= 2, (p , q) (−1, −1)

が得られる．従って，直交

scaling

関数は

1

個のパラメータ

ω

^により

(2.7) (p , q) = √

2 (cos ω, sin ω), (ω 5 π/4),

4

(2.8) m

₀

( ξ ) = 1 4

n=0

1 − √

2 cos ( ω + n π 2 )

e

^{−i nξ}

と表現される．直交領域

D

^⊥₃ ^{の主な要素を表}

1

に示す：

ω (p , q)

記号 名称

π/ 4 (1 , 1) s H

シフト

Haar , (0 , 1 , 1 , 0)

型

7 π/ 12

⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝ 1 − √ 3

2 , 1 + √ 3 2

⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠ D

₂

Daubechies

２階

3 π/4 (−1, 1) H Haar, (1, 1, 0, 0)

型

7 π/ 4 (1 , − 1) s

²

H 2

シフト

Haar , (0 , 0 , 1 , 1)

型

23 π/ 12

⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝ −1 + √ 3

2 , −1 − √ 3 2

⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠ D

₂ 相反

Daubechies

２階

表

1

^直交領域

D

^⊥₃ の主要点のパラメータ表示

2.4 N = 4 の場合

係数列

h

は

3

個のパラメータ

p , q , r

により次のように表現される：

(2.9) h =

√ 2 4

1 − p , 1 + q , p − r , 1 − q , 1 + r

p = 3 / 4 , q = 0 , r = − 3 / 4

は

4

階の

B-Spline wavelet S

₄に対応する．

Lawton

行列の固有値を

p , q , r

で簡潔に表現できないので，パラメータ領域

D

4 を陽に

表すことができない．図

2

は

D

4 を

2

方向から眺めた

3D

グラフを，図

3

は

r = − 1

と

p = 1

の断面（

D

3 と

s D

3 が現れる）をもつ

3D

グラフを数値計算

(Mathematica

使用

)

に よって描いたものである．

図

2

^{パラメータ領域}

D

4の

3D

グラフ

5

図

3 D

4 の

2

つの断面

r = − 1 ( D

3

) , p = 1 (s D

3

)

2.5 N = 5 の場合

係数列

h

は

4

個のパラメータ

p , q , r , s

により次のように表現される：

(2.10) h =

√ 2 4

1 − p , 1 + q , p − r , s − q , 1 + r , 1 − s .

Lawton

行列の固有値を

p , q , r , s

の関数として表すことは更に困難であり，パラメータ

領域

D

5 を陽に示すことはできない．

2.5.1

直交ウェーブレットの場合

直交ウェーブレットの

scaling

関数の係数列

h

については直交条件

(1.11)

から，独立な 関係式として

(2.11) ⎧⎪⎪ ⎨

⎪⎪⎩ p

²

+ q

²

+ r

²

+ s

²

= 4 ,

(1 − p) (1 + r) + (1 + q) (1 − s) = 0

が導かれる．半径

2

の

4

次元球面を表す第

1

式に第

2

式が制限を加える形になっていて，

パラメータ領域の自由度は

2

になる．

以下では自由度

2

のパラメータ表示として次の試みに従う．

(2.12) ⎧⎪⎪⎪ ⎨

⎪⎪⎪⎩

p

²

+ q

²

= 4 cos

²

θ, 1 − p

1 + q = tan ϕ, ⎧⎪⎪⎪ ⎨

⎪⎪⎪⎩ r

²

+ s

²

= 4 sin

²

θ, 1 − s

1 + r = − tan ϕ, (0 ≤ θ ≤

^π₂

, −

^π₂

< ϕ ≤

^π₂

)

とおけば，係数列

h

は

θ, ϕ

^{によって表現される．}

例

1 3

階の

Daubechies wavelet D

3

p = 0.05907, q = 1.28223, r = −1.24166, s = 0.90037

^，

( θ, ϕ ) = (0 . 87396 , 0 . 39105) .

例

2 2

階の

Coiflet C

₂

p = 1 . 20572 , q = − 0 . 04428 , r = − 1 . 20572 , s = 1 . 04428

，

(θ, ϕ) = (0.92321, −0.21201).

6

逆に，

( θ, ϕ )

が与えられたとき，

(p , q) , (s , r)

は式

(2.12)

より円と直線の交点として定ま る（図

4

）．

2 1 1 2 p

2

1

1 2

q

2 1 1 2 s

2

1

1 2

r

θ=0.874 ϕ=0.391 (D3のとき)

D

₃

(p,q,r,s)= (0.06,1.28,−1.24,0.90)

ϕ 2 sin θ −ϕ

2 cos θ

図

4



( θ, ϕ )

と

( p , q , r , s)

の関係 図

4

の円と直線が交点をもつように制限された

( θ, ϕ )

の領域を

(2.13) D

₅

=

(θ, ϕ) ; 2 cos 2 θ + sin 2 ϕ ≤ 1

で表す（図

5

）．記号が

D

^⊥₅ ^{でないのは}

Lawton

条件を満たさない点も含むことを意味して いる．

0 Π6 Π4 Π3 Π2

Π2

Π4

0

Π4

Π2

Θ

2 cos 2 Θ sin 2 1

D

₅

s

²

H H , sH D

2

, s

²

D

2

D

3

(s, s

²

, s

³

)H

sD

^∗₂

sD

2

C

2

D

^∗₃

D

^∗₂

s

²

H , s

⁴

H

 青

2

点：

D

3とその相反  黒い点：

Coiflet C

2

 緑

4

点：

D

2とそのシフトと 相反（直線

θ = π/ 4

，または直 線

ϕ = 0

上にある）

 赤

4

点：

H

とそのシフト（直 線

θ = π/ 4

上にある）

 相反系列：点

( π/ 4 , 0)

に対し て対称

  交 点

( π/ 4 , 0)

に は

Lawton

条 件 を 満 た さ な い 係 数 列

√2

2

(0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0)

が含まれる．

図

5

 直交ウェーブレットのパラメータ領域

D

₅

直線

ϕ = 0

，

θ =

^π₄ ^の上には

D

^⊥₃^{，およびそのシフト}

s D

^⊥₃

, s

²

D

^⊥₃ ^{が含まれている．直交} 領域

D

₅ ^{の主な要素を表}

2

に示す：

7

係数列

h (θ, ϕ) D

₃

(0 . 873957 , 0 . 391053) D

^∗₃

(0.696839, −0.391053) C

₂

(0 . 923208 , − 0 . 212014) D

₂

( π/ 4 , π/ 6)

s D

₂

(1.00931, 0.0) = (π/4 + 0.07127 π, 0) s

²

D

2

( π/ 4 , π/ 6)

D

^∗₂

( π/ 4 , −π/ 6)

s D

^∗₂

(0.561482, 0.0) = (π/4 − 0.07127 π, 0) s

²

D

^∗₂

( π/ 4 , −π/ 6)

係数列

h (θ, ϕ)

H ( π/ 4 , π/ 4) s H (π/4, 0) s

²

H ( π/ 4 , 0)

( π/ 4 , ± π/ 6) (π/4, ± π/4) ( π/ 4 , ± π/ 2) s

³

H ( π/ 4 , 0) s

⁴

H ( π/ 4 , −π/ 4)

表

2

^直交領域

D

₅ の主要点のパラメータ表示

ドキュメント内 u•½¬26”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eWi2014/11/12”Łj (ページ 103-108)