直交ウェーブレット - パラメータ領域における補間・補外の特徴

Lighting Perspective Combination Average

4. パラメータ領域における補間・補外の特徴

4.1 直交ウェーブレット

を得る．

(3.14) A( α ) = 2 − α − 2 √ 1 − α

α = α

2 − α + 2 √ 1 − α

とおけば，

0 < α < 1

のとき

0 < A( α ) < 1

であり，フィルタ係数は

0.5 1 Α

0.5 1 AΑ

(3.15) h

=

√ 2 2

1 + A( α ) N

n

+ A(α) N

n − 1 !

(n = 0, 1, · · · , N + 1)

となる．このウェーブレットは

N + α

^階の

B-Spline wavelet

と呼ばれる．

福田・木下

[5],[6]

では，階数

N + α

のウェーブレットの正則性が論じられている．

さらに，

α = 0

の前後で滑らかに接続すること，

α → ∞

^と

α → −∞

^{の極限値が一致す} ることが確かめられる．パラメータ領域における極限点を

P

_∞と

P

_∞^∗ で表すと，

P

_∞

= ( − 1 . 297 , 0 . 565) , P

^∗_∞

= ( − 0 . 565 , 1 . 297)

である．補間・補外をあわせて

α

^{とともに変化する}

scaling

関数の相互関係を図

7

に示す．

P

_out

J J ^

J J ^ P

_∞

P

_∞^∗

α = 4 α = +∞

α = −∞

H s H s

H α = 0

α = 1 J JJ^ J

JJ^

D

^∗₂

図

7

^{補間・補外における}

scaling

関数の相互関係

図

8

は，

α ∈ R \ (1 , 4 ]

に対応する点

(p , q)

が，除外点

P

_outを除く円周全体

D

^⊥₃ ^をカバーしている様子を示している．

補間・補外の混合比

α

^{に対して複数の}

scaling

関数が対応したが，パラメータ領域では円周の偏角

ω

^と

1

対

1

に対応する．

ω

^と

α

^{の関係を図}

9

に示す．

1.0 0.5 0.5 1.0 p

1.0 0.5 0.5 1.0 q ( α = 1) D

( α = 0) H s H ( α = 0)

P

_∞

( α = ± ∞ )

D

^∗₂

( α = 1) ( α = 4) P

_out

s

H ( α = 0)

P

^∗_∞

( α = ± ∞ )

4 0 1

Π 2

3Π 2

2Π 4 0 1

Π 2

3Π 2

2Π

Α Ω

図

8

^直交

scaling

関数の円周上の配置図

9 α

^と

ω

^の関係

4.1.2 N = 5

の場合

パラメータ領域

D

5を陽に得ることができないながら考察を進める．

直交ウェーブレットのパラメータ領域

D

₅ ^は自由度

2

の広がりをもつので，直交

scaling

関数の補間・補外に対応する点

(θ, ϕ)

^が混合比

α

の変化により描く曲線に興味がある．

12

前節の例

5

で述べた

Daubechies wavelet

の

2

階と

3

階の補間を補外とともに考察する．

(4.2) M( ξ ) = 1 + y 2

P(y) , P(y) = 10 − 5 y + α ( − 2 + 4 y − 6 y

+ 3 y

)

5 − α (y = cos ξ)

について，

P(y) = 0

が重根をもつ

α

^の値は，

P (2 ± √

5/α)/2 = 0

より，

α

= 7 − 3 √ 5

2 = 0 . 145898 · · · , α

= 7 + 3 √ 5

2 = 6 . 85410 · · ·

であり，ローパス・フィルタ

m

₀

( ξ )

が得られるための必要十分条件は

(4.3) α ≤ 1 ,

^または

α ≥ α

であることがわかる．異なる

m

₀

( ξ )

の個数は

α

により次のように変化する：

P(y) = 0

の

α

^の範囲

m

₀

( ξ )

の個数実根の個数虚根の個数

α = 1 2 1 ( − 1

が根

) 2

α

< α < 1 4 1 2

α = α

6 3 (

重根あり

) 0

0 < α < α

8 3 0

α = 0 4 1 (P

が

1

次式

) 0

−∞ < α < 0 4 1 2

α

< α < ∞ 4 3 0

α = α

2 3 (

重根あり

) 0

α

の変化とともに個数が増減する

m

( ξ )

の相互関係の概略を図

10

に示す．

r r

r r r r

r r

A A A A

AAU

? ?

@ @

@ R

@ @

@@ R

@ @

@ R

D

^∗₃

D

^∗₂

s D

₂

s D

^∗₂

L

^∗₁

L

^∗₂

P P

^∗

m

₀

( ξ )

の個数

α

^の値

1 α

0 −∞ +∞

α

2 4 6 8 4 4 4 4 2

図

10

^{補間・補外における}

m

₀

( ξ )

の相互関係

図

11

は，

α

^を

1

から

−∞

まで減少させたとき，および

α

1 から

+∞

^{まで増加させたと} きに対応する点

(θ, ϕ)

^{の移動の様子（}

D

-D

3 補間・補外曲線）を，図

5

の領域

D

₅ ^上に描いたものである．

13

まず，

2

つの青点

D

₃

, D

^∗₃

( α = 1)

から曲線はそれぞれ両方向に伸び

,

その一方は

α = 0

のとき直線

ϕ = 0

上の緑点（

s D

2と

s D

^∗₂）で終わる．他方は

α = 0

のときに直線

θ = π/4

^上の緑点（

D

₂と

D

^∗₂）を通過して

α → −∞

^{の極限で紫の点}

L

₁

, L

^∗₁ に達する．

α

0に対応する

6

点を小さい黒点で示した．その中の

2

点は新しい曲線（

4

本）の起点となり，その一方は

α = 0

のとき，緑の点で終わる．

Coiﬂet C

2 に対応する大きい黒点はその中の１つの曲線上にある．他方は

α → −∞

^{の極限で紫の点}

L

₂

, L

^∗₂ に達する．

α

1 に対応する

2

点をグレイの小さい点

P, P

^∗ で示した．それらから両方向に伸びる曲線は

α → +∞

のとき各極限点において，

α → −∞

の曲線と滑らかに接続する．

0 Π6 Π4 Π3 Π2

Π2

Π4

Π2

2 cos 2 Θ sin 2 1

Π4 9Π32

5Π24

Π6

Π8

D

-D

3付近拡大図

L

1 α=−∞

D

2 α=0 α=α0

D

3α=1

D

₅

L

₂

L

P

D

sD

^∗₂

sD

C

₂

D

^∗₃

D

^∗₂

L

^∗₁

P

^∗

L

^∗₂

図

11 D

₂

-D

₃補間・補外曲線

図

11

の

D

₂

-D

₃ 補間・補外曲線にはどんな意味があるか．

D

₂

, D

^∗₂ および

D

₃

, D

^∗₃が，それぞれのウェーブレットの

1

次モーメント消失の条件によって決定されたことを考えると，

= 1

のときの条件

(1.12)

を検討する価値がある．この条件は係数列の性質として

(4.4)

5 k=0

(−1)

k h

= 0

と表現され，さらにパラメータに関して

(4.5) p + q + r + s = 1

と等価になる．この関係を満たす点

( θ, ϕ )

の曲線を描くと

1

個の閉曲線（ピンク色）となり，図

11

の曲線と完全に一致することがわかった（図

12

左）．

Coiﬂet

では

φ

^の

1

次モーメント消失条件

(1.12)

が満たされている．ただし，このとき

φ

^{のサポートは区間}

[ − 2 , 3]

に設定する必要がある．この条件は

(4.6)

3 k=−2

k h

k+2

= 0 , p − q + r − s = − 1

14

と等価であり，対応する曲線は

Coiﬂet

の点

C

₂と

2

点

sD

₂

, sD

^∗₂ を通る（図

12

右）．

0 Π6 Π4 Π3 Π2

Π2

Π4

Π2

2 cos 2Θ sin 21

0 Π6 Π4 Π3 Π2

Π2

Π4

Π2

2 cos 2Θ sin 21

D

₅

D

₅

図

12

1

次モーメント消失条件を満たす曲線（左

ψ

^，右

φ

^）

ドキュメント内 u½¬26N EF[ubg_ÆHwÖÌpv\eWi2014/11/12Åj (ページ 111-115)