ウェーブレット法での相関

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 x 10⁴

−1

−0.5 0 0.5

data

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

x 10⁴

−1

−0.5 0 0.5 1

correla−

tion

4.71 4.715 4.72 4.725 4.73 4.735 4.74 4.745 4.75

x 10⁴

−1

−0.5 0 0.5 1

peak neighbor−

hood of correla−

tion

Fig. 6.

受信波実測データと，その相関

10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000

−1

10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000

−1 0 1

r0

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

−1 0 1

j=4

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

−1 0 1

j=3

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

−1 0 1

j=2

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−1 0 1

j=1

Fig. 7.

ウェーブレット係数の相互相関．

送信波および受信波のウェーブレット系数列

W

^(X)_j

, W

^(Y)_j

, j = 1 , 2 , · · ·

^{をそれぞれとる．}

図

7

の第３段〜６段は，この

W

^(X)_j および

W

^(Y)_j の相互相関

(3.4) r

j

(k) = 1 K

j

− 1

(Kj

−k)∧K_j l=1∨k

W

^(X)_j

(l) W

^(Y)_j

(k + l) , k = − (2

^−j

N − 1) , ..., 2

^−j

N − 1

を

,

各スケール

j = 1, 2, 3, 4

についてとったものである．なお，この図のウェーブレット フィルタは，

10

次

symlet

と呼ばれるものを用いている

[10].

j = 1 , 2

については，少なくとも

r0

と同様のピークが観察される．一方，

j = 3 , 4

では 相関がノイズに近くなり，ピークが特に観察されるとは言いにくい．つまり，送信波形と 受信波形の相関成分を，スケール

j = 1 , 2

において拾っている．これは，海洋ノイズとは 無関係に，送信波である位相変調波の特性がスケール

j = 1 , 2

において抽出されたもので ある．返信波は海洋ノイズに汚されているが，残存していた送信波の特性を相関として抽 出したという事である．

なお，いずれの相関図も，横軸は相関列のインデックス

k

である．ここで用いた

10

次

symlet

の場合，

j = 1

で

W

j が約

1 / 4

の長さになり，以降

j = 2 , 3 , · · ·

とほぼ半減してい く．

j

が大きくなるほど低周波成分を抽出している事に対応する．この

W

j の長さの減少 に応じて，相関列の長さも減少している．

8

36,000−1 36,500 37,000 37,500 38,000 38,500

−0.5 0 0.5 1

r0

9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600

−1

−0.5 0 0.5 1

rw1

4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800

−1

−0.5 0 0.5 1

rw2

4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800

−1

−0.5 0 0.5 1

product of rw1,

rw2

Fig. 8.

ウェーブレット係数の相互相関（拡大）．

4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800

−1

−0.5 0 0.5 1

product of rw1,2 (1)

4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800

−1

−0.5 0 0.5 1

product rw1,2 (2)of

arg max=4663 arg max=4662

Fig. 9. rw1, rw2

の２通りの積

9

図

8

は，図

7

のピーク付近を拡大したものである．前述のように，横軸（各相関列のイ ンデックス

k

）の違いに注意する．

第１段〜３段でのピーク付近の拡大は，図

7

の第２段〜第４段において，それぞれ中心 のインデックスの左右に適当な等間隔の範囲に限定して描画したものである．第４段は，

r

₁

, r

₂ の積をとったものである（詳細は次頁を参照）．

第４段では，

r0

の局所的振動と違い，ピークが先鋭化されているのが分かる．

図

8

の

r

₁

, r

₂ の積について，

r

₂ のデータ長は

r

₁ の半分である．今回は，

r

₂ の長さに合 わせて

r

₁ を１点おきに間引いた列をとり，これと

r

₂ の積をとった．ただ，これについて も，

r

₁ の奇数番の列

r

₁

(2k − 1)

あるいは偶数番の列

r

₁

(2k) (k = 1 , · · · , K

₂

/ 2)

のいずれと積 をとるか，の選択の余地がある．

図

9

は，上段が奇数番と積をとったもの，下段が偶数番と積をとったものである．それ

ぞれ，

k = 4662, 4663

においてピークをとっている．いずれにせよ，提示するピーク時刻

の誤差は，高々データ点１点分である．

謝辞

本研究は，東北大学災害科学国際研究所特定共同研究プロジェクト（研究代表者：川 崎秀二）としての支援を受けている．ここに記して謝意を表します．

参考文献

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2004.

[13]

海洋計測工学概論，田口・田畑著， 成山堂書店，

2001.

川崎 秀二

(

岩手大学人文社会科学部

)

〒

020-8550

盛岡市上田

3-18-8 E-mail: [email protected]

木戸 元之

(

東北大学災害科学国際研究所

)

〒

980-0845

仙台市青葉区荒巻字青葉

468-1 E-mail: [email protected]

11

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ڭࣔͯ͠௖͚Ε͹޾͍Ͱ͋Δɻ

Scattered data sampling and the error of approximation

Masami Okada

^∗

Masanori Morita

^∗

Abstract. First, we recall the recent theory of interpolation of data given on an infinite set in the plane by means of the radial basis function. Secondly, we investigate the in-vertibility of the infinite matrix associated to the radial basis function, which implies the existence of Lagrange like functions. Finally, we state a sharp asymptotic error estimate for our sampling approximation operator. The proof is partially based on a property of the multivariate Lagrange approximation.

1. ^͸͡Ίʹ

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k

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k

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k

) }

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k

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k

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k

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1

ʹ͋Δ ) ɻ

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k

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k

) , k = 1 , 2 , · · · , N Λຬͨ͢Α͏ʹɺ্ͷΑ͏ͳ܎਺஋

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k

| k = 1 , 2 , · · · , N} ͕Ұҙʹٻ·Δͷ͔ɺ͕໰୊Ͱ͋ΔɻͦΕ͸ؔ਺ ϕ ^͕ ( ڧ͍ҙຯͰ ) ਖ਼ఆܕؔ਺Ͱ͋ΔͳΒे෼Ͱ͋Δɻ͋ͱ͸ɺؔ਺ ϕ ͷબͼํ΍ɺؔ਺ S ( f, X ) ͕ N → ∞ ͷͱ͖ɺ f ʹͲ͏ૣۙͮ͘͘ͷ͔ʁͱ͍͏ۙࣅޡࠩධՁ΋໰୊ʹͳΔ͕ɺͦΕΒ͸ޙͰड़

΂Α͏ɻ

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