連続線形シス テム

−−−−−−→

L[ϕ] ∈ S

^′

( R )

出力信号

(緩増加超関数)

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

50

Yasuyuki Oka

ユークリッド空間上の急減少関数と緩増加超関数

• S ( R ) = { ϕ ∈ C

^∞

( R ) | ∀ α, β ∈ Z

⁺

,

∥ ϕ ∥

α,β

= sup

x∈R

| x

^α

∂

^β

ϕ(x ) | < ∞} . Ex. ϕ(x) = e

^−x2

, ϕ(x) = 1

e

^x

+ e

^−x

• S

^′

( R ): S ( R )

上の連続線形汎関数.

T ∈ S

^′

( R ) ⇐⇒

1. T

は

S ( R )

から

C

への線形写像,

2.

定数

C > 0

と

α, β ∈ Z

+が存在して,

| ⟨ T , ϕ ⟩ | ≤ C ∥ ϕ ∥

^α,β

, ∀ ϕ ∈ S ( R ).

•

形式的に,

⟨ T , ϕ ⟩ =

#

T (x)ϕ(x)dx

と思える.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

緩増加超関数の構造

.

命題

1 (緩増加超関数の構造定理)

.

.

.

. . .

.

.

緩増加超関数は緩増加連続関数の導超関数である. つまり,

u ∈ S

^′

( R )

に対し, m,

M ∈ Z

⁺

, C > 0

が存在して,

u = d

^m

dx

^m

G (x), | G (x) | ≤ C (1 + | x | )

^M と表せる. ただし, G

(x )

は連続関数.

Ex. H (x ) =

$ 1, (x ≥ 0)

0, (x < 0)

に対して,

G (x) =

$ x, (x ≥ 0) 0, (x < 0)

とすると超関数の意味で

H(x) = d

dx G (x).

Ex. δ (x): Dirac

のデルタ関数とすると,

δ (x) = d

²

dx

²

G (x ).

#

δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0).

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

51

Yasuyuki Oka

連続線形システム

−−−−−−→

ϕ ∈ S ( R )

入力信号

(急減少関数)

L: 連続線形シス テム

−−−−−−→

L[ϕ] ∈ S

^′

( R )

出力信号

(緩増加超関数)

Yasuyuki Oka

. . . . . .

シュワルツの核型定理

.

定理

1 (シュワルツの核型定理)

.

.

.

. . .

. .

L: S ( R ) → S

^′

( R )

を連続線形システムとする. このとき,

k ∈ S

^′

( R

²

)

がただ１つ存在し,

#

L[ϕ](p)ψ(p)dp =

# %#

k (p, y )ϕ(y )dy

&

ψ(p)dp, (ϕ, ψ ∈ S ( R ))

となる. k をシステム

L

の核超関数という.

※ システム

L

を同定することは,核超関数

k

を同定すること.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

52

Yasuyuki Oka

連続線形システムの例

−−−−−−→

ϕ ∈ S ( R )

入力信号

(急減少関数)

L: _{連続線形シス} テム

−−−−−−→

ϕ ∈ S

^′

( R )

出力信号

(急減少関数)

L[ϕ] =

#

δ(x − y)ϕ(y )dy = ϕ

Yasuyuki Oka

. . . . . .

平行移動不変システム ( 時不変システム )

時間周波数解析で基本となる３つの作用素

T

b

f (x) = f (x − b), b ∈ R (平行移動作用素) M

ξ

f (x ) = e

^ixξ

f (x ), ξ ∈ R (変調作用素)

D

ρ

f (x ) = ρ

^−1/2

f (ρ

⁻¹

x), ρ = { ρ ∈ R | ρ > 0 } (伸張作用素)

.

定義

1 (時不変)

.

.

.

. . .

.

.

連続線形システム

L: S ( R ) → S

^′

( R )

平行移動不変（時不変）

であるとは, 任意の

ϕ ∈ S ( R ), b ∈ R

に対して,

T

b

L[ϕ] = L[T

b

ϕ]

が成り立つときをいう.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

53

Yasuyuki Oka

. . . . . .

平行移動不変システム ( _{時不変システム} )

定理

2 (芦野ー萬代ー守本)

.

.

. . .

. .

連続線形システム

L: S ( R ) → S

^′

( R )

が時不変であるための必 要十分条件は,一意的に定まる

h ∈ S

^′

( R )

があって,核超関数

k ∈ S

^′

( R

²

)

が

k(x, y) = h(x − y )

と表せること,すなわち,

L[ϕ] = h ∗ ϕ =

#

h(x − y )ϕ(y )dy

が成り立つことである.

(h

を

L

のインパルス応答と呼ぶ)

Yasuyuki Oka

. . . . . .

システムの BIBO 安定性

.

定義

2 (BIBO

安定性)

.

.

.

. . .

. .

線形システム

L

が

BIBO

安定

(Bounded Input Bounded Output stable)

とは,ある定数

C > 0

が存在して,

sup

x∈R

| L[f ](x ) | ≤ C sup

x∈R

| f (x) | , f ∈ S ( R )

が成り立つことである.

.

定理

3 (芦野ー萬代ー守本)

.

.

.

. . .

.

.

L

が時不変で, hをそのインパルス応答とするとき,

L : BIBO

安定

⇐⇒ h

は

R

上の有限ラドン測度

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

54

Yasuyuki Oka

ここまでのまとめ

•

一旦,シュワルツの核型定理が言えてしまえば, (芦野ー萬 代ー守本)の考察により,連続線形システムの言葉で言い換え ることが可能である！

•

これから紹介する核型定理の証明方法は,緩増加超関数の場 合だけではなく,様々な状況に適応可能！

Yasuyuki Oka

. . . . . .

Contents

(1)

シュワルツの核型定理の証明

.

.

.

1 「熱核の手法の紹介」

.

.

.

2 熱核の手法を用いたシュワルツの核型定理の証明

.

.

.

3 様々な空間への適用方法

(2)

ハイゼンベルグ群上への応用

.

.

.

1 ハイゼンベルグ群の定義

.

.

.

2 ハイゼンベルグ群上の急減少関数と緩増加超関数

.

.

.

3 ハイゼンベルグ群上における熱核の手法

.

.

.

4 ハイゼンベルグ群上のシュワルツの核型定理

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

55

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(3)

正則閉集合に台を持つ超関数に関する核型定理の証明

. ^.

¹ ユークリッド空間上の正則閉集合に台を持つ緩増加超関 数について

. .

1 正則閉集合

.

.

2 緩増加超関数に対する熱核の手法の紹介

.

.

3 正則閉集合に台を持つ緩増加超関数に対する熱核の手法

.

.

.

4 正則閉集合に台を持つ緩増加超関数に対するシュワルツ の核型定理

.

.

.

2 ハイゼンベルグ群上の正則閉集合に台を持つ緩増加超関 数について

.

.

.

1 ハイゼンベルグ群の定義

.

.

.

2 ハイゼンベルグ群上の緩増加超関数の定義

.

.

.

3 緩増加超関数に対する熱核の手法の紹介

.

.

.

4 正則閉集合について

.

.

.

5 正則閉集合に台を持つ緩増加超関数に対する熱核の手法

.

.

.

6 正則閉集合に台を持つ緩増加超関数に対するシュワルツ の核型定理

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

•

! ∂

∂t − ∆

"

U(x, t) =

! ∂

∂t − d

²

dx

²

"

U(x , t) = 0 (熱伝導方程式)

• E

t

(x ) = 1

√ 4πt e

^−|x|

2

4t

(熱核)

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

56

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

命題

2 (熱核の性質)

.

.

. . .

.

.

次が成り立つ.

.

.

1

#

R^d

E

t

(x)dx = 1, t > 0,

.

.

.

2

! ∂

∂t − ∂

²

∂x

²

"

E

t

(x) = 0

.

.

.

3 正の定数

C

と

a

^′ が存在して,

| ∂

_x^β

E

t

(x) | ≤ C

^|β|+1

t

^{−(n+|α|)/2}

β!

^1/2

e

^{−a′|x|2/4t}

, (t > 0, 0 < a

^′

< 1)

が成り立つ.

.

.

.

4

E

t

(x) ∈ S ( R

^dx

).

(Matsu I) T. Matsuzawa, A calculus approach to the hyperfunctions I, Nagoya Math. J., 108 (1987), 53-66.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

.

命題

3 (熱核の性質)

.

.

.

. . .

. .

ϕ ∈ S ( R

^d

)

とする. このとき,

S ( R

^d

)

の位相で,

(ϕ ∗ E

t

)(x ) −→ ϕ, t → +0

が成り立つ.

t→

lim

+0

' '

' x

^α

∂

^β_x

{ (ϕ ∗ E

t

)(x) − ϕ(x) } ' ' ' = 0

S. Lee and S. -Y. Chung, The Paley-Wiener theorem by the heat kernel method, Bull. Korean Math. Soc. 35, No. 3, (1998), 441-453.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

57

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

定理4 (S^′(R^d)における熱核の手法, T. Matsuzawa (1990)) .

.

.. .

.

.

Let u∈S^′(R^d). If we put

U(x,t) =⟨u,E(x−·,t)⟩,E(x,t) = (√

4πt)^−d/2e^−x 2 4t

then we have

.

.

.

1 U(x,t)∈C^∞(R^d×(0,∞)),

.

.

. 2

„∂

∂t−∆x

«

U(x,t) = 0,(x,t)∈R^d×(0,∞),∆x= ^∂2

∂x2 1

+· · ·+ ^∂2

∂x2 d ,

.

.

.

3 for anyϕ∈S(R^d),

t→+0lim Z

RdU(x,t)ϕ(x)dx=⟨u,ϕ⟩, and

.

.

.

4 there exist a constant C>0andµ,ν≥0such that

|U(x,t)|≤Ct^−µ(1 +|x|)^ν,x∈R^d,0<t<1.

Conversely, if the C^∞-function U(x,t)satisfies the condition (2) and (4), there exists u∈S^′(R^d)such that U(x,t) =⟨u,E(x−·,t)⟩.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

u ∈ S

^′

u∗E

−−−−→

←−−−−

t→0+

• U(x , t ) ∈ C

^∞

( R

ⁿ

× (0, ∞ )),

• (

_∂

∂t

− ∆ )

U(x, t) = 0,

• ∃ C > 0, ∃ µ, ν ≥ 0 s.t.

| U(x, t) | ≤ Ct

^−µ

(1 + | x | )

^ν

, (x ∈ R

^d

, 0 < t < 1).

(T. Matsuzawa 1990)

T. Matsuzawa, A calculus approach to the hyperfunctions III, Nagoya Math. J., 118 (1990), 133-153.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

58

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

δ(x ) ∈ S

^′

u∗E

−−−−→

←−−−−

t→0+

• E

t

(x ) ∈ C

^∞

( R

ⁿ

× (0, ∞ )),

• (

_∂

∂t

− ∆ )

E

t

(x) = 0,

• ∃ C > 0, ∃ µ, ν ≥ 0 s.t.

| E

t

(x) | ≤ Ct

^−µ

(1 + | x | )

^ν

,

(x ∈ R

^d

, 0 < t < 1).

U(x , t ) = (δ ∗ E

t

)(x)

=

#

δ(y )E

t

(x − y )dy = E

t

(x ) → δ (x )

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

「熱核の手法の紹介」

.

Example 1

.

.

.

. . .

.

.

u(x ) = e

^x とする. このとき,

U(x , t) = (u ∗ E )(x, t ) = E (x, t ) = e

^x+t より,

e

^xは

S

^′

( R )

の元ではない.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

59

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

熱核の手法を用いたシュワルツの核型定理の証明

定理

5 (シュワルツの核型定理 (cf: Reed-Simon)) .

.

. . .

. .

k

は

S ( R )

から

S

^′

( R )

への連続線形写像とする. このとき,任 意の

ϕ, ψ ∈ S ( R )

に対し,

⟨ kϕ, ψ ⟩ = ⟨ K , ϕ ⊗ ψ ⟩ =

##

K(x, y)ϕ(x)ψ(y)dxdy

となる

K ∈ S

^′

( R × R )

が唯一つ存在する.

[Reed-Simon] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, (1980).

• L. Schwartz, Th´ eorie des noyaux, Proc. of the Inst. Congr.

of Math. 1950, vol. 1, 220-230.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

熱核の手法を用いたシュワルツの核型定理の証明

Proof. k

は連続なので,

S ( R ) × S ( R )

上の双線形形式

B , B (ϕ, ψ) = ⟨ k ψ, ϕ ⟩ , ϕ ∈ S ( R ) , ψ ∈ S ( R )

は分離連続になる.

S ( R )

と

S ( R )

はそれぞれ

Fr´echet

空間 な ので,

B

は連続となる. つまり, 正定数

C

と

N

1

, N

2

∈ Z

⁺が存 在して,

| ⟨ kψ, ϕ ⟩ | ≤ C ∥ ϕ ∥

N1,A1

∥ ψ ∥

N2,A2

. (♯)

が成り立つ.

いま,

R

t

(x

1

, x

2

)

を

(x

1

, x

2

) ∈ R × R

と

t > 0

に対し,

R

t

(x

1

, x

2

) = ⟨ k E

t

(x

2

− · ), E

t

(x

1

− · ) ⟩

と定義する. この

R

tが

t → +0

のとき,

S ( R × R )

^′の位相で収 束することをみる.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

60

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

熱核の手法を用いたシュワルツの核型定理の証明

(♯)

と熱核の評価式より,正定数

C

と

µ, N

1

, N

2

∈ Z

+が存在 して,

| R

t

(x

1

, x

2

) | ≤ Ct

^−µ

(1 + | x

1

| )

^N1

(1 + | x

2

| )

^N2 が成り立つ. ここで

x

1

∈ R

^d1

, x

2

∈ R

^d2

, 0 < t < 1.

そのうえ,

x

1

∈ R

^d1

, x

2

∈ R

^d2と

0 < t < 1

に対し,

(∂/∂t − ∆) R

t

(x

1

, x

2

) = 0

が成り立つ.

よって,松澤の結果より,

R

0

∈ S

^′

( R × R )

が存在して,

R

0

= lim

t→+0

R

t

が

S

^′

( R × R )

の位相で成り立つ.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

熱核の手法を用いたシュワルツの核型定理の証明

ϕ ∈ S ( R ), ψ ∈ S ( R )

に対し,

⟨R

t

, ϕ ⊗ ψ ⟩ =

##

R^d1×R^d2

R

t

(x

1

, x

2

)ϕ(x

1

)ψ(x

2

)dx

1

dx

2

=

* k

#

R^d2

E

t

(x

2

− ·)ψ(x

2

)dx

2

,

#

R^d1

E

t

(x

1

− ·)ϕ(x

1

)dx

1

+

= ⟨ k[ψ ∗ E

t

], ϕ ∗ E

t

⟩

命題

3

より,任意の

ϕ ∈ S ( R )

と

ψ ∈ S ( R )

に対し,

t → +0

の とき,

⟨ R

0

, ϕ ⊗ ψ ⟩ = ⟨ kψ, ϕ ⟩ . !

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

61

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法(指数型超関数)

• S

^r,a

( R ) = { ϕ ∈ C

^∞

( R ) | ∀ δ > 1, ∃ C

_δ,β

> 0 s .t.

| ∂

_x^q

ϕ(x ) | ≤ C

δ,β

e

^−aδ|x|

1r

, ∀ q ∈ Z

+

} .

ここで,

a

_δ

= r ,

e(δA)

^1r

-

₋1

, A > 0

とする. そして,

∥ ϕ ∥

^rδ,β

= sup

x

| ∂

_x^β

ϕ(x ) | e

^aδ|x|

1r

とする.

• S

^r

( R )

は次の帰納極限で与えられる.

S

^r

( R ) = lim

_−→

a→0

S

^r,a

( R ).

• S

r

( R ) ⊂ S ( R ):

稠密.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

.

命題

4 (熱核の性質 (2))

.

.

.

. . .

. .

ϕ ∈ S

r

( R )

とする. このとき,

S

r

( R )

の位相で,

(ϕ ∗ E

t

)(x ) −→ ϕ, t → +0

が成り立つ.

t→

lim

+0

' '

' ∂

_x^β

{ (ϕ ∗ E

t

)(x) − ϕ(x) } ' ' ' e

^a|x|1/r

= 0.

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

62

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

• S

r^′

( R ): S

^r

( R )

上の連続線形汎関数.

T ∈ S

r^′

( R ) ⇐⇒

1. T

は

S

^r

( R )

から

C

への線形写像,

2. ∀ a > 0, ∃ C

a

> 0 s.t. | ⟨ u, ϕ ⟩ | ≤ C

a

∥ ϕ ∥

^rδ,β

, ∀ ϕ ∈ S

^r,a

( R

^d

).

※

S

r^′

( R )

の元を指数型超関数と呼ぶ.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

u ∈ ( S

^r

)

^′

(r ≥

¹₂

)

u∗E

−−−−→

←−−−−

_t

→0+

• U(x, t ) ∈ C

^∞

( R × (0, ∞ ))

•

! ∂

∂t − ∆

"

U(x, t) = 0,

•∀ ε > 0, ∃ N

ε

≥ 0, ∃ C

ε

> 0 s .t.

| U(x , t) | ≤ C

ε

t

^−Nε

e

^ε|x|1/r

, (x ∈ R , 0 < t < 1).

(Y. Oka and K. Yoshino [7])

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

63

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

e

^x

∈ ( S

^1/2

)

^′

e^x∗E

−−−−→

←−−−−

t→0+

• e

^x+t

∈ C

^∞

( R × (0, ∞ ))

•

! ∂

∂t − ∆

"

U(x, t) = 0,

•∀ ε > 0

に対し,

e

^x+t

≤ 3

! 1 + 1

4ε

"

et

⁻¹

e

^εx2

, (x ∈ R , 0 < t < 1).

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

.

定理

6 (シュワルツの核型定理 )

.

.

.

. . .

.

.

r ≤ 1/2

とする. いま,

k

は

S

r

( R )

から

S

r^′

( R )

への連続線形写 像とする. このとき, 任意の

ϕ, ψ ∈ S

r

( R )

に対し,

⟨ kϕ, ψ ⟩ = ⟨ K , ϕ ⊗ ψ ⟩ =

##

K(x, y)ϕ(x)ψ(y)dxdy

となる

K ∈ S

r^′

( R × R )

が唯一つ存在する.

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64

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

Proof. k

は連続なので,

S

^r,a

( R ) × S

^r,b

( R )

上の双線形形式

B , B (ϕ, ψ) = ⟨ k ψ, ϕ ⟩ , ϕ ∈ S

^r,a

( R ) , ψ ∈ S

^r,b

( R )

は分離連続になる.

S

^r,a

( R )

と

S

^r,b

( R )

はそれぞれ

Fr´echet

空間 なので,

B

は連続となる. つまり,任意の

a, b > 0

に対し,正の 定数

C

a,b

> 0

が存在して,

| ⟨ k ψ, ϕ ⟩ | ≤ C

a,b

∥ ϕ ∥

^rδ1,β1

∥ ψ ∥

^rδ2,β2

. (♯♯)

が成り立つ.

いま,

R

t

(x

1

, x

2

)

を

(x

1

, x

2

) ∈ R × R

と

t > 0

に対し,

R

t

(x

1

, x

2

) = ⟨ k E

t

(x

2

− · ), E

t

(x

1

− · ) ⟩

と定義する. この

R

tが

t → +0

のとき,

S

r

( R × R )

^′の位相で 収束することをみる.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

(♯♯)

と熱核の評価式より, 任意の

ε

1

, ε

2

> 0

に対し,

N

ε1,ε2

≥ 0

と

C

ε1,ε2

> 0

が存在して,

| R

t

(x

1

, x

2

) | ≤ C

ε1,ε2

t

^−Nε1,ε2

e

^{ε1|x|1/rε2|x|1/r} が成り立つ. ここで

x

1

∈ R , x

2

∈ R , 0 < t < 1.

そのうえ,

x

1

∈ R , x

2

∈ R

と

0 < t < 1

に対し,

(∂/∂t − ∆) R

t

(x

1

, x

2

) = 0

が成り立つ.

よって,熱核の手法より,

R

0

∈ S

r^′

( R × R )

が存在して,

R

0

= lim

t→+0

R

t

が

S

r^′

( R × R )

の位相で成り立つ.

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65

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

ϕ ∈ S

^r

( R ), ψ ∈ S

^r

( R )

に対し,

⟨ R

t

, ϕ ⊗ ψ ⟩ =

##

R×R

R

t

(x

1

, x

2

)ϕ(x

1

)ψ(x

2

)dx

1

dx

2

=

* k

#

R^d2

E

t

(x

2

− · )ψ(x

2

)dx

2

,

#

R^d1

E

t

(x

1

− · )ϕ(x

1

)dx

1

+

= ⟨ k[ψ ∗ E

t

], ϕ ∗ E

t

⟩

命題

4

より,任意の

ϕ ∈ S

^r

( R )

と

ψ ∈ S

^r

( R )

に対し,

t → +0

のとき,

⟨ R

0

, ϕ ⊗ ψ ⟩ = ⟨ kψ, ϕ ⟩ . !

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

Heat Kernel Methods

A^′(K) (T. Matsuzawa, 1987, [1]) S^′ (T. Matsuzawa, 1990, [2]) (S1¹)^′ (Korean Group, 1993, [3]) G^′ (Korean Group, 1994, [4])

(Sr^r)^′ (C. Dong and T. Matsuzawa, 1994, [5]) (S¹)^′ (M. Suwa, 2004, [6])

(S^r)^′ (Y. Oka and K. Yoshino, [7], [8])

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66

Yasuyuki Oka

(1) シュワルツの核型定理の証明

様々な空間への適用方法（指数型超関数）

[1] T. Matsuzawa,A calculus approach to the hyperfunctions I,Nagoya Math. J., 108 (1987), 53-66.

[2] T. Matsuzawa,A calculus approach to the hyperfunctions III,Nagoya Math. J., 118 (1990), 133-153.

[3] K. W. Kim, S. -Y. Chung and D. Kim,Fourier hyperfunctions as the boundary values of smooth solutions of the heat equation,Publ, RIMS, Kyoto Univ. 29 (1993), 289-300.

[4] S. -Y. Chung, D. Kim and S. K. Kim, Structure of the extended Fourier hyperfunctions,Japan. J. Math. Vol. 19, No.2, (1994), 217-226.

[5] C. Dong and T. Matsuzawa,S-space of Gel’fand-Shilov and differential equations,Japan. J. Math. Vol. 19, No.2, (1994), 227-239.

[6] M. Suwa,Distributions of exponential growth with support in a proper convex cone,Publ, RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004), no.2, 565-603.

[7] Y. Oka,Asymptotic expansions of solutions to the heat equation with initial value in the dual of Gel’fand-Shilov Spaces, Doctor thesis, Sophia Univ. (2010).

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

(2)

ハイゼンベルグ群上への応用

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67

Yasuyuki Oka

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群の定義

• (x, y, t), (x

^′

, y

^′

, t

^′

) ∈ R

^d

× R

^d

× R = R

^2d+1

.

• (x, y, t)(x

^′

, y

^′

, t

^′

) = (x + x

^′

, y + y

^′

, t + t

^′

+ 2(x

^′

· y − x · y

^′

)),

ただし,

x · y = .

d

j=1

x

j

y

j

.

•

上記積の法則を持つ群

R

^2d+1 をハイゼンベルグ群と呼び

H

^d と表す.

•

単位元: (0,

0, 0),

•

逆元

(x, y, t): (x, y , t)

⁻¹

= ( − x , − y , − t ).

•

ハイゼンベルグ群

H

^d は局所コンパクトハウスドルフ群で, そのハール測度はルベーグ測度

dxdydt .

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群の定義

•

ハイゼンベルグ群

H

^d の左不変ベクトル場は,

X

j

= ∂

∂x

j

+ 2y

j

∂

∂t , X

d+j

= ∂

∂y

j

− 2x

j

∂

∂t

^and

X

2d+1

= ∂

∂t (j = 1, 2, · · · , d)

と表せる. これらは,ハイゼンベルグ代数の 基底になる.

• X = ∂

∂x + 2y ∂

∂t , Y = ∂

∂y − 2x ∂

∂t , T = ∂

∂t

= ⇒ [X , Y ] = − 4T , [X , T ] = [Y , T] = 0 (Canonical commutation relation)

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68

Yasuyuki Oka

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群の定義

• α ∈ Z

^2d+

, g = (x, y, t) ∈ H

^dとする. このとき,関数

(X

_α

ϕ)(g )

を次のように定義する:

(X

α

ϕ)(g ) = (X

₁^α1

X

₂^α2

· · · X

_2d^α2d

ϕ)(g ), ϕ ∈ C

^∞

( H

^d

).

※ユークリッド空間の

∂

^α

ϕ

に相当.

•

距離関数

ρ

は次のように定義する:

ρ(g ) = ((x

²

+ y

²

)

²

+ t

²

)

¹⁴

, (g = (x, y, t) ∈ H

^d

).

(Kor´anyi norm)

※ユークリッド空間の絶対値

| x |

に相当.

•

２点

g = (x, y, t), g

^′

= (x

^′

, y

^′

, t

^′

) ∈ H

^dの間の距離は,

d

K

(g , g

^′

) = ρ ,

g

^′−1

g -.

※ 定数

C > 1

が存在し,

C

⁻¹

d

C

≤ d

K

≤ Cd

C

. (Carnot-Carath´eodory distance d

C と双

Lipschitz

同値)

Yasuyuki Oka

. . . . . .

ハイゼンベルグ群上の急減少関数と緩増加超関 数の空間

.

定義

3 (ハイゼンベルグ群上の急減少関数の定義)

.

.

.

. . .

. .

ϕ ∈ C

^∞

( H

^d

)

とする. いま,関数

ϕ

が次の条件を満たすとき,

ϕ

をハイゼンベルグ群上の急減少関数といい,急減少関数全体 を

S ( H

^d

)

と表す:

任意の

N ∈ Z

+に対し,

∥ ϕ ∥

^N

= sup

(x,y,t)∈H^d

(1 + ρ(x, y, t))

^N

/

|α|≤N

| X

α

ϕ(x, y, t) | < ∞ .

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

69

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群上の急減少関数と緩増加超関数

定義

4 (ハイゼンベルグ群上の緩増加超関数の空間 S

^′

( H

^d

) ) .

. . .

. .

S

^′

( H

^d

): S ( H

^d

)

の双対空間をハイゼンベルグ群上の緩増加超 関数の空間という.

• u ∈ S

^′

( H

^d

)

⇐⇒

.

.

.

1

u S ( H

^d

)

から

C

への線形汎関数.

.

.

.

2

N ∈ Z

+ と 定数

C > 0

が存在して,任意の

ϕ ∈ S ( H

^d

)

に 対し,

' ' ⟨ u, ϕ ⟩ ' ' ≤ C ∥ ϕ ∥

^N

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群上における熱核の手法

• △

_H^d

= /

2d

j=1

X

_j²

(サブラプラシアン)

•

! ∂

∂s − ∆

_H^d

"

U

s

(g ) = 0 (熱方程式)

Proceedings of the OKU & ISM 2014 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering

70

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群上における熱核の手法

命題

5 ( H

^d 上の熱核

(Hul), (Gev)) .

.

. . .

.

.

Ps(g) = 8>

<

>:

(4πs)^−(d+1) Z _∞

−∞

„ 2τ sinh 2τ

«d

e^iτt2s−2(|x|2+|y|2)τ

4stanh 2τ dτ, s >0, 0, s ≤0.

.

命題

6 ( H

^d 上の熱核の評価式

(Jer))

.

.

.

. . .

.

.

関数

P

s

(g )

はサブラプラシアン

∆

_Hd に付随した熱核とする.

このとき, 任意の

α ∈ Z

^2d+ と

m ∈ Z

⁺に対し,定数

a > 0

と

C

m,α

> 0

が存在し,

' ' ' ' ∂

^m

∂s

^m

X

α

P

s

(g ) ' '

' ' ≤ C

m,α

s

^{−m−|α2|−Q2}

e

^−ad(g)2s

.

Yasuyuki Oka

. . . . . .

(2) ハイゼンベルグ群上への応用

ハイゼンベルグ群上における熱核の手法

[Gav] B. Gaveau, Principe de moindre action, propagation de la chaleur, et estim´ees sous elliptiques sur certains groupes

nilpotents, Acta Math. 139, (1977), 95-153.

[Hul] A. Hulanicki, The distribution of energy in the Brownian motion in the Gaussian field and analytic hypoellipticity of certain subelliptic operators on the Heisenberg group, Studia Math. 56, (1976), 165-173.

[Jer] D. S. Jerison and A. S´anchez-Calle, Estimates for the heat kernel for a sum of squares of vector fields, Indiana Univ.

Math. J., 35, (1986), 835-854.

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71

ドキュメント内 u•½¬26”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eWi2014/11/12”Łj (ページ 52-75)