第２章 Brouwer の不動点定理
E. Sperner の補題の証明
E. SPERNER の補題の証明 45
補題 2.20. ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
区 間 [0,1] を n 等 分 す る ． こ の と き 得 ら れ る 点 を 左 か ら 順 に P0 = 0, P1,· · ·, Pn−1, Pn = 1 と す る ． さ ら に 各 点 Pk に 対 し ， ラ ベ ル α あ るいは β が与えられているとする．ただし両端点P0, Pn に与えられているラベ ルは異なるとする．このとき，この図の中の小区間 Pk−1Pk で両端点のラベルが 異なるものが奇数個存在する．
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P1
P0= 0 P2 P3 Pn= 1
α α β β β
図 E.1: 1次元 Sperner の補題
各k= 0,1,· · · , nに対し，hk を hk=
0 Pk のラベルが α;
1 Pk のラベルが β
により定義すます．そして，この hk を各点 Pk の標高と見なします．両端点 P0= 0, Pn= 1 に与えられたラベルが異なるというわけですから，これら2点 の標高は異なります．線分 [0,1]は高低差のある道だと考えられます．さらに
δk=hk−hk−1 (k= 1,2,· · · , n)
とおきます．これは隣り合う2点Pk−1 とPkの標高差です．もちろんその値は，
−1, 0, +1のいずれかです．証明すべきことは，δk=−1あるいはδk= +1な る k= 1,· · · , nが存在することです．さて，ここでδ1+· · ·+δn をふた通り の仕方で計算してみましょう．第1 の計算法は，
n k=1
δk= (δk= 1 なる k の個数)−(δk =−1なる k の個数) です．これは，δk=−1,0 または1から従います．一方，δk の定義より，
n k=1
δk= n k=1
(hk−hk−1) =hn−h0
を得ます．ところが，両端点 P0,Pnにおける標高は異なると仮定されていた訳 ですから，この値は ±1であることが分かります．以上をまとめると，
(δk= 1 なる k の個数)−(δk=−1なる k の個数) =±1
が従います．よって，この左辺のふたつの項の少なくとも一方はゼロとは異なり ます. これで補題2.20 が証明されました．
E. SPERNER の補題の証明 47
α β α α β α β
0 1
図E.2:
Sperner の補題 2.19 の証明. 小正 3 角形の辺でとくにその両端点に与えら れたラベルが α,β であるものに注目する． このような小正 3角形は図E.3に
α
β γ
(a)第1種
β β
α
(b)第2種
β
α α
(c)第3種
図E.3: 3 種類の小正3 角形
あるような3種類に分類される．そこで第1種の小3角形の個数をλ，第2種，
第3種のそれらの個数をそれぞれµ,ν とする．第1種の小正3角形は，両端点 に与えられたラベルがα,β である辺をちょうどひとつ含む．一方，第2種，第 3 種の小正3 角形は，このような辺をそれぞれふたつづつ含む．そこで，和
λ+ 2(µ+ν)
を考えよう．これで両端点に与えられたラベルがα,β であるような辺が全部数 え上げられる．ただし，もとの大きな正3角形 ∆の内部に現れる辺は 2回重複 されて数えられていることに注意しよう．すなわち，両端点のラベルがα,β で ある辺のうち，∆の周上に現れるものの個数を，また∆の内部に現れるもの の個数を m とすると，
λ+ 2(µ+ν) =+ 2m
が成り立つ．この等式の両辺を見比べると，左辺の第2項 2(µ+ν)と右辺の第 2 項2m はともに偶数である． その結果，とくにλとの偶奇は一致しなけれ ばならない．ところが，補題2.20 によればは奇数である．したがってλもま た奇数であり，したがって決してゼロを値としてとり得ないことが結論される．
A B C
α β
γ
α α α α
α
β
β β
β γ
γ γ
図E.4: