ベクトル場のゼロ点の存在

せん．それを見るためには，たとえば xn=n により定義される数列{xn} ^を 考えれば十分です．この数列は，もちろん x_n ∈ [0,∞) (n= 0,1,· · ·) を満 たします．一方，数列 {xn} ^は n→ ∞^のとき +∞ に発散します．したがっ て，その任意の部分列もまた発散します．このように，{xn}^{は収束部分列を持} ちませんから，区間 [0,∞) はコンパクトでないことになります．また，区間 (0,1]もコンパクトではありません．なぜならば，たとえばその中の数列として，

x_n= 1/nなる数列 {x_n}をとると，この数列自身，したがってまたその任意の 部分列もゼロに収束しますが，0は区間(0,1]に入っていないからです．

これらが，コンパクトでない集合の初等的な例です．それでは，コンパクト集 合の例としては，どのようなものがあるでしょう． それに答えるためにはまた定

d

c

a b

y

x O

図 D.1: 長方形[a, b]×[c, d]

義を行う必要があります．いま，a,b,c,dを，a≤b,c≤dを満たす実数とし たとき，

[a, b]×[c, d] ={P = (x, y)∈R² :a≤x≤b, c≤y ≤d}

を平面内の4 本の直線x=a,x=b,y=c,y=dで囲まれる長方形（の周お よび内部）とします．（図 D.1）．

定義 2.16. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R^{2 の部分集合}X に対し，もしX を含むような長方形が存在する，すなわち，

X⊂[a, b]×[c, d]

なる a, b, c, d（ただし a≤b, c≤d）が存在するならば，X は有界であると 言われる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

少々乱暴な言い方をするならば，有界集合とは平面の中での「広がり具合」が有限 のものを言います．たとえば，R^{2の開円板}D(P^◦ ;r) ={Q∈R² :|Q−P|< r}^， および閉円板 D(P;r) ={Q∈R²:|Q−P|< r} がともに有界であることが

D. ベクトル場のゼロ点の存在 41

y

x O

P r

(a)D(P;r)

y

x O

P r

(b)D(P;^◦ r)

y

x O

1

(c){(x, y)∈R²: 0≤x≤1}

図D.2: 有界・非有界な集合の例

(a), (b)平面内の円板はそれが開であるか閉であるかによらず有界である．(c)ところが

一方，領域{(x, y)∈R²: 0≤x≤1}^{は有界ではない．}

容易に判ります．一方，たとえば R^{2 の部分集合}{(x, y)∈R² : 0≤x≤1}^は 有界でないことも明らかだと思います．

定義 2.17. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R^{2 の部分集合}X が，以下に述べる条件を満たすとき，X は R^{2 の閉集合であ} ると言う：

{P_n} ^を X の収束点列としたとき，必ず lim

n→∞P_n∈X が成り立つ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

収 束 に 関 し て 閉 じ て い る 集 合 ， そ れ が 閉 集 合 で す ． 例 え ば ，R^{2 内 の} 閉 円 板 D(P;r) = {Q ∈ R² : |Q−P| ≤ r} は 閉 集 合 で す が ， 開 円 板 D(P;◦ r) ={Q∈R²:|Q−P|< r}はそうではありません．これらの事実の証 明は容易だと思いますので皆さんにお任せしましょう．

さて，コンパクト性の判定条件を述べる準備がようやく整いました．

定理 2.18. ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

平面 R² の部分集合に対し，それがコンパクトであるための必要十分条件は，そ

れが有界かつ閉であることである．

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

この後すぐに実際に経験することと思いますが，コンパクト性に比べて，有界 性および閉であることの判定の方が容易です．この定理の利点はそこにあります．

たとえば，閉円板Dや3角形∆がコンパクトであることがこの定理から直ちに 従います．なお，この証明は §Fで行う予定です．

もうひとつ，定理2.14 の証明には次の組み合わせ論的な補題が重要な役割を 果たします．

補題 2.19 (Sperner _の補題). |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

∆ を図のように小さな正3 角形に細分する．しかもこの図に現れる小 3 角形の 各頂点に 3 つのラベル α,β,γ のいずれかひとつが次の規則に従って与えられ ているとする．

規則1：もとの大きな正3角形 ∆の 3頂点 A, B, C にはそれぞれラベ ル α, β, γ が与えられている．

規則 2：小 3 角形の頂点でとくに ∆の辺 AB 上に現れるものに対して は，ラベルα ないしβ が与えられている．また辺BC 上に現れる頂点に はラベルβ ないしγ が，さらに辺 CA上に現れる頂点にはラベル γ な いし α が与えられているとする．¹⁶

このとき，この分割に現れる小 3 角形で，3頂点に与えられたラベルが α,β, γ であるものが少なくともひとつ存在する．

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Spernerの補題および定理2.18 を仮定して定理2.14の証明を済ませてしま いましょう．

定理 2.14 の証明. 背理法による．そこで V がゼロ点を持たないと仮定する．

（第１段） ∆の各辺をn等分することにより，∆を小さな正 3角形に分割す る．さらにこの分割に現れる各頂点P に対し，その点におけるV の向きに応じ てα,β,γ いずれかのラベルを次の規則に従って与える：x-軸正の方向とベクト

16規則は，このふたつだけです．したがって，元の大きな3角形ABC の内部に現れる頂点に 対するラベルの与え方は全く自由であることになります．

D. ベクトル場のゼロ点の存在 43

A B

C

α  β 

γ 

α  α  α  α 

α 

β 

β  β 

β  γ 

γ  γ 

図 D.3:

ル V(P)= 0 のなす角度を θ（ただし 0≤θ <2π）としたとき，









0≤θ <2π/3 ならば α, 2π/3≤θ <4π/3 ならば β, 4π/3≤θ <2π ならば γ.

V が ∆の周上内向きであることから，このラベルの与え方がSpernerの補題

O

x α 

β 

γ 

V(P)

図 D.4: ラベルの与え方

この図のような場合，点P に与えられるラベルはαになる．

におけるふたつの規則をともに満たしていることが従う．よって，Spernerの補 題よれば，3頂点に与えられたラベルがα,β,γ であるような小3 角形が存在す る．その小3角形の頂点でとくにラベルαが与えられたものをA_nと，ラベルβ が与えられたものをBnと，またラベルγ が与えられたものをCnと呼ぶことに する．

（第２段）狭義単調増加な自然数列{mn} ^{を適当に取り，点列} {An},{Bn}, {C_n} ^の部分列 {A_n},{B_n},{C_n} ^を A_n=A_mn,B_n=B_mn, C_n =C_mn (n= 0,1,· · ·) により定義したとき，これら 3 つの部分列 {Am_n}, {Bm_n}, {C_nm} ^{のおのおのが} ∆内の点に収束することを証明したい．

まず∆が点列コンパクトであったことを思い起こそう．したがって第 1の点 列{A_n}^{の部分列で，}∆の点Aに収束するものが存在する．それを{A_n}^とし よう：

A_n→A (n→ ∞).

{A_n}^は {An} の部分列であるから，適当な狭義単調自然数列{kn} ^{を用いて，}

A_n=A_kn (n= 0,1,· · ·) と書ける．そこで点列 {B_n} ^の部分列{B_n} ^を，

B_n =B_kn (n= 0,1,· · ·)

により定義する．この点列{B_n}^も ∆の点列であるから，やはり∆の点B に 収束するような部分列 {B_n} ^{を有する：}

B_n→B (n→ ∞).

この部分列 {B_n} ^は，{kn} ^{の適当な部分列}{(n} ^{を用いて，}

B_n=B_n (n= 0,1,· · ·) と書ける．そこで点列 {Cn} ^の部分列{C_n} ^を，

C_n=C_n (n= 0,1,· · ·)

により定める．これもまた点列コンパクトな集合∆の点列であるから，収束部分 列を有する．それを {C_n} ^{と，またその極限を} C としよう：

Cn→C (n→ ∞).

{Cn}^{の各項は，}{(n} ^の部分列{mn} ^を用いて C_n=C_mn (n= 0,1,· · ·)

と表される．さて，元々の点列 {An},{Bn} ^の部分列{An},{Bn} ^を，

A_n=A_mn, B_n=B_mn (n= 0,1,· · ·)

により定義する．{mn}^は{(n}^{の部分列であり，}{(n}^は{kn}^{の部分列であっ} たから，{A_n},{B_n} ^{はそれぞれ点列} {A_n} ={A_kn}, {B_n}={B_n} ^の部 分列であることに注意しよう．しかも，点列 {A_n}, {B_n} ^{はそれぞれ}∆ 内の 点 A,B に収束することが既に分かっている．したがってまたそれらの部分列 {A_n},{B_n} ^{も それぞれ点}A,B に収束することが保証される：

An→A, Bn→B (n→ ∞).

E. SPERNER の補題の証明 45