となる。
2。石けん膜の性質 52
σ
返4
は逼6 さま B さ 鷺炉
0
且
図2，17：点Pが重心のときは，6つの三角形は合同
以上により，6つの三角形の面積の和が最小にする点一Pは，正四面体の重心であ
る。 証明終
2．3 石けん膜の一般的な張り方
写真のように，実験の結果，石けん膜は色々な枠の中で膜を張る。ここでは，石 けん膜の張り方の一般的な状態について調べていく。
2．3。1 同一の曲線を共通の縁として，3つの曲面が接続される場合 の交角について
ここでは，縁のある3曲面が，同一の曲線を共通の縁として接続しているとき，こ れら3つの曲面の面積の総和が最小になるのは，それぞれの曲面がどのような交角 を作っている状態かを考えていく。
まず，縁のある3曲面亀，（κニ1，2，3）を図2．18ように5か平面上の長方形から 3次元空間への曲がった埋め込みΦ（為）として考える。
曲面Sκ：（一1，1）×［0，1）∋（5，オ）→Φ（た）（5，孟），κ＝1，2，3
2．石けん膜の性質 53
オ
．1．．
c5，孟）i
一 （5，0）1 5
虫！夕！＿レ
曲面Sκ
、・Φ（ん）（，孟）
Φ（た）（3，0）一σ（5）
σ
図2．18：定義に基づいた曲線と曲面の作り方 ただし，曲面の接平面が存在するように，次の式を仮定する。
Φ！κ）（5，孟）xΦ1た）（5，f）≠o
次に，図2．18に太線で示すように5か平面の5一軸の移った像を曲面の縁と考える。
すなわち，共通の縁のなす曲線を線分の埋め込み 曲線σ二（一1，1）∋5→σ（5）
とすると，条件から
Φ（κ）（5，0）一σ（5），κ一1，2，3 となる。このときの全体の様子を示したのが図2．19である。
曲面S1 孟
孟−9！−．曹
一1 0
1
σ
Φ（1）
9レ
Φ（2）
■一−一■一一 Φ（3）
・。・薗一り陶
曲σの ・ρ．一一2︐ ・︑／一塑︐ ＆5個＝ 面2両色 曲ノ ＼．．︑誰﹂
図2．19：考えている曲線と曲面の関係
命題2．3．1．上述の定義に基づいて作られた曲面疏の定義関数，Φ（κ）（5，孟）， （κ＝
1，2，3）は，解析的であるとする。
このとき，曲面＆，κニ1，2，3の表面積の総和が，σ（0）の近傍で 極小 であれ ば，σ（0）におけるSκの内向き接ベクトルのうち，σ．（0）に直交する単位ベクトルの
なす角度は120度である。言い換えれば，それらの角度のうち少なくとも1つが120
度でなければ，次の（1）〜（3）を満たす曲面職，κ＝1，2，3が存在する。2．石けん膜の性質 54
（1）曲面＆，κ＝1，2，3の表面積の和＞曲面Σ1ん，たニ1，2，3の表面積の和 （2）職は，σ（0）のある近傍の外部では亀と一致する。
（3）職，κ＝1，2，3は単連結である。また，Σ）1∩Σ2＝Σ2∩Σ3＝Σ3∩Σ1であり，
この共通部分は連結曲線である。
証明 以下では，σ（0）を原点としてその近傍で考える。また，Φ（κ〉の1つをΦと
する。そして，任意の空間内の点Pを，始点が原点，終点がPの位置であるベクト
ルと同一視して表示する。ところで，∫（5，古）二（σ．（0），Φ（5，孟））とすれば，仮定より，∫（0，0）ニ0，∫，（0，0）≠0 であるから，定理1．5．1（陰関数定理）より，オ＝0の近傍で，∫（φ（孟），孟）ニ0，φ（0）ニ0 を満たすφ（孟）が存在する。だから，Φ（5，孟）の代わりにΦ（5＋φ（哲），孟）を考えることに より，
（σ5（0），Φ孟（0，舌））ニ0， llσ5（0）II＝IlΦ孟（0，0）赫＝1
とおいてもよい。このとき，Φ！え）（0，0）は，σ（0）における疏の内向き接ベクトルで σ，（0）に直交するベクトルである。
さて，ε，δ＞0を十分小な正定数として4っの曲線
Φ（5，0），0＜5＜ε，Φ（0，孟），0＜kδ，Φ（3，δ），0＜5〈ε，Φ（ε，オ），0〈孟＜δ で，囲まれる曲面を7（ε，δ）とする。
曲線Φ（5，δ）
Φ（0，
曲線Φ（0，孟）曲面7（ε・
δΦオ0
Φ（ε，δ）
曲線Φ（ε，オ）
⇒P1ε，）
σ0
曲線Φ（3，0）
σ（ε）
r3（ε，δ）r（ε，δ）［長方形］
σs（0）＋δΦ亡（0，0）
．／
F2（ε，δ）
σ5（0）
σ0） σε）
図2．20：γ（ε，δ）の作り方と置き換えた曲面 そして，この曲面を，図2。20のように次の曲面に置き換える。
r（ε，δ）：σ（0），εσ，（0），δΦ亡（0，0）を頂点とする長方形 r、（ε，δ）：Ψ（1）（孟，ξ）一ξΦ（0，孟）＋（1一ξ）孟Φ亡（0，0）
r2（ε，δ）；Ψ（3）（オ，ξ）一ξ｛εσ8（0）＋孟Φε（0，0）｝＋（1一ξ）Φ（ε，孟）
r3（ε，δ）：並（4）（5，ξ）一ξ｛3σ5（0）＋δΦオ（0，0）｝＋（1一ξ）Φ（5，δ）
ここで，孟，5，ξは，0＜kδ，0＜5＜ε，0＜ξ〈1とする。
また，Φは，解析的であるから，
｛（孟・ξ）∈（・，δ）×（・，1）湧11）（ちξ）×Ψ11）（孟，ξ）一・／
2．石けん膜の性質 55
は，（0，δ）×（0，1）か，有限個の曲線の和である。よって，r1（ε，δ）は，直線であるか 有限個の曲面の和であり，他のr2やr3についても同様である。
したがって，r1の表面積は，
器δ撫1）（ちξ）xΨ11）（ちξ）iゆ （23・・）
と書ける。ところで，
Ψ（1）（孟，ξ）一ξΦ（0，舌）＋（1一ξ）渉Φオ（0，0）
Ψ11）（孟，ξ）一Φ（0，孟）一孟Φ孟（0，0） （2・3・2）
であり，％407展開より，式（2．3．2）は，ある正定数σoが存在して，
1Ψ11）（ちξ）ll−llΦ（・・舌）一孟Φ川1≦碗2 となる。
また・Ψ11）（孟，ξ）は・連続で有界だから・最大値・・が存在し・！1Ψ！1）（孟，ξ）ll≦σ・
よって，
ilΨ11）（オ，ξ）×Ψ11）（オ，ξ）il≦ilΨ11）（孟，ξ）ll×！iΨ11）（孟・ξ）1≦定数×
と書ける。よって，r1（ε，δ）の表面積，式（2．3．1）は，
∠δ｛∠、1Ψ∬）（ちξ）×蜘ξ）ll4ξ｝d孟≦定数X∠1／∠δ（ ）傘一定蜘・
となるから，
｛r1（ε，δ）の表面積｝＝0（δ3） （2．3．3）
になる。
また，γ（ε，δ）の表面積は，
礁II蜘）×蜘）ld3｝碗 （2鋤
と書ける。ところで，距ψ7展開を使えば，
1Φ5（5，オ）×Φε（5，古）II≦IIΦ5（0，0）×Φ古（0，0）Il＋定数x i51＋定数×固
で，押さえられるから，7（ε，δ）の表面積，式（2．3．4）は，
蕉鴎（5，f）×蜘） 43｝砒
≦∫礁＋定数×同＋定獅1）小5
＝εδ＋定数×（ε2δ＋εδ2）
2。石けん膜の性質 56
となるから，
｛ッ（ε，δ）の表面積｝ニεδ＋0（ε2δ＋εδ2） （2。3，5）
になる。
r2（ε，δ）の表面積は
∠δ｛イ111Ψ13）（ちξ）×Φ曾）（ちξ）II4ξ｝砒 （23・6）
と書ける。だから，距ψ7展開により，
lIΨ13）（f，ξ）Il−IIΦ（ε，カHΦ（・，・）＋εΦ5（・，・）＋孟Φ孟（・，・））II≦定数×（ε2＋孟2）
となる。
また・Ψ13）（孟，ξ）は連続で有界だカ・ら・最大値・2が存在し・1！Ψ13）（孟，ξ）1≦・2とす れば，
lIΨ！3）（オ，ξ）×Ψ13）（オ，ξ）II≦IIΨ13）（孟，ξ）Il×liΨ13）（孟，ξ）II≦定数X（ε2＋む2）
で押さえられるから，r2（ε，δ）の表面積，式（2．3．6）は，
イδ｛イ111Ψ13）（ちξ）×Ψ13）（ちξ）1！4ξ｝砒
≦∠1｛ズδ（定数×（ε・＋伽｝dξ ＝定数×（ε2δ＋δ3）
と書けて，
｛r2（ε，δ）の表面積｝ニ0（ε2δ＋δ3） （2．3．7）
になる。
r3（ε，δ）の表面積は
∫｛∠1i隣ξ）×Ψr）（5，ξ）II4ξ｝45 （Z38）
と書ける。だから，血gJo7展開により，
llΨ14）（5，ξ）II−liΦ（3，δ）一（Φ（・，・）＋5Φ3（・，・）＋δΦ￠（・，・））ll≦定数×（32＋δ2）
となる。
また・Ψ！4）（3・ξ）は連続で有界だカ・ら・最大値・3が存在し・II轍5，ξ）ll≦・3と すれば，
1Ψ伊）（5，ξ）XΨr）（5，ξ）II≦IIΨ！4）（5，ξ）II×llΨ14）（5，ξ）II≦定数×（52＋δ2）
2．石けん膜の性質 57
で押さえられるから，F3（ε，δ）の表面積を表す式（2。3．8）は，
礁1陣8，ξ）×重野）（s，ξ）陣s
≦∠1｛イ（定数X（5・＋δ・））d5｝4ξ ＝定数×（ε3＋εδ2）と書けて，
｛r3（ε，δ）の表面積｝ニ0（ε3＋εδ2） （2．3．9）
になる。
ここで，もし，Φ！1）（0，0），Φ12）（0，0）のなす角が120度でないとする。原点σ（0）と3 点δ動（0，0），κニ1，2，3，は，同一平面上にあるので，節2．1（3点スタイナー問題）よ
り，図2。21のような，
｛liδ・Φ11）（・，・）il＋IIδ・Φ！2）（・，・）II＋ilδ・Φ！3）（・，・）ll｝
＞｛llp（δ・）一δ・Φ！1）（・，・）ll＋llp（δ・）一δ・Φ12）（・，・）ll＋IP（δ・）一δ・Φ！3）（・，・）ll｝
を満たすP（δo）が，σ，（0）と直交しσ（0）を通る平面に存在する。このとき，原点と P（δo）を結ぶ線分をδ：δo一δに内分した点をP（δ）と定める。
。Φ11）（0，0）
ノ
！δΦ11）（0，0）
！／、・
ノ ノ δΦ！3）（・・／！σ（0）
δ・・耐論醗蝶！2）讐）（。，。）
図221：P（δo）とP（δ）の関係
このとき，ある定数c＞0に対し，十分小さなすべてのδに対して，
｛llδΦ11）（・，・）旧iδΦ！2）（…）II＋1δΦ13）（・，・）ll｝
一｛Ilp（δ）一δΦ11）（・，・）ll＋IIP（δ）一δΦ！2）（・，・）iI＋lp（δ）一δΦ13）（・，・）ll｝
＞oδ が成立する。
図222のように，Φ＝Φ（κ）に対して，上記のようにして作られた曲面rゴ，ゴ＝1，2，3
と，
P（δ），δΦ1κ）（0，0），P（δ）＋εσ8（0），εσ5（0）＋δΦ1κ）（0，0）
2．石けん膜の性質 58
を頂点とする長方形F！κ）（ε，δ）および，3点P（δ），δΦ1κ）（0，0），σ（0）と
3点P（δ）＋εσ、（0），εσ，（0）＋δΦ1κ）（0，0），εσ、（0）が頂点である2つの三角形の面積
（面積は0（δ2））和を礎）（ε，δ）とする。
δΦ！κ）（0，0） εσ3（0）＋δΦ1κ）（0，0）
σ（o） εσ5（o）
（δ）＋εσ、（o）
図2．22：新しく置き換えたもの このとき，r鯉，κニ1，2，3の面積の和は，
ε｛llP（δ）一δΦ！1）（・，・）ll＋lp（δ）一δΦ！2）（・，・）1＋lip（δ）一δΦ13）（…）l／
ヨ
になる。よって，δニε頁とおけば，
｛7（鳶）（ε，δ），κ＝1，2，3の表面積の和｝
一｛7！κ）（ε，δ），r鉾）岬，P望），κ一・，2βの面積の和／
じ ち
＞・εδ＋0（δ2）＋0（ε3＋δ3）＞一ε壱
2
が，十分小さなεに対して成立する。よって，曲面＆から7（軌ε，δ）を取り除き，
ッ鯉（ε，δ）とF＠，r野，r野をっなげた曲面が求める曲面Σkである。 証明終
2．3．2 1点を始点として接続している曲面の接続線4本が作る曲線 間の交角について
ここでは，縁のある曲面S（殉，（ブ，κは，1≦ゴ≠κ≦4の値を取り，S（殉＝S（励とする）
を，次の図2．23のように，5孟一平面上の正方形から，3次元空問への曲がった埋め 込みΦ（圃として考える。
曲面5》κ：［0，1）×［0，1）∋（5，孟）→Φ（圃（5，孟）， 1≦ブ≠κ≦4
ただし，S（殉＝S（励とし，曲面の接平面が存在するように，
Φ！ゴκ）（5，孟）×Φ！ゴん）（3，孟）≠o
と仮定する。
2．石けん膜の性質 59
孟
1
（0，孟）
孟︶
．（吾，甲考）曾
0
150）1
5号．匝（鯉レ
曲面娠
・．．．．Φ（飾）（5，0）ニσ（」（5）
σ（ゴ〉
σ（κ）
図2．23：定義に基づいた曲線と曲面の関係
図2．23の太実線および細実線で示すように，5孟一平面上の5一軸およびト軸上の 点が移った像を曲面の縁と考える。すなわち，
曲線σ（ゴ）：［0，1）∋5→σ（ゴ）（5）
とすると，条件から，
Φ（ゴκ）（5，0）＝σ（ゴ）（5），Φ（ゴκ）（o，f）一σ（κ）（舌）
となり，
σ（1〉（0）一σ（2）（0）一σ（3）（0）一σ（4）（0）
と仮定する。このとき，この点σ（ゴ）（0）を原点0としてその近傍で考えた全体の様子 を示したのが，図2．24である。
S1 σ（1〉
6 SI S14
Φ（ゴκ）1 響冒．．＿響）
σ（22一一一マ㌧∫＼σ（4）
。 3 ＆3㌧一一一菊34防4
σ（3）
図2，24：定義に基づいたσ（ゴ）と5冤の関係図
図2．24より，定義に基づいてできた曲面は6っあり，曲面の境界線は，ある1点 を始点として4本できる。このとき，6っの曲面の表面積の和が最小になるのはど
んな状態のときかを調べていく。命題2．3．2．上述の曲面達5冤，（1≦ブ≠κ≦4）を与え，σ鯉（0），（κ＝1，2，3，4）の 任意の2個のベクトルは一次独立とする。また，Φ（ゴκ）（5，孟）は，解析的であると仮定 する。
0
∫（調i
3
2．石けん膜の性質 60
S12 σ（1）