話F
4 の の ッ＝動のグラフ Ψ＝z2のグラフ
2つのグラフのコpが0→4に変化するときの変化の割合は同じ
▲
一 一 ｝
6
になる。変化の割合が同じだから，同じグラフだと言ってよいか問いか け，始点と終点だけに着目すれば同じ変化の割合なのに，なぜグラフの 形が違うのか考えさせたい。
（iii）．zが0，1，2，3，4のときのッの値を計算し表を作る。そして，細かい変化の 割合を求め，比較させる。
￠の値 0 1 2
3 4
（孟）の穿の値 0 4 8 12 16
（B）の穿の値 0 1 4
9 16この表を利用して，zが1ずつ増加したときの変化の割合を求める。
のの変化（変化量は1）0→1 1→2 2→3 3→4
（ハ）のッの変化量
4 4 4 4
（B）のgの変化量
1 3 5 7
変化の割合求めるときは，のとッの変化量を丁寧に計算させることが必要 である。そして，変化の割合の定義に振り返り，次のステップヘの準備
とする。
（iv），変化量の表を使って，グラフ用紙に変化の様子を書き込む。
図3．6のように，階段の頂点を結べば，グラフの形が見えてくる。変化の 割合の違いでグラフの形が変わることを感じ取らせたい。
さらに，図3．7のように，（B）についてzの変化量をもっと細かく（例え ば￠の増加量を圭）していき，階段の頂点を結べば，よりΨ＝z2のグラ フに近づいていく。
のの値
0
1−21
3−22
5−23
7﹄24
（B）のツの値
0
1﹃41
9−44
25−9
49− 163．数学を身近に感じる教材例
88
（ハ）の変化の割合の様子 （β）の変化の割合の様子 ツ レ
十弾変化する
』＿変化褐1尋は7変化褐
〆魂4変化する〆一Ψは5変化する
十卿変化する 1蝿轄欝
あは1ずっ劉ヒする1は1ずつ変化する
図3。61階段の先を結ぶとグラフの形が見える 記の変化（変化量は巻） 0→！ 2 1→12 1→旦 2 旦→22
（B）のツの変化量
上4 旦4 旦4 ヱ4
灘の変化（変化量は麦）
2→皇垂→33→ヱヱ→3
2 2 2 2（B）のッの変化量
11一4 13一4 些4
ツ
（B）の変化の割合の様子
zは器ずつ変化する
、図3。7；zの変化量を奏ずつにしたときの変化の割合
（v）．灘の変化量をさらに小さくして，変化の割合をさらに詳しく調べること
は，高校の微分の学習のr微分係数」r極限値」の定義につながっていく
ことを話す。3．数学を身近に感じる教材例
89
3．3 「微分する」ことが，何をしていることかイメージ できる教材例
L 題名「『微分する』意味について考える〜面積が変化すること〜」
2．目的
・平均変化率についての考えを深め，微分することの意義について理解するこ とができる。
・微分すると言うことがどういうことなのかとらえるために，図形の面積と周 の長さの関係を取り上げ，数学のおもしろさを感じることができる。
3．対象 高校生で微分を学習している生徒
4．時間全1時間
5．教材について
本教材は，平均変化率を調べて極限を取ることと，微分するという関係が理解 できるように，面積の微小な変化に着目して設定した。
生徒達は，微分を学習していくにつれて，平均変化率・微分係数や微分する，
などといった概念が忘れ去られ，機械のように計算するだけにとどまってしま いがちである。しかしながら，これらの概念がイメージできると言うことは，
微分積分学を学習するための基本となる考えや定義を理解することにつなが
る。また，計算練習のみになりがちな微分の単元の内容の理解をより深めるた めにもとても重要である。今回は，まず円の面積の変化にっいて半径を微小に変化させたときの平均変
化率を考えて半径の変化率をどんどん小さくして，極限を取ったときの式が，何を表しているのか，面積と周の長さにある隠された関係に気づかせたい。
つぎに，正方形の面積の変化率について円のときと同様に調べていく。そのと き，どのように面積を変化させるのか，変化しているのはどの部分かに着目さ せて，平均変化率を出し，極限値を求める。ただ単に微分して値が出てくるの ではなく，常に「何が変化しているのか」ということに注意を向けて微分する ことは，何をしているのかと言うことを理解させたい。そして，面積と周の長 さの関係に気づかせたい。
ところで，目常生活には，乗り物の瞬間速度を測定したり，ある点でかかる力 の大きさや方向を調べたりすることがある。すなわち，「微小区間の変化」に ついて調べることは，調べようとしていることの関係を知る大切な情報を持っ ている。この教材を通して，生徒に「微分する意味」をっかませたい。
6．教材使用のねらい
3．数学を身近に感じる教材例
90
面積の微小変化について，どの部分が変化しているために面積が変わったのか とらえることで，微分するということの意味を知ることができる。また，面積 と周の長さの隠された関係にっいて気づくことで，微分の楽しさに触れること ができる。
7．授業の展開例
︵i︶︐
（ii），
（iii）．
半径7の円の面積S（S＝π72），円周の長さL（Lニ2π7）の公式を確認する。
「円の面積Sを半径7で微分する意味について考えよう」という課題を
通して，「微分する」ことの定義を振り返る。「円の面積Sを半径7で微分する」ことの定義を確認する。
半径7が，7→γ＋ん（んは微小な増加）に変化したときの変化量を求め 平均変化率を出し，んを限りなく0に近づけ7＋んの極限を取る。
すなわち，ある微分可能な関数六ω）から導関数∫ （z）を求めること。
具体的な図を用いてどこが変化しているのか理解する必要がある。例え ば，図3．8を提示する。図3．8は，半径7が7＋んに変化したときにでき る面積の変化部分を示す。すなわち，斜線部分の面積を求めることが面 積の変化量を求めることになる。
・だ
汐
7図3．8：斜線部は半径7が7＋んに変化したときにできる面積の増加部分
（iv）。半径7の変化量と面積Sの変化量から，平均変化率を出しんを限りなく
0に近づける。
面積の変化量 π（7＋ん）2一π72 平均変化率＝ 二
半径の変化量 （7＋ん）一7 2π地＋27rん2
ん
＝2π7十2πん だから，
1im（2π7十2πん）＝2π7 ん→0
となる。
3．数学を身近に感じる教材例
91
面積を半径で微分すると言うことは，半径を微小に増加させ，その後増 加分を0に近づけていくという作業をしていることである。生徒が，外 側の円周が内側の円周に近づいていくことをイメージさせたい。
（v）．他の図形でも面積を微分すると周の長さになるのか調べる・
例として，正方形をとりあげる。1辺が7の正方形の面積Sは，Sニ72
である。そして，生徒がどのような変化を考えたのか分かるよう図を書き，平均
変化率をだして極限値を求める。（ハ） （β）
ノ〆γ十
7
一一
2
（0）
rγ十2
図3．9：正方形における面積の増加のさせ方の例 図3．9のような例を考えると，
（ハ）の場合
増加した量：ん
面積の変化量：（7＋ん）2−72
（B）の場合
ん
増加した量1−
2
面積の変化量：（7＋ん）2−T2
（0）の場合
増加した量：ん
面積の変化量：（7＋2ん）2−72 であることに注意する。
また，んを限りなく0に近づけたとき，増加した面積はどのようにはじめ の図形に近づいていくかイメージさせながら極限値を求めることで，「微 分する」意味を感じ取らせたい。
さらに，時間のある生徒には，長方形や正三角形などについても調べさ せるとより微分することは何かについて理解を深め，さらなる微分の楽
しさを味わわせたい。
3．数学を身近に感じる教材例
92
3．4 自然現象においてr微分法の活用」が実感できる教 材例
1．題名rスネルの法則を証明しよう」
2．目的
・自然現象を調べる手段として，微分が活用されていることを知り，微分への 興味・関心を持つことができる。
3．対象 高校生で無理関数・合成関数の微分を学習している生徒
4．時間全1時間
5．教材について
本教材は，高校物理の学習内容であるr光の性質」の中のrスネルの法則」に
着目する。物理の教科書には，「スネルの法則」が成り立つことを図を使って 説明している。しかし，光が，ある点から別の点に進むときに，その間の光学 距離が最短な道筋になるように進むという性質（フェルマーの原理）を使った説明はされていない。しかし，最小問題は，微分法を用いて証明することが
多い。そこで，微分法を学習した生徒に，微分法が自然現象を調べるために活用され ている例として「スネルの法則」を取り上げる。しかし，一般の文字を使って の証明は，無理関数や合成関数の微分をするので，微分の計算を慣れていない 生徒には，かなり複雑な計算になると考えた。そこで，具体的な位置を座標で 指定し証明していく方法をとった。また，「スネルの法則」を証明することに よって，物理の時問で学習した公式が，なぜ成り立つのかをっかむ教材になる と考えられる。
この学習を通して，生徒が身近な事象を数学的にとらえ，自然事象の性質の解 明のために微分法が用いられていることを感じてほしいと思う。
6．教材使用のねらい
光の性質（光学距離が最短な道筋を通る）を使って，スネルの法則が導かれる ことを知り，自然事象の解明には微分法が活用されていることを感じ取ること
ができる。
7．授業の展開例
（i）．物理で学習したrスネルの法則」の式を確認する。
スネルの法則は，屈折の法則ともいわれている。