2．石けん膜の性質 45
と表されるから，
∫（鋤一1國国1訓国1副1
2．石けん膜の性質 46
2．2 正四面体に張られる膜
この節では，石けん膜の性質を利用して，正四面体の内部に張られる6つの三角
形の膜が共有している頂点は，正四面体のどこなのか調べる。図2．9ように，正四面体の各頂点0，ハ，一B，0に座標を当てる。点Pは，6つの三 角形の膜が共有している頂点である。そして，
0／4＝財，OBニu，00＝ω，OP＝ξ
とおく。
o（穿，o，穿）
ω P
ξ 0（0，0，％
B（穿，奏，o）
溢（婆，一毒，o）
図2．9：正四面体
このとき，正四面体OAβ0の枠に張られた6っの三角形の膜となる△PO盈，△PみB，
△PBO，△Pσ0，△PO・4，△POBの面積の総和が，最小になるときの点Pの位置
を求める。ただし一Pは，正四面体の内部あるいは周上の点とする。命題2．2．1．6つの三角形の面積の和が最小にする点Pは，正四面体の重心である。
σ
0
3
．Bハ
図2．10：正四面体の重心P
ところで，正四面体の重心Pは，図2．10のように，頂点0をから△0！1−Bの重心
Eに引いた線分を3：1に内分する点である。このとき，同じ接続線を共有する内部
の三角形の交角は120度であり，4本の接続線は，その共有点において等角に交
わり，その角をθとすれば，COSθ＝一毒である。2．石けん膜の性質 47
ここで補題として，ベクトルについての微分の結果を書いておく。
（ベクトルの外積についての定義や性質については，佐竹一郎著［8】を参照）
R3上のベクトルα，δの外積とは，図2．11のように，2っのベクトルα，δに垂直で，
それらの定める平行四辺形の面積
1回llδII sinθ （θは，αとδのなす角）
に等しい大きさのベクトルであり，α×δで表す。
α×わ
1 … 17
α
図2。11：外積の図形的意味
補題2・22・一般に，ξ（5）を5の一次式，（すなわちξ（8）＝8ξo＋ξ1，ただし，ξo，ξ1 は定ベクトル），ηを定ベクトル，ξ×η≠0とすれば，
旦1ξ×η1一亘（1ξ×η ）2）圭一（ ×η，ξ×η） （2．2．・）
43 45 ilξ×η1
d2 （ξ、×η，ξs×η）（ξ，×η，ξ×η）2
漂ilξ×η1ニ Iξ×ηII i！ξ×η 3
」［ξ3×η1×［ξ×ηlll2」1（ξ5，ξ×η）ηiP≧。
iiξ×η1！3 1ξ×η13 （22，2）
命題2．2．1の証明 6つの三角形の面積の総和をSとすると，
S＝1△PO／11十1△PBOl十1△POOl十1△P／1BI十1△POBI十1△PO／1「
と書ける。ベクトルを使えば，
1
Sニー｛ ξ×矧1＋ ξ× ll＋ilξ×ω ＋ll（ξ一賜）×（％一u）
2
＋ll（ξ一u）×（ω一u）ll＋IKξ一ω）×（u一ω） ｝
と表され，Sは，ξに関して連続だから，最小値を取るξが存在する。
ここで，次の3つの場合に分けて考える。
場合1．Pが頂点と一致する場合
場合2．Pが辺上にある場合
場合3．その他の場合2．石けん膜の性質 48
ω
U B O
uニ
（P）
図2．12：Pが頂点と一致する場合 場合1 −Pが頂点と一致する場合。
例として，図2．12のように，Pがハと一致する場合を考える。
この場合，OP＝0。4，すなわち，ξ＝％だから，ξ×賜二〇となる。よって，張 られる膜は，
△Pβ0（△。4β0）， △POO（ムノ100）， △POB（△140B）
の3面になる。このときの面積の総和は，
S一（1×・×乎）×3一華 （乞乞3）
になる。
場合2 Pが辺上にある場合。
例として，図2．13のように・4B上にあるとする。
・ζく湘姦薄，8，・）
、 （穿，0，0）
（亨，o，o）
図2．13：Pは・4β上を動く
このとき，Pの座標を（4，5，0）とする。ただし，（一奏＜5＜巷）とすると，面積の
総和Sは，
S＝1△α4Bl十1△、4βq＋1△00Pl
と書けるが，
畜
1△α4Bl＝i△・4βqニー
42．石けん膜の性質 49
なので，i△00PIの面積が最小になればよい。
ところで，図2．13より，△0（2E〜△OpPで，相似比は213だから，
2 陶∬1一一5 3
△0丑（〜は，直角三角形だから，
1σGl一厨一挿
また，
1・P唇暦一1癖
になるから，
1△00Pl−liOPllO9卜毒〉爾
よって，
∫（5）＝（3＋452）（6＋452） （2．2．4）
としたとき，∫（5）が最小となる8を見つければよい。したがって，
〃
一＝85（6＋432）＋85（3＋452）一85（852＋9）
4s
42∫ 2
一＝＝1928 十72＞0 452
より，∫（5）は，5ニ0のとき，最小になる。すなわち，点Pが．Aβの中点の時に，面