40
2．石けん膜の性質 41
石けん膜は，与えられた枠の中で，なるべく面積が最小，あるいは極小になるよ うな膜を張るという性質がある。
この章では，微分を使ってその規則性を解析し，石けん膜の性質を調べていく。
第1節では，3点スタイナー問題について，まず，微分を用いない方法で証明す
る。この証明法は，後で紹介する中学校選択数学の教材の展開例で取り入れている。次に，微分法を後いて，3点スタイナー問題の証明を与え，第3節において利用
する。
第2節では，観察から得られた正四面体の枠に張られた膜が，どのような状態で
安定しているのかを調べていく。第3節では，石けん膜の一般的な張り方に着目する。
実験や観察を繰り返すと，石けん膜は，色々な枠の中で膜を作る。そこで，膜の 張り方関する2つの事象について調べていく。
1つめは，縁のある3曲面が，同一の曲線を共通の縁（これを接続線という）と して接続しているとき，これら3つの曲面の面積の総和が極小または最小になるの
は，それぞれの曲面が，どのような交角を作っている状態かを調べていく。2っめは，1点を始点として接続している（この点を接続点という）接続線4本
が，どのような交角を作っているのか調べていく。2．1 3点スタイナー問題について
問題2。L1．平面上に，同一直線上にない3点A，B，0がある。同じ平面にある点P をとる。このとき，3点とPを結ぶ距離の総和P。4＋、PB＋POが最小になるとき，
Pは，どのような位置にあるときか。
補題2．1．1．P．4＋PB＋POを最小にする点一Pは，△ABσの周上か内部にある。
証明 図2．4のように，点0とPが，直線A8について反対側にあるとする。ま た，0からPP におろした垂線の足をHとする。
いノ
ハ
o
B
P
PE
︵1︶
k∠ノ
且
0 B
P E
P（2）
図2．4；直線。4βと点σ，Pの関係
このとき，図2。4の（1），（2）ともに，Pノ∬〈PEである。よって，三平方の定理
から，
P σ2＝OE2＋P 解＜OE2＋PE2＝．PO2
2．石けん膜の性質 42
だから，P 0＜一POになる。よって，P。4＋Pβ＋POを最小にする点Pは，直線 AB上か直線ハβについて0と同じ側にある。
同様に，直線Bσ，直線OAにっいて考えていけば，一Pは，直線βσ上か直線Bσ
について孟と同じ側にあり，直線0・4上か直線0・4についてBと同じ側にある。したがって，P．4＋Pβ＋POを最小にする点Pは，△。4β0の周上か内部にある。
証明終
命題2．1．2．平面上に同一直線上にない3点ハ，B，0がある。△。4BOの内部または
周上にある点Pをとると，PA＋PB＋Pσが最小になるPは，次の各場合に分け
られる。
（1）すべての内角が120度未満のときは，∠・4PB＝∠βPO＝∠OP・4＝1200
となるような点Pが△。4BOの内部に存在する。（2）一つの内角が120度以上のとき（∠．A≧120Qとする）は，点Pは，点ハと一
致する。
証明 （1）すべての内角が120度未満のとき
ハ
．（2
0
図2・5：△ABOとその内部の点P（P≠・4）
図2，5のように，△、4．80とその周上または内部の点一Pに対して，△。4BP，△P−B（〜
が正三角形になるようにD，Qをとる。
このとき，△ABPと△DBQで，
・4B＝Pβ， Pβ＝9B， 乙4βP＝∠Pβ（〜
より，ムハBP…△五）jg（〜となるから，
P／1十PB十Pσ＝P（2十（〜P十PO≧PO
が成り立っ。
だから，P．A＋Pβ＋POニPOになる点Pが存在すれば，この点が求めるもの
である。
このような点は，図2．6のように正三角形。4σEをBの反対側に作り，同様の議
論を行えば，線分一〇〇とBEとの交点P＊として求められる。2．石けん膜の性質 43
E
P＊
B O
図2．61P、4＋PB＋Pσが最小になる点P＊
次に，P＊。4，P＊B，P＊0のなす角について調べる。図2．6から，
ムハB五7≡ムノ1五）0より，∠ノ1βE・＝∠。4五）0 したがって，4点、4，P，B，P＊は同一円周上にある。よって，
∠P超＝∠1）P＊β＝60。，乙4−P＊一D＝∠ハBO＝600
になるから，∠AP＊B＝120Qが得られる。
また，
∠BP＊0＝1800 一∠1）P＊B
より，∠EP＊0ニ1200，さらに，∠βP＊0＝1200が導かれる。ところで，P．4＋PB＋PO＝POであればPは線分PO上にあり，P。4＋PB＋PO＝
βEであればPは線分一βE上にある。そのどちらも満たす点はP＊のみである。
よって，上述の点P＊をあらためてPとおけば，△。4β0のすべての内角が120 度未満のとき，∠・4PB＝∠BPσ＝∠OP・4ニ1200となるような点Pが△・4BOの
内部に存在する。（2）1つの内角が120度以上のとき
例として，∠BAσ≧120Qで，△ABOの内部または周上の点P≠。4とする。
（乞）図2，7のようにPβ＞、4Bのとき
ハ
B σ
図2．7：PB＞、4Bのときの・4，B，σ，Pの位置関係
このときは，P。4＋PB＋PO＞。4B＋PA＋PO＞、4B＋AOになる。
（劾図2。8のように一PB≦ABのとき
2．石けん膜の性質 44
D
o
図2．8：Pβ≦。4Bのときの。4，．B，0，Pの位置関係
図2．8における△・4BPおよび△BP（2は正三角形として，△。4BP≡△PB（2だ
から，
P／1十PB十PO二五）（2十（2P十PO≧五）P十PO
＞五）ノ1十ノ10＝ノ1B十ノ10が成り立つ。よって，（￠），（萄の場合において，P．A＋PB＋一PO≧・4B＋・40が言
える。
したがって，△。4BOの1つの内角∠。4≧1200のとき，求める点Pは孟と一致し，
。4B＋ノ10が最小になる。 証明終
この証明法については，後述の指導案の中に用いる。
また，微分法を用いて証明すれば，頂点以外の点で極小になるPがP・4＋PB＋Pσ を最小にする点であることが分かる。
命題2．1．3．3点・4，B，0以外のある点PでP・4＋PB＋POが極小になれば，その 点でP．A＋PB＋POは，最小となる。
証明
4点。4，B，0，Pを
ハー（1）・B一（曽），・一（ll），P一（1）
とし，z軸ッ軸方向の単位ベクトルをそれぞれ 宙一（1），房一（1）
とする。このとき，
ゑ（1），並eの炉一（1功
2．石けん膜の性質 45
と表されるから，