Riegert 場

Riegert-Wess-Zumino作用(5.2.2)は、Minkowski背景時空では、−(b1/8π²)×

∫ d⁴xϕ∂⁴ϕで与えられる。このときRiegert場ϕに比例した項は消える。

その項の寄与は次節で導入するストレステンソルに現れる。

高階微分場である重力場をDiracの処方箋に従って正準量子化する。こ こでは共形モードについて議論する。新しい変数

χ=∂_ηϕ (6.3.1)

を導入するとRiegert場の作用は S_RWZ =

∫

d⁴x

{

− b₁ 8π²

[

(∂_ηχ)²+ 2χ∂|²χ+⁽∂|²ϕ⁾²

]

+v(∂_ηϕ−χ)

}

のように2階微分の作用関数に書き換えることができる。最後の項は La-grange未定定数(Lagrange multiplier)である。これよりχ、ϕ、vの正準 共役運動量Pχ、Pϕ、Pvを求め、Poisson括弧

{χ(η,x),Pχ(η,x^′)}P={ϕ(η,x),Pϕ(η,x^′)}P

={v(η,x), P_v(η,x^′)}P =δ₃(x−x^′) を設定する。

新しい場χ は時間について2階微分なので通常の運動量変数 P_χ =

−(b₁/4π²)∂_ηχを持つが、ϕとvはそれぞれ1階及び0階微分なので拘束 条件⁵

φ₁ =P_ϕ−v ≃0, φ₂ =P_v ≃0

5Lagrange未定定数項を(v∂_ηϕ−ϕ∂_ηv)/2のように対称化して考えると、拘束条件 はφ1=Pϕ−v/2とφ2=Pv+ϕ/2になるが結果は同じである。

になる。拘束条件は六つの変数、ϕ、χ、v及びその共役運動量P_ϕ、Pχ、 Pv、が張る位相空間のなかの部分空間を表す。弱い等式はそれらが部分 位相空間上で等式として成り立つことを意味している。

拘束条件の間のPoisson括弧は Cab ={φa, φb}P=



 0 −1 1 0





となる。ここでは簡単のため3次元デルタ関数を1と表している。detC_ab ̸= 0を満たすことから、これらは第2種拘束条件と呼ばれるものである。第 二種拘束条件を扱うためにDiracの処方箋に従ってDirac括弧

{F, G}D={F, G}P− {F, φ_a}PC_ab⁻¹{φ_b, G}P

を導入する。Dirac括弧はPoisson括弧が満たす基本的な性質を満たして いる。任意関数F にたいして拘束条件が{F, φ_a}D = 0を満たすことか ら、Dirac括弧は部分位相空間上のPoisson括弧と見ることができる。F

としてHamilton関数を代入するとこれは拘束条件が時間発展しないこと

を表し、最初にφ_a = 0と置けば0が保たれることを意味する。したがっ て、Dirac括弧を使えば拘束条件は厳密な等式としてゼロと置くことがで きる。

部分位相空間の四つの変数の間のDirac括弧は

{χ(η,x),P_χ(η,x^′)}D={ϕ(η,x),P_ϕ(η,x^′)}D =δ₃(x−x^′) で与えられ、Hamilton関数は

H =

∫

d³x

{

−2π²

b₁ P²_χ+Pϕχ+ b₁ 8π²

[

2χ∂|²χ+⁽∂|²ϕ⁾²

]}

(6.3.2) と書ける。これより運動方程式は

∂_ηϕ = {ϕ, H}D =χ, ∂_ηχ={χ, H}D =−4π² b₁ P_χ,

∂ηPχ = {Pχ, H}D=−Pϕ− b₁ 2π²∂|²χ,

∂_ηP_ϕ = {P_ϕ, H}D =− b₁

4π²∂|⁴ϕ (6.3.3)

6.3. 重力場の量子化 83 となる。

正準量子化はDirac括弧を交換子に置き換えて

[ϕ(η,x),P_ϕ(η,x^′)] = [χ(η,x),P_χ(η,x^′)] =iδ₃(x−x^′) (6.3.4) と設定する。その他の交換子は消える。運動量変数は(6.3.3)より

P_χ=− b₁

4π²∂_ηχ, P_ϕ=−∂_ηP_χ− b₁

2π²∂|²χ (6.3.5) で与えられる。

Riegert場の運動方程式は∂⁴ϕ = 0で与えられる。運動量変数を用いて 表すと∂_ηP_ϕ=−(b₁/4π²)∂|⁴ϕとなる。その解はk_µx^µ =−ωη+k·xとす ると、e^ikµxµとηe^ikµxµ及びその複素共役で与えられる。ここで、ω=|k| である。

Riegert場はこれらの解を用いて展開される。場を消滅及び生成部分に

分けてϕ=ϕ_<+ϕ_>と書くと ϕ_<(x) = π

√b₁

∫ d³k (2π)^3/2

1

ω^3/2{a(k) +iωηb(k)}e^ikµxµ

ここで、ϕ> =ϕ^†_<である。これを変数の定義式(6.3.1)と(6.3.5)に代入す ると、それぞれの変数の消滅部分は

χ<(x) = −i π

√b₁

∫ d³k (2π)^3/2

1

ω^1/2 {a(k) + (−1 +iωη)b(k)}e^ikµxµ, P_χ<(x) =

√b1

4π

∫ d³k

(2π)^3/2ω^1/2{a(k) + (−2 +iωη)b(k)}e^ikµxµ, P_ϕ<(x) = −i

√b₁ 4π

∫ d³k

(2π)^3/2ω^3/2{a(k) + (1 +iωη)b(k)}e^ikµxµ となる。正準交換関係(6.3.4)から各モードの交換関係

[

a(k), a^†(k^′)^] = δ3(k−k^′),

[

a(k), b^†(k^′)^] = ^[b(k), a^†(k^′)^]=δ₃(k−k^′),

[

b(k), b^†(k^′)^] = 0

を得る。Hamilton演算子はモードを使って表すと H =

∫

d³kω^{a^†(k)b(k) +b^†(k)a(k)−b^†(k)b(k)^}

となる。ここで、Hamilton演算子は(6.3.2)を正規順序付けしたもので ある。