BRST 演算子

はスピン項が存在するために満たさない。プライマリー場のデッセンダ ントも変換則が乱れているので条件を満たさない。

物理的演算子Oの最も簡単な例はh_α = 4を持つ演算子Vα(6.5.6)であ る。条件式h_α = 4を解くとRiegert電荷は

α= 2b₁

(

1−

√

1− 4 b₁

)

(6.6.2) と決まる。このとき、二つある解のうち、重力場と結合している物質場の 数を無限大(ラージN極限)にする古典極限b₁ → ∞でαが正準値4に近 づく、すなわちVαが古典的な体積要素√−gに近づく方を選んでいる。こ の値を持つVαのことを量子論的な宇宙項演算子と呼ぶ。ここで、(6.1.4) よりb₁ >4なので、αは実数で与えられ、この演算子は重力理論から期 待されるように実演算子となる。

同様に、hβ = 2を持つプライマリスカラー場Rβは物理条件を満たす。

条件式を解いて、古典極限b1 → ∞で正準値2になる解を求めるとRiegert 電荷は

β = 2b₁

(

1−

√

1− 2 b₁

)

(6.6.3) と決まる。この解を持つRβを量子論的なRicciスカラーと呼ぶ。実際、

古典極限でβ →2、β/hβ →1となって定義式(6.5.8)から古典的なRicci スカラー√

−gRが得られることが分かる。

一般的には、h_γ = 4−2mを満たすRiegert電荷γ = 2b₁(1−^√1−(4−2m)/b₁) を持つプライマリースカラー場R^[m]γ はRicciスカラーのm乗√−gR^mに 相当する物理的演算子である。

6.7 BRST 演算子

この節では一般座標変換(6.2.4)のBRST演算子を考える。BRST変換 は15個のゲージ変数ζ^µをゲージゴーストc^µに置き換えた変換である。

ゲージゴーストは15個のGrassmannモード、c^λ₋、c^µν、c、c^λ₊を用いて c^λ = c^µ₋⁽ζ_T^λ)

µ+ c^µν(ζ_L^λ)

µν+ cζ_D^λ + c^µ₊⁽ζ_S^λ)

µ

= c^λ₋+ 2x_µc^µλ+x^λc +x²c^λ₊−2x^λx_µc^µ₊

と展開される。ここで、c^µνは反対称で、ゲージゴーストはHermite演算 子である。cとc^µνは無次元で、c^µ₋とc^µ₊はそれぞれ次元−1と1を持つ。

同時にゲージゴーストと同じ性質を持った15個の反ゴーストモードb^λ₋、 b^µν、b、b^λ₊を導入する。ゲージゴーストとの反交換関係を

{c,b}= 1, {c^µν,b^λσ}=η^µλη^νσ −η^µση^νλ, {c^µ₋,b^ν₊}={c^µ₊,b^ν₋}=η^µν

と設定すると、ゲージゴースト部分の共形代数(2.2.1)の生成子は P_gh^µ = i⁽−2bc^µ₊+ b^µ₊c + b^µ_λc^λ₊+ 2b^λ₊c^µ_λ⁾,

M_gh^µν = i⁽b^µ₊c^ν₋−b^ν₊c^µ₋+ b^µ₋c^ν₊−b^ν₋c^µ₊+ b^µλc^ν_λ −b^νλc^µ_λ⁾, Dgh = i

(

b^λ₋c+λ−b^λ₊c₋λ

)

, K_gh^µ = i

(

2bc^µ₋−b^µ₋c + b^µ_λc^λ₋+ 2b^λ₋c^µ_λ

)

で与えられる。以下、ゲージゴースト部分には“gh” をつける。

これらの生成子を用いると、BRST変換の生成子は Q_BRST = c^µ₋

(

P_µ+1 2P_µ^gh

)

+ c^µν

(

M_µν +1 2M_µν^gh

)

+ c

(

D+ 1 2D^gh

)

+c^µ₊

(

K_µ+1 2K_µ^gh

)

= c⁽D+D^gh)+ c^µν(M_µν+M_µν^gh)−bN −b^µνN_µν+ ˆQ と定義される。ここで、Pµ、Mµν、D、Kµはゲージゴースト部分以外の 共形変換の生成子の和である。その他の演算子は

N = 2ic^µ₊c_−µ, N^µν = i 2

(

c^µ₊c^ν₋+ c^µ₋c^ν₊⁾+ic^µλc^ν_λ, Qˆ = c^µ₋P_µ+ c^µ₊K_µ

6.7. BRST演算子 97 で与えられる。BRST演算子の冪ゼロ性は生成子P_µ、Mµν、D、Kµが満 たす共形代数を用いて

Q²_BRST= ˆQ²−N D−2ic^µ₊c^ν₋M_µν = 0

と示すことが出来る。BRST演算子と反ゴーストとの反交換関係は {Q_BRST,b}=D+D_gh, {Q_BRST,b^µν}= 2⁽M^µν+M_gh^µν), {Q_BRST,b^µ₋}=K^µ+K_gh^µ, {Q_BRST,b^µ₊}=P^µ+P_gh^µ

で与えられることから、冪ゼロ性は[Q_BRST, D+D_gh] = 0等を表している。

BRST変換は一般座標変換のゲージ自由度ζ^µをゲージゴースト場に置 き換えたものになる。 Riegert場のBRST変換はその共形変換則からす ぐに

i[Q_BRST, ϕ(x)] =c^µ∂_µϕ(x) + 1

4∂_µc^µ(x)

と導ける。前節で求めたVαやRβのようなプライマリースカラー場Oの BRST変換はその共形次元を∆とすると、

i[Q_BRST,O(x)] =c^µ∂_µO(x) + ∆

4∂_µc^µO(x)

と変換することが分かる。これより、前に示したように、∆ = 4のとき、

i[Q_BRST,

∫

d⁴xO(x)] =

∫

d⁴x∂_µ{c^µO(x)}= 0

のようにBRST不変になる。これは物理条件(6.6.1)を書き換えたもので ある。

ゲージゴースト場を使うとBRST不変な局所演算子を構成することが 出来る。完全反対称テンソルで足をつぶしたゲージゴーストの関数

ω= 1

4!ϵ_µνλσc^µc^νc^λc^σ を導入する。ゲージゴースト場のBRST変換は

i{Q_BRST, c^µ(x)}=c^ν∂_νc^µ(x)

で与えられることから、関数ωは

i[Q_BRST, ω(x)] =c^µ∂_µω(x) = −ω∂_µc^µ(x)

と変換する。このとき二番目の等式でc^µω = 0を使った。この交換関係 を使うと、ωと共形次元∆ = 4のプライマリースカラー場の積は

i[Q_BRST, ωO(x)] = 1

4(∆−4)ω∂_µc^µO(x) = 0 のようにBRST不変な局所演算子になる。

このように、BRST不変な場の演算子は共形次元が4のプライマリー スカラー場で与えられる。一方、プライマリーテンソル場やデッセンダン ト場全般は、スピン項の存在や良い変換性をもたないことのためBRST 不変にならないので、一般座標不変な物理演算子から排除される。