Conformal Bootstrap からの制限

3.8. Conformal Bootstrapからの制限 43

いま実数の場の相関関数を考えているので、物理的に怪しげな事をし ていなければ、OPE係数f∆,lは実数になるはずである。すなわち、その 二乗は正であることから

p_∆,l ≥0

となる。この正定値条件を新たに課すとOPEの右辺に現れる場の共形次 元に制限が付く。以下、具体的な結果を述べた後、その計算方法を簡単 に紹介する。

例えば、D = 4で共形次元dのスカラー場同士のOPEϕ_d×ϕ_d ∼ 1 + O∆+· · ·を考えると、その右辺に現れる最も低い共計次元をもったスカ ラー場にたいして

∆≤2 + 0.7(d−1)^1/2+ 2.1(d−1) + 0.43(d−1)^3/2+o((d−1)²)(3.8.2) のように上限が求められている。この条件はこの上限より高い共形次元 をもったスカラー場が存在しないといっているのではない。連続的、離 散的に関わらず右辺に現れるスカラー場は幾つあってもよいが、そのう ちの最低次元をもつスカラー場がこの範囲に入っていなければならない 事を示している。

同様の事をD = 2で行うと、二次元共形場理論の厳密解と無矛盾な結果 が得られる。例えばIsing模型ではϕ_dはスピン演算子σ、O_∆はエネルギー 演算子εで、それらの厳密な共形次元は離散的で、それぞれd= ∆_σ = 1/8 と∆ = ∆_ε = 1で与えられる。そこでd= 1/8と置いてOPEの右辺に最 初に現れるスカラー場の共形次元の上限値を調べると∆≤1の条件が出 てくる。厳密解の値∆ = 1はまさに許される上限値の際に現れる。さら に、その事実を使ってD= 3のIsing模型の解析を行うと、格子上のモン テカルロ計算と無矛盾な結果が得られる。

その具体的な解析方法を以下に簡単に紹介する。新しい座標z= 1/2 + X+iY を導入して、XとY についてのN次までの微分演算子

Λ[F] = ^∑

m,n=even 2≤m+n≤N

λ_m,n∂_X^m∂_YⁿF|X=Y=0

3.8. Conformal Bootstrapからの制限 45 を考える。ここで、X = Y = 0 (z = ¯z = 1/2)の点で評価するのは、単 に数値的に計算を実行する際にその点の収束性が良いからである。この 演算子を(3.8.1)に作用させると

∑

∆,l

p_∆,lΛ [F_d,∆,l] = 0 (3.8.3)

となる。この式は、もしすべての∆、lに対して不等式Λ[F_d,∆,l]≥0が満 たされるなら、正定値の条件p_∆,l ≥0に反することを表している。

はじめにOPEの構造が ϕ_d×ϕ_d∼1 + ^∑

∆≥f

O_∆+ ^∑

l>0 l=even

∑

∆≥D−2+l

O_∆,l

で与えられる場合を考える。ここで、右辺に現れるのスカラー場O∆の共 形次元にユニタリ性バウンドより強い制限∆ ≥ f を課している。一方、

l > 0のテンソル場に対してはユニタリ性バウンド以上の制限は加えてい

ない。このとき、dとfを固定して、すべての∆≥f (l = 0)とすべての

∆≥D−2 +l (l >0)に対する不等式の集合Λ[F_d,∆,l]≥0を考えたとき、

もしこの無限個の不等式系を満たす有限個の解λm,nが存在するなら、そ れはp_∆,l ≥0より^∑_∆,lp_∆,lΛ [F_d,∆,l]̸= 0となって条件式(3.8.3)と矛盾す る。従ってそのようなdとfの組み合わせは正定値の条件を満たさない ため禁止される。もし解がなければ逆にそのdとfの組は許される。こ のようにして値が許される領域を調べて行く。dを固定してf を次第に 大きくしていくとあるところで許容領域から禁止領域に入る。その値を f_c(d)とすると、それが∆の上限となって、ユニタリ性による許容領域が D/2−1≤∆≤fc(d)となる。

実際の計算では無限個の不等式を有限個にする必要がある。lに上限を 設け、各lの∆も離散化する。不等式系の解が有るか無いかの判定は線形 計画法(linear programing method)の応用問題である。ここでは解であ るλ_m,nの値そのものに意味はない。このようにして得られた式が(3.8.2) である。

さらに、OPEの構造を詳しく見るために、スカラー場O_∆の構造を分解 して考える。例えば、∆は連続な値をとるけれども、そのうち一点だけ許

容領域内に飛び地のように選び、残りのスカラー場に対して∆≥f^′ (≥f_c) の条件を課して同様の計算を行う。すなわち、ギャップの存在を想定して 計算すると、許容領域がさらに制限される。特に、許容領域内の一点と して臨界値∆ = f_cを選ぶと、三次元Ising模型のモンテカルロ計算と無 矛盾な結果∆_σ = 0.5182(3)と∆_ε = 1.413(1)を得ることが出来る。高次 元のスカラー場、テンソル場へと制限を強めていくと、さらに詳しい構 造を調べることが出来る。このようにして、離散的なOPEの構造が三次 元共形場理論の場合にも(準)解析的に見えてきている。