物理場の演算子

最後にゴーストの生成モードc^†_M とb^†_Mを含む物理状態について議論す る。例えばl = 2の場合、上記以外にBRST不変な状態として

{

−⁽√

2b₁−ipˆ^)2∑

M

ϵ_Mb^†_−Mc^†_M + ˆh^∑

M

ϵ_Ma^†1 2−Ma^†1

2M

}

|γ₂⟩ (7.4.1)

が存在する。ここで、ˆh= ˆp²/2 +b₁である。しかしながら、これはすで に上で与えた物理状態とBRST同等になることが分かる。

そのことを示すためにH|Υ⟩=RM N|Υ⟩= b|Υ⟩= b_{M N}|Υ⟩= 0を満た す新たな状態

|Υ⟩=⁽√

2b₁−iˆp^{) ∑}

M

ϵ_Mb^†_−Ma^†1 2M|γ₂⟩ を導入する。この状態にBRST演算子を掛けると

Q_BRST|Υ⟩ =

{

−⁽√

2b₁−ipˆ^)2∑

M

ϵ_Mb^†_−Mc^†_M + 4⁽√

2b₁−ipˆ⁾b^†₀₀ +2ˆh^∑

M

ϵ_Ma^†1 2−Ma^†1

2M

}

|γ₂⟩

となる。これより、ˆh|β⟩= 2|β⟩に注意すると、BRST不変な状態(7.4.1)は 1

2√

2S00^† |γ₂⟩+Q_BRST|Υ⟩

と書けて、物理状態S00|γ₂⟩とBRST同等であることが示せる。

一般に、Aにゴーストモードが含まれる物理状態は標準形(7.3.3)で与 えられる物理状態とBRST同等になると思われる。そのため、本書では 標準形のみを考えることにする。

7.5. 物理場の演算子 121 カラー場から構成される。そのような演算子を求めるために先ずRiegert 場のn乗演算子

:ϕⁿ:=: (ϕ_>+ϕ₀+ϕ_<)ⁿ:=

∑n k=0

n!

(n−k)!k!ϕⁿ_>^−k(ϕ₀ +ϕ_<)^k の変換則について議論する。ここで、ϕ0 = (ˆq+ηp)/ˆ √

2b1はゼロモード、

ϕ_<は消滅演算子部分、ϕ>(= ϕ^†_<)は生成演算子部分である。 n = 1の場 合はRiegert場の一般座標変換(7.2.2)である。

時間発展(dilatationに相当)とS³回転の変換則は i[H,:ϕⁿ:] =∂_η :ϕⁿ:, i[R_{M N},:ϕⁿ:] = ˆ∇j

(

ζ_{M N}^j :ϕⁿ:⁾

で与えられる。これらの変換則に量子補正は現れない。これらに対して 特殊共形変換にはゼロモード部分から量子補正項が現れる。Riegert場の 各パートは特殊共形変換の下で

i[Q_M, ϕ_>] = ζ_M^µ∇ˆµϕ_>+ζ_M⁰ ∂_ηϕ₀+1

4∇ˆµζ_M^µ, i[Q_M, ϕ₀+ϕ_<] = ζ_M^µ∇ˆµϕ_<

と変換するこに注意すると、

i[Q_M,:ϕⁿ:] =ζ_M^µ∇ˆµ :ϕⁿ: +n

4∇ˆµζ_M^µ :ϕⁿ⁻¹:− 1

16b₁n(n−1) ˆ∇µζ_M^µ :ϕⁿ⁻²: を得る。右辺の最後の項が量子補正で、ゼロモードの交換関係[ϕ₀, ∂_ηϕ₀] = i/2b₁から

∂_η(ϕ₀+ϕ_<)^k = k∂_ηϕ_<(ϕ₀+ϕ_<)^k−1+k∂_ηϕ₀(ϕ₀+ϕ_<)^k−1 +i 1

4b₁k(k−1) (ϕ₀+ϕ_<)^k−2

が成り立つこと、及び関係式iζ_M⁰ = ˆ∇µζ_M^µ/4を使うと出てくる。

これらの変換則から最も簡単なプライマリースカラー場は Vα =:e^αϕ:=

∑∞ n=0

αⁿ

n! :ϕⁿ:=e^αϕ>e^αϕ0e^αϕ<

で与えられることが分かる。ここで、ゼロモード項はe^αϕ0 =e^{qα/ˆ √2b1}e^{ηpα/ˆ √2b1}e^{−iηα2/4b1} と定義される。その変換則はi[H,Vα] =∂ηVα、i[RM N,Vα] = ˆ∇j(ζ_{M N}^j Vα)、

i[Q_M,Vα] =ζ_M^µ∇ˆµVα+h_α 4

∇ˆµζ_M^µVα,

で与えられる。共形次元h_αは前章で求めたh_α =α−α²/4b₁(6.5.7)で与 えられる。VαがHermite演算子になるようにRiegert電荷αを実数とす ると、並進Q^†_Mの変換則は右辺のζ_M^µ をζ_M^µ∗に置き換えたものになる。こ れらの変換則はBRST演算子を用いると一つの式

i[Q_BRST,Vα] =c^µ∇ˆµVα+h_α 4

∇ˆµc^µVα

で表される。

これより、hα = 4を持つプライマリースカラー演算子Vαを時空体積で 積分したものは

i

[

Q_BRST,

∫

dΩ₄Vα

]

=

∫

dΩ₄∇ˆµ(c^µVα) = 0

のようにBRST不変になる。ここで、dΩ4 =dηdΩ₃は時空体積要素であ る。この条件は場の演算子が15個すべての生成子と交換することと同等 である。さらに、前と同様に完全反対称テンソルで足をつぶしたゲージ ゴースト場の関数ω = (1/4!)×ϵ_µνλσc^µc^νc^λc^σを導入すると、この関数が BRST変換の下でi[QBRST, ω] =−ω∇ˆµc^µと変換することから、積ωVαは

i[Q_BRST, ωVα] = 1

4(h_α−4)ω∇ˆµc^µVα = 0

のように局所的にBRST不変な場の演算子になる。Riegert電荷は前章の (6.6.2)で求めたα= 2b₁(1−^√1−4/b₁)で与えられる。この値を持つVa

は量子補正を含んだ物理的時空体積要素である。

次に、Ricciスカラー曲率に相当する場の演算子を考える。微分を二つ 持つプライマリースカラー場は

Rβ = :e^βϕ

(

∇ˆ²ϕ+ β h_β

∇ˆµϕ∇ˆ^µϕ−h_β β

)

:

= R¹β + β

h_βR²β− h_β β Vβ

7.6. 状態演算子対応と内積 123