BRST 演算子と物理状態の条件

7.3. BRST演算子と物理状態の条件 111

R^gh_{M N} = −c_Mb^†_N + c^†_Nb_M +ϵ_Mϵ_N ⁽c_−Nb^†_−M −c^†_−Mb_−N⁾

−^∑

L

(c_LMb_LN −c_{N L}b_{M L}), Q^gh_M = −2c_Mb−cb_M −^∑

L

(2c_LMb_L+ c_Lb_{M L}), Q^gh_M^† = 2c^†_Mb + cb^†_M +^∑

L

(

2c_{M L}b^†_L+ c^†_Lb_LM⁾ (7.3.1) を構成することが出来る。以下ではこのゴースト部分を含めた共形変換 の生成子を

H = H+H^gh, RM N =R_{M N}+R^gh_{M N}, QM = Q_M +Q^gh_M, Q^†M =Q^†_M +Q^gh_M^†

と表すことにする。ここで、H、RM N、QM、Q^†_M は前節で求めた生成子 の和である。

背景時空R×S³上で定義された一般座標変換(6.2.4)のBRST演算子は Q_BRST = cH+^∑

M

(

c^†_MQ_M + c_MQ^†_M⁾+ ^∑

M,N

c_{M N}R_{M N} +1

2cH^gh+1 2

∑

M

(

c^†_MQ^gh_M + c_MQ^gh_M^†)+1 2

∑

M,N

c_{M N}R^gh_{M N} で与えられる。さらに変形すると

Q_BRST = cH+ ^∑

M,N

c_{M N}RM N−bM − ^∑

M,N

b_{M N}Y_{M N} + ˆQ

と書き換えることが出来る。ここで、HとRM N は上で定義したすべて のモードを含む生成子である。その他の演算子項は

M = 2^∑

M

c^†_Mc_M, Y_{M N} = c^†_Mc_N +^∑

L

c_{M L}c_LN, Qˆ = ^∑

M

(

c^†_MQ_M + c_MQ^†_M⁾

で定義される。この式を使うと冪ゼロ性は、共形代数(4.1.8)を用いて、

Q²_BRST = Qˆ²−MH −2^∑

M,N

c^†_Mc_N

[

RM N+^∑

L

(c_LMb_LN −c_{N L}b_{M L})

]

= Qˆ²−M H−2 ^∑

M,N

c^†_Mc_NR_{M N} = 0

7.3. BRST演算子と物理状態の条件 113 と示すことが出来る。

BRST演算子と反ゴーストモードの反交換関係は

{QBRST,b} = H, {QBRST,bM N}= 2RM N, {QBRST,bM} = QM,

{

QBRST,b^†_M

}

=Q^†M

で与えられことから、冪ゼロ性はすべてのモードを含む共形変換の生 成子とBRST演算子が [Q_BRST,H] = [Q_BRST,RM N] = [Q_BRST,QM] = [Q_BRST,Q^†M] = 0のように交換することを表している。

BRST変換は一般座標変換のゲージ変数ζ^µをゲージゴースト場c^µに置 き換えたもので与えられる。それはいまBRST演算子との交換関係を用 いて、

i[Q_BRST, ϕ] =c^µ∇ˆµϕ+1 4

∇ˆµc^µ

のように表される。その他の場についても同様である。ゲージゴースト 場の場合は反交換関係を用いて

i{Q_BRST, c^µ}=c^ν∇ˆνc^µ で与えられる。

物理状態はBRST不変な状態として表される。以下では、それを|Ψ⟩ として、

Q_BRST|Ψ⟩= 0 を満たす状態を構成することを考える。

はじめに、真空状態をいくつか定義する。ゲージゴースト部分とその 他の部分に分けて、先ず後者についてa_{J M} やb_{J M}などの消滅演算子及び Riegert場のゼロモードpˆで消えるFock真空を|0⟩と書く。さらに、ゲー ジゴースト部分を除いた共形変換の生成子H、RM N、QM、Q^†_Mのすべて に対して消える共形不変な真空を

|Ω⟩=e^−2b1ϕ0(0)|0⟩

と書くことにする。ここで、ϕ0(0) = ˆq/√

2b₁である。真空Ω⟩及びその Hermite共役⟨Ω|はどちらも背景電荷としてRiegert電荷−2b₁ を持つ。

そのため共形不変な真空がもつ全背景電荷は−4b1である。この電荷は Riegert-Wess-Zumino作用の線形項に由来する。

ゴースト部分のすべての生成子(7.3.1)に対して消える共形不変な真空 を|0⟩ghと書くことにする。これはすべての反ゴーストに対して消えるが、

ゴーストに対しては消えない真空である。一方、消滅演算子c_M とb_M を 作用させると消えるFock真空は共形不変な真空を用いて^∏_Mc_M|0⟩ghと 表される。

Hamilton演算子HはゴーストのcとcM N、反ゴーストのbとbM Nを 含まない。そのため、ゴースト真空^∏c_M|0⟩ghは縮退している。縮退の相 棒はこの真空にcや^∏c_{M N}を掛けたものである。その内積構造について は後で議論する。

便宜のため、Riegert電荷γを持つFock真空

|γ⟩=e^γϕ0(0)|Ω⟩ ⊗^∏

M

c_M|0⟩gh

を導入する。この状態はH|γ⟩= (h_γ−4)|γ⟩を満たす。ここで、−4はゴー スト部分に由来する。また、ipˆ|γ⟩= (γ/√

2b₁−√

2b₁)|γ⟩を使った。

物理状態はこのFock真空にa^†_{J M}やb^†_{J M}などの生成演算子、ゴースト系 の生成演算子c^†_M とb^†_M及びゼロモードpˆを掛けて構成される。ゼロモー ドpˆについては適当な数に置き換えても良い。Fock真空はbとb_{M N}を掛 けると消えること、及び{Q_BRST,b}=H、{Q_BRST,b_{M N}}= 2RM N が成 り立つことより、物理状態として単に

H|Ψ⟩=RM N|Ψ⟩= 0, b|Ψ⟩= b_{M N}|Ψ⟩= 0 (7.3.2) を満たす部分空間を考えればよいことが分かる。この部分空間上では、

BRST不変な状態はQˆ不変な状態と同じになる。

部分空間7.3.2)上で構成される物理状態として、しばらくの間

|Ψ⟩=A⁽p, aˆ ^†_{J M}, b^†_{J M},· · ·⁾|γ⟩ (7.3.3)

7.4. 物理状態の構成 115