3. Mod-SRM によるケーブル要素の座屈荷重の導出
3.1. Mod-SRM によるケーブル要素の座屈荷重の導出
Mod-SRM は膜面の厚みと要素の長さが与えられれば圧縮剛性係数が一意に求められるというもの
であり，圧縮剛性係数が歪の関数として与えられる．Mod-SRMでは膜面と説明しているが，ケーブルの 直径と要素長さに置き換えても全く同じ理論が成り立つ．そこで本章では膜面のしわという表現を用い ず，ケーブルのたるみという表現で記述する．
始めに，ケーブルのたるみを要素の変形とみなし，要素の両端の境界条件を回転自由とし，要素全 長をl/ 2と定義する．このとき，Fig. 3-1のように，荷重
P
を受けるケーブルの微小要素をdxとすると，微小要素の力の釣合は次式で表される．
(1 s) dx
d dy ds
dz
x e (3.1)
ここで，dsは微小要素の変形前の要素長，
e
はdx方向の単位ベクトル， s は軸歪を表す．軸歪はヤン グ率Eと断面積Aを用いて次のように書くことができる．s T
EA (3.2)
s
は変形前の微小要素のx軸方向の座標であり，Fig. 3-1に示す通り，原点は左側節点である．s
とxの取 りうる値の範囲は式(3.32)で示されている．要素に働く軸力Tは次式で表される．cos
T P (3.3)
Fig. 3-1 要素のモデル化とパラメータ
これより次式が得られる．
cos
(1 ) (1 ) sin
0
s s
d ds
x e (3.4)
ここで， は微小要素の
x
軸に対する反時計回りの角度である．これを用いると，式(3.2)は次のように 書ける．cos
s P
EA (3.5)
Fig. 3-2に示す通り，微小要素の右側断面にかかっている内力ベクトル
P
は次のように書ける．0 0 P
P (3.6)
断面二次モーメント
I
を用いると，曲げモーメントベクトルM
bは次のように書ける．0
b 0 EI
M (3.7)
ここで，記号 は
s
による一階微分を表す．Fig.3-4より，モーメントの釣合は次のように書ける．
dMb dx P 0 (3.8) 両辺をdsで割ると，
Mb x P 0 (3.9)
Fig. 3-2 微小要素
式(3.4)，(3.6)，(3.7)，(3.9)より，次の関係式が得られる．
1 Pcos sin 0
EI P
EA
(3.10)
ここで，記号 は
s
による二階微分を表す．式(3.10)の両辺に を掛けると，
2
sin sin 2 0
2 EI P P
EA (3.11)
2 2
1 ( ) cos cos2 .
2 4
EI P P const
EA (3.12) 0となるときの を 0とすると，次の式が得られる．
2 2
2 0 0
1 ( ) cos cos2 cos cos2
2 4 4
P P
EI P P
EA EA (3.13)
これを変形して次式を得る．
2 2 0 0
( ) (cos cos ) 1 (cos cos )
2
P P
EI EA (3.14)
式(3.14)は，無次元のパラメータ と を用いて，次のように書くことができる．
2 2
0 0
( ) 2 2 (cos cos ) 1 (cos cos )
l 2 (3.15)
P EA (3.16) 但し，
2
2 2
2
P , EI
EI EAl
l
(3.17)
Fig. 3-1から分かる通り，ケーブルの左端から右端にかけて 0であるため，次の式が成り立つ．
0 0
2 (cos cos ) 1 (cos cos )
2
ds l
d (3.18)
ここで，式(3.19)で表される変数
t
を導入する．1 0
sin sin
2
d C tdt (3.19) 但し，
0 cos 0
C (3.20)
0 0
0
1 1
cos cos ( )
2 2
: 0
: 0
C C t C t
t
(3.21)
Fig. 3-1より，ケーブルの左端から中央まではsin 0であるので，式(3.19)は次のように書くことができ
る．
0 0
2
1 sin 1 sin
2 sin 2 1
d C t C t
dt C (3.22)
また，式(3.21)より，次の式を得られる．
2
0
1 (1 )(1 )
1 (1 cos )(1 )
2
C C C
C t C (3.23)
式(3.23)を用いると，式(3.22)は次のように書ける．
0
0
0
1 sin
2 1
(1 cos )(1 )
2
1 sin
2 (1 cos )(1 )
d C t
dt C
t C
C t
t C
(3.24)
更に，式(3.21)から次式を得られる．
0 1 0
(1 cos ) 2
C C C t (3.25)
式(3.25)を用いると，式(3.18)は次のように書ける．
0 0
2 1 (1 cos ) 1 ( )
2 2
ds l
d C t C C
(3.26)
式(3.24)，(3.26)より，次の式が導かれる．
0
0 0
0
1 sin
1 2 (1 cos )(1 )
2 (1 cos ) 1 ( )
2 2
1
2 (1 ) 1 ( )
2 ds ds d
dt d dt
l C t
C t C
t C C
l
C C C
(3.27)
但し，ケーブルの左端から中央まではsint 0であることを用いた．式(3.27)において，関数 f t( )を用い て次のように書ける．
2 ( ) ds l
dt f t (3.28) 但し，
0
( ) 1
(1 ) 1 ( )
2 f t
C C C
(3.29)
従って，式(3.28)を積分すると次式が得られる．
0 ( )
f t dt 2 (3.30)
さて，式(3.4)，(3.5)より，次式が得られる．
(1 s) cos dx
ds (3.31) 但し，
: 0 / 2
: 0 (1 ) / 2
s l
x l (3.32)
Fig. 3-3 等価面内圧縮歪の定義と座屈後のヤング率および圧縮剛性係数の定義
従って，式(3.28)より，式(3.31)は次のように書くことができる．
(1 ) ( )
2 : 0
: 0 (1 ) / 2
dx l C C f t
dt t
x l
(3.33)
式(3.33)を積分すると次式が得られる．
0
(1 )
(1 ) ( )
2 2
l l
C C f t dt (3.34) 即ち，
0 (1 ) ( ) (1 )
C C f t dt 2 (3.35) となる．これはつまり，与えられたケーブルの材料定数 において，等価面内圧縮歪 を与えたときに，
次の2つの式を満たすように無次元圧縮荷重 と角度 0を決定すれば，無次元圧縮荷重 と歪 との関 係を得ることができる．
0
0
( ) 2
(1 ) ( ) (1 )
2 f t dt
C C f t dt
(3.36)
実際の計算では 0を与えて式(3.30)を満たすよう をNewton法で求め，次式で を求める．
0
0
(1 ) ( )
1
( )
C C f t dt f t dt
(3.37)
式(3.30)において， 0 0とおけば，座屈荷重 crを求めることができる． 0 0の時，式(3.20)，(3.21)よ
り，次式が得られる．
0 1
C C (3.38)
これを式(3.29)に代入すると次式が得られる．
( ) 1
2(1 )
f t (3.39) 従って，式(3.30)は次のようになる．
2(1 ) 2 (3.40) l / 2
P P
P E* = αE P
P P
εl / 2
この式を について解き，次式を得る．
2
1 1 4
cr (3.41) このうち，値の小さい方が座屈荷重であるので，結局座屈荷重は，次式で表される．
2
1 1 4
cr (3.42) 圧縮座屈歪 crは式(3.37)から求めることができる．式(3.37)に式(3.38)を代入して次式を得る．
2
1 1 4
cr cr (3.43) 実際の構造動解析の中では，部材に cr以上の圧縮歪が生じている場合に，フラグやコンター図のカラー などで部材座屈を知らせるという方法を採る．