運動中の構造物の不安定性を示す評価値の導出理論

Fig. 6-1 剛体運動をしながら座屈するトラスアーチ

Fig. 6-2 座屈モードに含まれる剛体運動

また，Newmark-β法における離散化は次の式で表される．但し，

x

は現在のステップでの位置ベクトル，

x0は前のステップでの位置ベクトル，Δtは前のステップから現在のステップまでの時間，xは

x

^の時間

に関する1階微分，xは

x

^{の時間に関する}2階微分を表す．

2

0 0 0

1( ) ( )

2 + ^Δt 2 ^Δt

x x x x x x (6.2)

0 [(1 ) 0+ ]Δt

x x x x (6.3)

式(6.1)を用いると，

x

は次のように表される．

0+Δ

x x x (6.4)

式(6.2)に式(6.3)，(6.4)を用いて次のように変形する．

0 0

2

1 1 1

2 1 Δt Δ Δt

x x x x (6.5) なお，この時 xは次式のように表せる．

0 0

1 1 1

2

ΔtΔ Δt

x x x x (6.6) 運動方程式Mx F F_ex^に式(6.5)を代入すると以下を得る．但し

F

は変形による内力を表す．

F

_exは外 力を表し，前のステップの外力と増分の和F_ex F_{ex0 Δ}F_exで表すことができる．このΔ

F

_exが座屈モード

等速並進運動

（剛体運動）

座屈モード方向 Δx

への変位

剛体モード方向 への運動

e

*

p

i i

q

座屈運動

座屈モード 剛体モード

座屈モードに入る

ために必要な

外力 _ΔF

_ex

方向の微小変位Δ

x

を与えるための外乱となるベクトルである．

0 0 0

2

1 1 1

2 1 ^{ex Δ ex}

Δt M xΔ Δt Mx Mx F F F (6.7) ここで，

0 0 ex0

Mx F F (6.8) であるため，式(6.7)は結局次のようになる．

0 0 0

2

1 1 1

2 ^ex

Δt M x F FΔ ΔtMx Mx ΔF (6.9) 更に，外力増分を次のように近似する．

2

0= Δ (Δ )

Δ

F F K x x

K x (6.10) これを式(6.9)に代入すると以下を得る．

0 0

2

1 1 1

2 ^ex

Δt M K xΔ ΔtMx Mx ΔF (6.11) ここで，Δ

t

が微小であることから，

2

1

Δt M K (6.12) と近似して，次式を得る．

*

0 0

2 2

1 1 1

i i Δ 2 ex

Δt Me Δt M qp tMx Mx ΔF (6.13) 更に，

* *

2

1

Δt Me a (6.14)

* 0

1

ΔtMx b (6.15)

* 0

1

2 Mx c (6.16)

2

1

i i

Δt Mq q (6.17) と置いて式(6.9)を書き直すと，

* * *

i i ex

p Δ

a b c q F (6.18) この外力増分ベクトルΔF_exは，座屈モードの座屈変位方向に だけ変位させるのに必要な外力であるた め，上述の通り，この外力増分ベクトルの大きさが座屈しにくさを表すDF値となる．外力増分ベクトル の大きさは とΔ

t

^と

p

_iによって変化するので，最小の外力増分ベクトルを与える とΔ

t

^と

p

_i，および 最小の外力増分ベクトルを求める．

i j i j i i j j

p pq q pq d p q d d d (6.20) 式(6.20)より，

ΔF

_ex ²を最小にする

p

_iは， ² ₀

ex i

d Δ

dp F の時の

p

_iであるので，

2 2 2

0 0 0

ex j i j i

i

j i j i

T T

j i j i

d Δ p

dp p

p

F q q q d

q q q d q q q d

[ ^T ] [1 ^T ]

j i j i

p q q q d (6.21) ここで，

p

_iを縦に並べたベクトルを

p

^，

q

_iを横に並べた行列を

Q

^{とすれば，}

[ ^T ] 1 ^T

p Q Q Q d (6.22) が得られる．また，

p

^，

Q

^{を用いると，式}(6.18)は次のように書ける．

* * *

Δ ex

a b c Qp F (6.23)

ここに式(6.22)を用いると次式が得られる．

1 * * *

( [ ^T ] ^T)( )

ΔFex I Q Q Q Q a b c (6.24) 次に， ΔF_ex ^{を最小にする を求める．}

1 *

(I Q Q Q Q a[ ^T ] ^T) a (6.25)

1 *

(I Q Q Q Q b[ ^T ] ^T) b (6.26)

1 *

(I Q Q Q Q c[ ^T ] ^T) c (6.27) とおいて ΔF_ex ^{を計算すると，}

2 2 2

2 2 ( ) 2

ΔFex a b c a b a c b c

2 2

2 2 2

2 2

( )

a b a c 2 a b a c

a b c b c

a a (6.28)

式(6.28)より，最小の外力増分ベクトルを与える は

2

a b a c

a (6.29) であることが分かる．この時 ΔF_ex は次のようになる．

2 2 2

2

( )

ex 2

Δ a b a c

F b c b c

a (6.30) ここで，Δ

t

を区別するために次のように変数を再度定義する．

1 *

0

1 *

1 *

1 *

( [ ] ) ,

( [ ] ) ,

1 ( [ ] )

( [ ] )

T T

T T

T T

T T

a with a

a I Q Q Q Q Me n I Q Q Q Q Me

n I Q Q Q Q Me

I Q Q Q Q Me

(6.31)

1

0 ( [ ^T ] ^T) 0

b I Q Q Q Q Mx (6.32) これを用いると

a

^とb^{は次のようになる．}

0 2

1

Δt

a a (6.33)

0

1

Δt

b b (6.34)

よって式(6.30)は次のように書ける．

2

2 2 0

0 0

2 2 2

(1 / )

1 2

ex

Δ

Δ Δ

t a a

Δ t t a

n b n c

F b c b c

2

2 2

0 0 0

2 2

1 2 1

Δt b c Δtb c Δtn b n c

2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

1 2 1 2

( ) ( )( ) ( )

Δt b c Δtb c Δt n b Δt n b n c n c

2 2 2 2

0 0 0 0

2 2

1 2

( ) [ ( )( )] ( )

Δt b n b Δt b c n b n c c n c (6.35) ここで，

n

^と

b

₀のなす角を とおくと，

2 2 2 2 2

0 ( 0) 0 0 cos

b n b b b

2 2

0 sin

b (6.36) となって，式(6.35)は次のようになる．

2 2

0 0

0 2 2 2 2 2 2

0 0

( )

1 2 ( )( )

sin sin sin

ex Δ Δ

Δ t t

c n c b c n b n c

F b

b b (6.37)

更に，最小の外力増分ベクトルを与えるΔ

t

を求めるために以下のように変数を定義する．

T 1

Δt (6.38)

0 0

2 2

0

( )( )

A b c n b n csin

b (6.39)

2 2

2 2

0

( )

B c sinn c

b (6.40) この時，式(6.37)は次のようになる．

2

0sin 2

ΔFex b T AT B

2 2

0sin (T A) B A

b (6.41) よって，

T A

の時，外力増分ベクトルは最小になる．即ち，

2 2 0

0 0

sin

[( )( ) ]

Δt b

n b n c b c (6.42) これが最小の外力増分ベクトルを与えるΔtである．この時，外力増分ベクトルは式(6.41)より，

2 0 sin

ΔFex b B A

2

2 2 0 0

0

( )( )

( )

sin b c n b n c c n c

b (6.43) 解析プログラム内では式(6.43)の値を DF 値として計算している．なお，sin 0^{の時，各式で分母が} 0 になってしまうため，計算プログラムではsin 0を示すフラグを立て，認知できる状態にした上で 1degと置きなおして計算を続行させている．また，n^やb₀^{を計算する際に}Qを用い，Qは式(6.17)に よって定義されているため，n^やb₀^にはΔ

t

が含まれているように見えるが，Q Q Q Q[ ^T ] ^{1 Tを計算すると式}

(6.17)よりq_iの係数部分がキャンセルされるため，結局Q Q Q Q[ ^T ] ^{1 Tは，}q_i^{を横に並べた行列}Q^を用いた

[ ^T ] 1 ^T

Q Q Q Q ^{と一致する．従って式}(6.25)，(6.26)，(6.27)，(6.31)，(6.32)のQは全てQ^{に置き換えて計算す} ることができる．このことより，n^やb₀^はΔ

t

の影響を受けずに求めることができる．

更に，

0 0 0

, , 1

b b

b Mx m Mx m Mx

Mx (6.44) とおいて式(6.43)を更に変形してみると，次式が得られる．

2

2 2 ( ) ( )( )

( )

ex sin

b b

Δ b

m c n m n c

F c n c

2

2 2 ( )( )

( )

sin m c n m n c

c n c (6.45)

n

^と

c

^{のなす角を ，}

m

^と

c

^{のなす角を とする．}

n

^と

m

^{のなす角は，}

n

^と

b

₀のなす角 に等しい．

すると式(6.45)は次のように書ける．

2

2 2 2 cos cos cos

cos sin

Δ ex c c

F c c

2

2 cos cos cos

sin sin

c (6.46)

式(6.46)より，DF 値の大きさは

c

^{の大きさに比例し，}

a

,b,

c

それぞれのなす角度によることが分かる．

DF 値の大きさは前のステップの慣性力（

c

）の大きさによるものであり，前のステップの運動量（

b

₀） の大きさにはよらない．

上記の理論式において，単に式(6.42)を計算してもΔ

t

の値が負や無限大になってしまったり，外力増 分の大きさ ΔF_ex が複素数になってしまったりと，現実にはありえない解が出ることがある．たまたま外 力の大きさが実数値となり，非常に不安定であるという結果が出たとしても，Δ

t

^{が負であれば，現実に}

はそのような不安定な状況には陥り得ないということになる．実機設計においては現実に起こりうる不 安定状態に対して，その危険度を知ることが求められるので，本理論においてはΔ

t

^{の吟味を行って，取}

りうる値の範囲内で改めてDF値を計算する必要がある．次の2つのステップでこれを行う．

Step1 現実的に取りうるΔ

t

^{の範囲を求める}

Step2 得られた範囲の中で最小の ΔF_ex を求める

以下に，それぞれについて述べ，Fig. 6-22およびFig. 6-23にDF値の吟味のフローチャートを示す．計算 プログラムはこのフローチャートに基づいて記述されている．

Step1 現実的に取りうるΔ

t

^{の範囲を求める}

以下の3つの条件を満たすように解を吟味してゆく．なお，解の吟味にあたり変数はΔ

t

, , ΔF_ex の 3つであり，その他の量は全て前のステップおよびモード計算によって求められた定数であることを，こ こに確認として明記しておく．

吟味条件1.1 Δ

t

^{が正であること}

吟味条件1.2 Δ

t

が実機運用において想定する外乱に則した値であること（極端に大きな値であれ

ば除くようにすること）

吟味条件1.3 外力増分の大きさ

ΔFex が実数であること 以下に，この3つの条件を定式化してゆく．

1.1 Δ

t

^{が正であること}

0

Δt (6.47) ただし，プログラムでは開区間条件を記述できないため，微小な非0の値をΔ

t

_minとして設定し，0 Δt^を

Δtmin Δt (6.48) と置き換える．ただし，他の吟味条件でΔ

t

_minを下回る正の値が下限値として得られた場合には，それを

Δ

t

の区間最小値とするものとする．条件を図示するとFig. 6-3のようになる．

Fig. 6-3 吟味条件1.1

1.2 Δ

t

が実機運用において想定する外乱に則した値であること

実機運用において，座屈を引き起こす外乱があまり長い時間加えられる状況は考えにくい．たとえ 外力増分ベクトルの値を最小にするΔ

t

であっても，それが長時間であれば現実的ではないため，Δ

t

^の上

限値を設定する必要がある．構造物は絶えず運動しているので，複雑な構造，複雑な運動であれば座屈 モードも時々刻々変化する．また，シミュレーションに用いている積分法によって時間刻み幅の制約値 も変わる．これらを考慮して設計者がΔ

t

の上限値を決定すればよい．この値をΔ

t

_maxとする．

Δt Δtmax (6.49) 条件を図示するとFig. 6-4のようになる．

ΔFex

0 Δt Δtmin

Fig. 6-4 吟味条件1.2

1.3 外力増分の大きさ

ΔFex が正の実数であること

式(6.41)より，外力増分の大きさが正の実数であるためには，

2 2

(T A) B A 0 (6.50) でなければならない．

[1]

B A

²

0

^のとき

この時，式(6.50)を満たす

T

^{の範囲を求めると，}

2

T A A B T1 (6.51) または

2

T A A B T2 (6.52) となる．条件を図示するとFig. 6-5のようになる．

Fig. 6-5 吟味条件1.3の場合分け[1]

これよりΔ

t

の満たす範囲を求めるが，

T

₁,

T

₂ の符号の組み合わせによってΔ

t

の満たす条件が変わる．

そこでまず，式(6.51)の条件に対して

T

₁が正の場合と0以下の場合に場合分けし，式(6.38)を用いてΔ

t

^の

満たす条件を求める．式(6.51)を，式(6.38)を用いてΔ

t

^{の関数に書き直すと，}

1

1

T Δ T

t (6.53)

[1.1]

T

₁

0

のとき

式(6.53)をΔ

t

の符号に注意して展開すると，

1

(0 ) 1 < tΔ

T (6.54) または

1

( 0) 1

Δt

T (6.55) 条件を図示するとFig. 6-6の(a)のようになる．

ΔFex

0 Δt

Δtmax

2

ΔF

ex

T T

1

T

₂

0

[1.2]

T

₁

0

のとき

式(6.53)と式(6.38)より，必ず

Δt 0

となるので，これに注意して式(31)を展開すると，

1

1 < tΔ ( 0)

T (6.56)

次に，式(6.52)の条件に対して

T

₂が0以上の場合と負の場合に場合分けし，式(6.38)を用いてΔ

t

^の満たす

条件を求める．式(6.52)を，式(6.38)を用いてΔ

t

^{の関数に書き直すと，}

2

T 1 T

Δt (6.57) 条件を図示するとFig. 6-6の(b)のようになる．

[1.3]

T

₂

0

のとき

式(6.57)と式(6.38)より，必ずΔ

t 0

となるので，これに注意して式(6.57)を展開すると，

2

(0 ) Δt 1

T (6.58) 条件を図示するとFig. 6-7の(a)のようになる．

[1.4]

T

₂

0

のとき

式(6.57)をΔ

t

の符号に注意して展開すると，

2

1 ( 0)

Δt

T (6.59) または

2

1 ( 0) Δt

T (6.60)

式(6.59)と式(6.60)を合わせると，Δ

t

は任意の値となる．条件を図示するとFig. 6-7の(b)のようになる．

Fig. 6-6 場合分け[1]の

T

₁ に関する条件

T

1

1 T

1

Δt T

T

1

1

T Δt

T

1

0

0

(a) 条件[1.1] (b) 条件[1.2]

Fig. 6-7 場合分け[1]の

T

₂ ^{に関する条件}

以上の[1.1]から[1.4]の条件式を用いて，

T

₁,

T

₂ の符号の各組み合わせに対して，Δ

t

^{が満たすべき条件を}

求める．

T

₁

T

₂は常に成り立つので，考えるべき組み合わせは，①:

T

₁

0

かつ

T

₂

0

，②:

T

₁

0

かつ

2

0

T

，③:

T

₁

0

かつ

T

₂

0

の3通りである．

①

T

₁

0

かつ

T

₂

0

のとき

[1.1]と[1.3]の結果を用いれば良い．外力増分の大きさを実数にするΔ

t

^{の範囲は，式}(6.54)または式(6.55)ま

たは式(6.58)となる．即ち，

1

1 < tΔ

T または Δt 0 または

2

0 Δt 1

T (6.61) となる．条件を図示するとFig. 6-8のようになる．

②

T

₁

0

かつ

T

₂

0

のとき

[1.2]と[1.3]の結果を用いればよい．外力増分の大きさを実数にするΔ

t

^{の範囲は，式}(6.56)または式(6.58)と

なる．即ち，

1

1 < tΔ 0

T または

2

0 Δt 1

T (6.62) となる．条件を図示するとFig. 6-9のようになる．

③

T

₁

0

かつ

T

₂

0

のとき

[1.2]と[1.4]の結果を用いればよい．外力増分の大きさを実数にするΔ

t

^{の範囲は，式}(6.56)となる．即ち，

1

1 < tΔ 0

T (6.63) となる．条件を図示するとFig. 6-10のようになる．

Fig. 6-8 場合分け[1]の①

T

2

1

T Δt

T

2

0 T

2

1 T

2

Δt T

0

(a) 条件[1.3] (b) 条件[1.4]

2

ΔFex

T

T1 T_{2 1}

1 T

Δt

2

1 T 0 0

Fig. 6-9 場合分け[1]の②

Fig. 6-10 場合分け[1]の③

[2]

B A

²

0

のとき

この時，式(6.50)は任意の

T

に対して成り立つ．条件を図示するとFig. 6-11のようになる．

Fig. 6-11 場合分け[2]

[3]

B A

²

0

この時，式(6.50)は

T A

の時を除いて必ず満たされる．条件を図示するとFig. 6-12のようになる．

Δt 1

A (6.64)

Fig. 6-12 場合分け[3]

2

ΔFex

T

T1 T_{2 1}

1 T

Δt

2

1 T 0 0

2

ΔF

ex

T

T

1

T

_{2 1}

1 T

Δt

2

1 T

0 0

2

ΔF

ex

T

Δt 0 0

2

ΔF

ex

T

Δt 0 0

1

A A

件1.1，1.2を検証することでΔ

t

が取りうる最終的な範囲を求める．Δ

t

が取りうる値が存在しない場合に は，現実的には危険性の全くない不安定状態，即ち安定な状態として，最終的な評価とするものとする．

そして，Δ

t

が取りうる値が存在した場合に，ステップ2に進み，Δ

t

の区間内での最小の外力増分ベクト ル ΔF_ex を計算する．

[1]の①

B A

²

0

^かつ

T

₁

0

かつ

T

₂

0

のとき

式(6.61)に対して式(6.47)を用いると，

1

1 < tΔ

T または

2

0 Δt 1

T (6.65) が得られる．条件を図示するとFig. 6-13のようになる．

Fig. 6-13 場合分け[1]の①で取りうる値の範囲

まず，第一式に関する条件を考える．式(6.48)と式(6.49)を考慮し，[1.5]から[1.7]の3つの状況に分けて考 える．

[1.5]

max 1

Δt 1

T (6.66) この時，式(6.65)の第一式に該当するΔ

t

の区間は存在しない．条件を図示するとFig. 6-14の(a)ようにな る．

[1.6]

min max

1

Δt 1 Δt

T (6.67) この時，式(6.65)の第一式に該当するΔ

t

^の区間は

max 1

| 1

Δt Δt , tΔ

T (6.68) となる．条件を図示するとFig. 6-14の(b)ようになる．

[1.7]

min 1

1 < tΔ

T (6.69) この時，式(6.48)の下の文章に示した通り区間下限値をΔ

t

_minから

1 / T1に置き換えるため，結局式(6.65)の 第一式に該当するΔ

t

^{の区間は式}(6.68)に等しい．条件を図示するとFig. 6-14の(c)ようになる．

1

1 T

Δt

2

1 T 0

2

ΔFex

T1 T₂

0 T

Fig. 6-14 場合分け[1]の①の

T

₁ ^{に関する条件}

更に，第二式に関する条件を考える．第一式と同様に式(6.48)と式(6.49)を考慮し，[1.8]から[1.10]の 3つ の状況に分けて考える．

[1.8]

max 2

Δt 1

T (6.70) この時，式(41)の第二式に該当するΔt^の区間は

min max

{ |[ ]}

Δt Δt Δt , tΔ (6.71) となる．条件を図示するとFig. 6-15の(a)ようになる．

[1.9]

min max

2

Δt 1 Δt

T (6.72) この時，式(6.65)の第二式に該当するΔ

t

^の区間は

min 2

| , 1

Δt Δt Δt

T (6.73) となる．条件を図示するとFig. 6-15の(b)ようになる．

[1.10]

min 2

1 Δt

T (6.74) この時，式(6.65)の第二式に該当するΔ

t

^の区間は

2 2

1 1

| ,

Δt Δt

T T (6.75) としておく．条件を図示するとFig. 6-15の(c)ようになる．

Fig. 6-15 場合分け[1]の①の

T

₂ に関する条件

[1.5]~[1.7]と[1.8]~[1.10]のそれぞれの組み合わせを取ることで最終的なΔ

t

の区間を求めることができる．

1

1 T 0 Δt_min Δt_max Δt

1

1 T

0 Δt_min Δt_max Δt

1

1 T

Δt 0 Δt_min Δt_max

(a) 条件[1.5] (b) 条件[1.6] (c) 条件[1.7]

2

1 T 0 Δt_min Δt_max Δt

2

1 T 0 Δt_min Δt_max Δt

2

1 T

0 Δt_min Δt_max Δt

(a) 条件[1.8] (b) 条件[1.9] (c) 条件[1.10]

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