IRT 適用の前提条件の確認

IRT の適用にはいくつかの前提条件がある。加藤他（2014）の記述に従って 整理すると，特に重要な条件としては，一次元性と局所独立性が挙げられる。一 次元性とは，対象の項目群が一種類だけの能力（満足度）を測定していることで あり，局所独立性とは，能力（満足度）を 1 つの値に固定した時に各項目への 反応は互いに独立であるということである。また，IRT 適用の前提条件ではな いが，項目分析もこの節で確認する。

a.項目分析

IRT のパラメタ推定を実行する前に学校評価アンケートの項目分析をおこ なった。確認したのは，集団ごとの，項目平均，I-T相関（Item-Total 相関），

クロンバックのα係数（Cronbach, 1951）である。なお，項目平均は第 1研究 における「項目満足度」，I-T 相関は第 1 研究における「個人総合満足度との 関連度」と同値である。数式で表すと，

(項目平均値) = 𝑥̅ = １

𝑁 ∑ 𝑥_𝑖𝑗

𝑁

𝑖=1

(7.1)

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(I − T相関) = 𝑟_𝑗 = ∑^𝑁_𝑖=1(𝑥_𝑖𝑗− 𝑥̅)(𝑦_𝑖− 𝑦̅)

√∑^𝑁_𝑖=1(𝑥_𝑖𝑗− 𝑥̅)²√∑^𝑁_𝑖=1(𝑦_𝑖− 𝑦̅)²

(7.2)

なお，𝑦_𝑖 = ∑^𝐽_𝑗=1𝑥_𝑖𝑗は，個人総合満足度（総合得点）である。

(クロンバックのα係数) = 𝛼 = 1

𝑛 − 1{1 −∑^𝑛_𝑗=1𝜎²(𝑥_𝑗)

𝜎²(𝑦) } (7.3)

について，確認した。なお，𝜎²(𝑥_𝑗)

は項目 𝑗 の得点の分散，

b.一次元性の確認

IRT のパラメタ推定を実行する前にテストの測定の一次元性を， 集団ごと に，ポリコリック相関係数の固有値の減衰状況から確認した。具体的には，

EasyEstimation（熊谷,2009）を用いてスクリープロットを描いて確認した。

c.局所独立性の確認

局所独立性の指標として，Q3 統計量 (Yen, 1984)を算出した。各集団の項 目パラメタを推定し，次に受検者の特性値パラメタを推定する。項目反応デー タから，推定された項目パラメタ および能力パラメタを基に算出されるモデ ル上の期待得点（反応確率）を引いた残差得点の項目間の相関として求められ る数値が Q3統計量である。Q3統計量の算出について，泉・倉本（2017）の記 述に従って整理すると以下のようになる。

2PLMにおける Q3統計量は次の式を用いて求められる。

𝑃_𝑗(𝜃̂_𝑖) = 1

1 + 𝑒𝑥𝑝{−𝐷𝑎̂_𝑗(𝜃̂_𝑖− 𝑏̂_𝑗)} (7.4)

𝐸_𝑗𝑖= 𝑃_𝑗(𝜃̂_𝑖) (7.5)

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𝑑_𝑗𝑖= 𝑥_𝑗𝑖− 𝐸_𝑗𝑖 (7.6)

𝑑_𝑗 = {𝑑_𝑗1, 𝑑_𝑗2,･･･, 𝑑_𝑗𝑁} (7.7) 𝑄_3𝑗𝑗′ = 𝑟(𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗′) (7.8)

𝐸_𝑗𝑖は，特性値パラメタが𝜃̂_𝑖である受験者𝑖にける項目𝑗への反応確率𝑃_𝑗(𝜃̂_𝑖)，つ まり期待得点である。𝐷は尺度因子(定数；本研究では 1.702 とする)であり，

𝑎_𝑗は項目𝑗の識別力パラメタ，𝑏_𝑗は項目𝑗の困難度パラメタである。𝑑_𝑗𝑖は，受験 者𝑖の項目反応𝑥_𝑗𝑖と期待得点𝐸_𝑗𝑖の差，つまり残差得点を表す。𝑑_𝑗，𝑑_𝑗′は，それ ぞれ，全受験者から得られた𝑑_𝑗𝑖，𝑑_𝑗′𝑖を要素とするベクトルである。𝑁は受験者 数を表す。𝑟(𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗′)は，𝑑_𝑗と𝑑_𝑗′との相関係数を示し，これが Q3統計量𝑄_3𝑗𝑗′であ る。

GRMなど多値型における Q3統計量は次の式を用いて求められる。

𝑃_𝑗𝑘(𝜃̂_𝑖) = 𝑃_𝑗𝑘^∗(𝜃̂_𝑖) − 𝑃_𝑗𝑘+1^∗ (𝜃̂_𝑖) (7.9) 𝑃_𝑗𝑘^∗(𝜃̂_𝑖) = 1

1 + 𝑒𝑥𝑝{−𝐷𝑎̂_𝑗(𝜃̂_𝑖− 𝑏̂_𝑗𝑘^∗ )} (7.10)

𝐸_𝑗𝑖= ∑ 𝑘𝑃_𝑗𝑘

𝐾

𝑘=0

(𝜃̂_𝑖) (7.11)

𝑑_𝑗𝑖= 𝑥_𝑗𝑖− 𝐸_𝑗𝑖 (7.12)

𝑑_𝑗 = {𝑑_𝑗1, 𝑑_𝑗2,･･･, 𝑑_𝑗𝑁} (7.13) 𝑄_3𝑗𝑗^′ = 𝑟(𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗^′) (7.14)

項目𝑗の回答カテゴリが𝑘 = 1, … , 𝐾であるとする。𝑃_𝑗𝑘^∗(𝜃̂_𝑖)は推定された特性値 が𝜃̂_𝑖である受験者𝑖が項目𝑗において𝑘以上と反応する確率である。𝑃_𝑗𝑘(𝜃̂_𝑖)は推定 された特性値が𝜃̂_𝑖である受験者𝑖が項目𝑗において𝑘と反応する確率である。𝐷は 尺度因子(定数；本研究では 1.702 とする)であり，𝑎_𝑗は項目𝑗の識別力パラメ タ，𝑏_𝑗𝑘^∗ は項目𝑗において𝑘以上のカテゴリをとることに対する困難度パラメタ である。𝐸_𝑗𝑖は，能力パラメタが𝜃̂_𝑖である受験者𝑖の項目𝑗への期待得点である。

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𝑑_𝑗𝑖は，受験者𝑖の項目反応𝑥_𝑗𝑖と期待得点𝐸_𝑗𝑖との差を表す。𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗′は，それぞれ全 ての 受 験者 か ら得 ら れた𝑑_𝑗𝑖, 𝑑_𝑗′𝑖を 要 素 と す る ベ クト ル であ る 。𝑟(𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗′)は，

𝑑_𝑗, 𝑑_𝑗′の相関係数を示し，これが Q3統計量𝑄_3𝑗𝑗′である。

2PLM の場合，Q3統計量の絶対値が 0.2 を超えると，項目間の局所依存の 度合いが高いと判断される(Chen & Thissen, 1997；泉・倉本，2017)。GRM の場合，Q3統計量の絶対値が 0.36 を超えると項目間の局所依存の度合いが高 い と 判 断 さ れ る （Smits, Zitman, Cuijpers, Hollander-Gijsman, & Carlier，

2012；雲財・中村，2018）。この基準を用いて，局所独立性を確認した。

なお，特性値パラメタθの推定については，後述する7.4.3の検討を踏まえ て EAP（Expected A Posteriori）推定法を用いた。