Harish-Chandra 系列

HomFGLn(q)(R^G_Lµ∩wLνw−1(Q), S)6= 0

を得る．そこでI_µ⁰ =I_µ∩wI_νw⁻¹とおくと，補題 2.7(3)の証明より Lµ(q)∩wLν(q)w⁻¹=Lµ⁰(q)

であり，補題2.6の(a)と(c)の同値性から^∗R_L^G

µ0(S)6= 0であるから，µの 極小性に注意してIµ⁰ =IµからIµ ⊆wIνw⁻¹を得る．µとν を取り替えて 同様に議論すると，あるw⁰ ∈ Dνµが存在してIν ⊆w⁰Iµw⁰⁻¹となるから，

|Iµ|=|Iν|となり，とくにIµ =wIνw⁻¹が得られる． ^˜ 補題 2.10 Sを既約FGLn(q)-加群としµ ∈ B(S)を極小元とすると，

∗R_L^G_µ(S)の任意の組成因子X1, X2に対し，あるw∈Snが存在して (i) wLµ(q)w⁻¹=Lµ(q)

(ii) X1'^wX2

が成立する．

証明 既約FLµ(q)-加群X1⊆Soc(^∗R_L^G_µ(S))をひとつ固定し，他の任意 の組成因子X2 に対して，あるw∈Sn が存在して(i)，(ii)が成立すること を示せばよい．P(X2)をX2の射影被覆とすると，[^∗R^G_Lµ(S) :X2]6= 0より

HomFGLn(q)(R^G_Lµ(P(X2)), S)'HomFLµ(q)(P(X2),^∗R^G_Lµ(S))6= 0 だから非零写像R_L^G_µ(P(X2))→Sが存在し，S の射影被覆P(S)に対し

P(S) ////S //0

R^G_Lµ(P(X2))

6=0

OO

∃φ

ffM M M

M M

ここでφが全射でないとすれば，RadP(S)がP(S)の唯１つの極大部分加群 であることからIm(φ)⊆RadP(S)であるが，これはφとP(S)→Sの合成 が非零写像であることに矛盾する．したがってφは全射であって，

R^G_Lµ(P(X2)) ////P(S) //0

P(S)

∃

ffN N

N NN N

と切断が取れるのでP(S)はR_L^G_µ(P(X2))の直和因子である．

他方，X1のとり方より

06= HomFLµ(q)(X1,^∗R^G_Lµ(S))'HomFGLn(q)(R^G_Lµ(X1), S) つまり全射R_L^G_µ(X1)→S が存在するから，[R_L^G_µ(X1) :S]6= 0となり

Hom_FGLn(q)(P(S), R^G_Lµ(X₁))6= 0 を得る．P(S)がR^G_Lµ(P(X2))の直和因子であるから

Hom_FGLn(q)(R^G_Lµ(P(X₂)), R^G_Lµ(X₁))6= 0 とわかり，Mackey公式より

1≤dim HomFGLn(q)(R^G_Lµ(P(X2)), R^G_Lµ(X1))

= dim HomFLµ(q)(^∗R^G_Lµ◦R^G_Lµ(P(X2)), X1)

= P

w∈Dµµ

dim HomFLµ(q)(R^L_L^µ

µ∩wLµw⁻¹◦^∗R^wL_L ^µw−1

µ∩wLµw⁻¹(^wP(X2)), X1).

故に，あるw∈ Dµµに対して直既約射影F(Lµ(q)∩wLµ(q)w⁻¹)-加群Qが 存在して，Qは^∗R^wL_L ^µw−1

µ∩wLµw⁻¹(^wP(X2))の直和因子かつ全射 R^L_L^µ

µ∩wLµw⁻¹(Q)−→X1

が存在する．そこでR^G_Lµ が完全関手であることに注意すると，全射 R^G_Lµ∩wLµw−1(Q)−→R^G_Lµ(X1)

を得るから全射R_L^G_µ(X1)→S を合成して，全射 R^G_Lµ∩wLµw−1(Q)−→S

が得られた．Iν=Iµ∩wIµw⁻¹とおくと補題2.6の(a)と(c)の同値性より これは^∗R^G_Lν(S)6= 0，すなわちν ∈ B(S)を意味するが，µの極小性よりIν = Iµ でなければならず，Iµ⊆wIµw⁻¹を得るから左右の集合の元の個数を比べ ればIµ=wIµw⁻¹を得る．故にwLµ(q)w⁻¹=Lµ(q)であり，全射

Q=R^L_L^µ

µ∩wLµw⁻¹(Q)−→X1

が存在することになる．Qは^∗R^wL_L ^µw−1

µ∩wLµw⁻¹(^wP(X2)) =^wP(X2)の直和因子 であったから，Q=^wP(X2)であり，^wP(X2)の商として得られる既約加群は

wX₂に限るからX₁'^wX₂を得る． ˜ 定義 2.11 µ|=nに対しXが既約cuspidalFLµ(q)-加群のとき，(Lµ, X) をcuspidal対と言う．

定義 2.12 Sを既約FGLn(q)-加群とする．cuspidal対(Lµ, X)に対し 全射R_L^G_µ(X)→Sが存在するときSは(Lµ, X)-系列に属すると言う．

補題 2.11 既約FGLn(q)-加群Sが(Lµ, X)-系列に属するならば，µは B(S)の極小元である．

証明 ν < µに対し^∗R^G_Lν(S)6= 0とする．補題2.6の(a)と(c)の同値性 より，ある直既約射影FLν(q)-加群Qに対し全射R^G_Lν(Q)→Sが存在する．

他方

R^G_Lµ(X) ////S //0

R^G_Lν(Q)

eeK K K KK

OOOO

よりHom_FGLn(q)(R^G_Lν(Q), R^G_Lµ(X))6= 0であるが，Mackey公式より

∗R^G_Lµ◦R^G_Lν(Q)' M

w∈Dµν

R^L_L^µ

µ∩wL_νw⁻¹◦^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wL_νw⁻¹(^wQ) だから，あるw∈ Dµν が存在して，P =^∗R_L^wLνw−1

µ∩wLνw⁻¹(^wQ)とおくと

HomFL_µ(q)(R^L_L^µ

µ∩wLνw⁻¹(P), X)6= 0

となる．X はcuspidalなので，これはIµ∩wIνw⁻¹=Iµを意味し，とくに Iµ⊆wIνw⁻¹となり|Iµ| ≤ |Iν|を得る．しかし，ν < µよりIν(Iµだから これは矛盾．故にµはB(S)の極小元である． ˜ 定理 2.3 S を既約FGLn(q)-加群とすると，cuspidal対(Lµ, X)がSn

の共役を除いてただひとつ存在して，Sは(Lµ, X)-系列に属する．

証明 まずS は必ずある(Lµ, X)-系列に属することを示そう．µをB(S) の極小元とし，X ⊆Soc(^∗R^G_Lµ(S))を既約部分加群とする．任意のν < µに 対して^∗R^L_L^µ_ν(X) = 0となることを示そう．実際，完全関手^∗R_L^Lµ_ν を完全系列

0−→X −→^∗R_L^G_µ(S) に施して完全系列

0−→^∗R^L_L^µ

ν(X)−→^∗R^L_L^µ

ν ◦^∗R^G_Lµ(S) =^∗R^G_Lν(S)

を得るが，µの極小性より^∗R^G_Lν(S) = 0だから^∗R^L_L^µ_ν(X) = 0である．故に，

補題2.5よりX はcuspidalFLµ(q)-加群である．他方

Hom_FGLn(q)(R^G_Lµ(X), S)'Hom_FLµ(q)(X,^∗R^G_Lµ(S))6= 0 より全射R_L^G_µ(X)→Sが存在するから，S は(Lµ, X)-系列に属する．

Sが(Lµ, X)-系列と(Lν, Y)-系列に属しているとする．補題2.11よりµと νはB(S)の極小元だから，補題2.9よりあるw∈ Dµν に対しwIνw⁻¹=Iµ

となる．とくにwLν(q)w⁻¹=Lµ(q)であって，定理2.2より R^G_Lµ(^wY) =R^G_Lµ⊆wPνw−1(^wY)

と考えてよい．ここでFGLn(q)-加群同型R^G_Lµ(^wY) ' R_L^G_ν(Y) を示そう．

m7→wm(m∈R^G_Lν(Y))によりFGLn(q)-加群同型^wR^G_Lν(Y)'R^G_Lν(Y)が 得られるからR_L^G_µ(^wY)'^wR^G_Lν(Y)を示せばよい．

N =|GLn(q)|/|Pν(q)|としてGLn(q)のPν(q)による左剰余類分解を

GLn(q)/Pν(q) = GN

i=1

hiPν(q) とおけば，

wR^G_Lν(Y) = ^N⊕

i=1 hi ⊗

FPν(q)Infl^P_L^ν(q)

ν(q)(Y) と書けて，wgw⁻¹ (g∈GLn(q))の作用は

wgw⁻¹·hi⊗y=ghi⊗y (y∈Y) で与えられる．また

GLn(q)/wPν(q)w⁻¹= GN

i=1

(whiw⁻¹)wPν(q)w⁻¹

であるから，

R^G_Lµ(^wY) = ⊕^N

i=1whiw⁻¹ ⊗

FwPν(q)w⁻¹Infl^wP_L ^ν(q)w−1

µ(q) (^wY) と書けて，wgw⁻¹ (g∈GLn(q))の作用は

wgw⁻¹·whiw⁻¹⊗y=w(ghi)w⁻¹⊗y (y∈Y)

で与えられる．そこで，Ψ :^wR_L^G_ν(Y)→R^G_Lµ(^wY)をhi⊗y 7→whiw⁻¹⊗y で定めると，ghi=hjp(p∈Pν(q))と書いて

Ψ(wgw⁻¹·hi⊗y) =Ψ(ghi⊗y) =Ψ(hjp⊗y)

=Ψ(hj⊗py) =whjw⁻¹⊗py

=whjw⁻¹⊗(wpw⁻¹)·y=whjpw⁻¹⊗y

=wgw⁻¹·whiw⁻¹⊗y=wgw⁻¹·Ψ(hi⊗y) となるので，Ψ はFGL_n(q)-加群同型である．よってR^G_Lν(Y)'R^G_Lµ(^wY)が 示された．

この同型により，S が(Lν, Y)-系列に属することと(Lµ,^wY)-系列に属する ことは同値であるが，(Lν, Y)は

(wLνw⁻¹,^wY) = (Lµ,^wY)

に共役だから，結局Sが(Lµ, X)-系列と(Lµ,^wY)-系列に属しているとして 一意性を示せばよい．つまり最初からµ=ν と仮定して一意性を証明すれば よい．そこで最初に戻ってµ=ν と仮定する．このとき，

HomFGL_n(q)(R_L^G_µ(X), S)6= 0, HomFGL_n(q)(R^G_Lµ(Y), S)6= 0 よりX, Y ⊆Soc(^∗R^G_Lµ(S))であり，また補題2.11よりµがB(S)の極小元 であるから，補題2.10よりあるw∈Snが存在して

(i) wLµ(q)w⁻¹=Lµ(q) (ii) X '^wY

である．これは(Lµ, X)と(Lµ, Y)が共役ということに他ならない． ˜ 定理2.3により

{既約FGLn(q)-加群の同型類}= G

(Lµ,X)

(Lµ, X)-系列 である．ここで，µとX は下記のように定めた完全代表系を動く．

(1) まず{µ|=n}に同値関係µ∼νを，

あるw∈S_nが存在してwI_µw⁻¹=I_ν

により定義する．この同値類の完全代表系を{µ²n}/Snと書き，µは この完全代表系を走る．

(2) 各µ∈ {µ²n}/Snに対して既約cuspidalFLµ(q)-加群の同型類全体の なす集合に同値関係X∼Y を

あるw∈S_nが存在してwL_µ(q)w⁻¹=L_µ(q)かつX '^wY により定義する．X はこの完全代表系を走る．

ドキュメント内 Dipper-James 22 7 (ページ 73-80)