Mackey 公式

補題 2.7 µ, ν²n, w∈ Dµν, P1=Pµ, P2=wPνw⁻¹とし，Levi部分を L1=Lµ, L2=wLνw⁻¹，ベキ単根基をU1=Uµ, U2=wUνw⁻¹とおく．

(1) µ⁰ がµの細分ならば，Pµ⁰∩L1はL1の標準放物型部分群である．

(2) µ⁰ がµの細分ならば，Pµ⁰(q)∩Lµ(q)はLµ(q)の標準放物型部分群で ある．

(3) L1∩P2はL1∩L2をLevi部分にもつL1の標準放物型部分群である．

(4) Lµ(q)∩wPν(q)w⁻¹はLµ(q)∩wLν(q)w⁻¹をLevi部分にもつLµ(q) の標準放物型部分群である．

(5) P1∩P2はP1∩U2を正規部分群とするP1∩L2との半直積である．

(6) P1(q)∩P2(q)はP1(q)∩U2(q)を正規部分群とするP1(q)∩L2(q)との 半直積である．

証明 (1) Iµ⁰ ⊆IµなのでIµ⁰ の定めるL1の標準放物型部分群は Q:= (Bn∩L1)Sµ⁰(Bn∩L1)

である．よってQ=Pµ⁰∩L1を示せばよいが，

Q⊆(BnSµ⁰Bn)∩Lµ=Pµ⁰∩Lµ

だから，Q⊇Pµ⁰∩Lµを示せばよい．LµのBruhat分解より Lµ= (Bn∩Lµ)Sµ(Bn∩Lµ)

だから，Pµ⁰∩Lµの元をb1, b2∈Bn∩Lµ, u∈Sµを用いてb1ub2と書くと，

b1ub2∈Pµ⁰ =BnSµ⁰Bn だからu∈Sµ⁰ を得る．故に Pµ⁰∩Lµ ⊆(Bn∩Lµ)Sµ⁰(Bn∩Lµ) =Q.

(2)P_µ⁰(q)∩L_µ(q)はP_µ⁰ ∩L₁のFrobenius固定点だから，(1)より明らか．

(3)Iµ⁰ =Iµ∩wIνw⁻¹によりµ⁰ ²nを定めるとµ⁰はµの細分である．

I1={w(1),· · ·, w(ν1)}, I2={w(ν1+ 1),· · ·, w(ν1+ν2)},· · · I⁽¹⁾={1,· · ·, µ1}, I⁽²⁾={µ1+ 1,· · ·, µ1+µ2},· · ·

とし，I_a^(α)=Ia∩I^(α)とおく．順列w(1)w(2)· · ·w(n)の中で1,· · · , µ1が この順に左から右に並んでいることに注意すると，

I₁⁽¹⁾={1,· · ·,|I₁⁽¹⁾|}, I₂⁽¹⁾={|I₁⁽¹⁾|+ 1,· · ·,|I₁⁽¹⁾|+|I₂⁽¹⁾|},· · · である．他のI^(α)=I₁^(α)tI₂^(α)t · · · についても同様のことが成り立つ．

si∈Iµ⁰ となる必要十分条件は

{i, i+ 1} ⊆G

a,α

I_a^(α)

であるから，

µ⁰= (|I₁⁽¹⁾|,|I₂⁽¹⁾|,· · · ,|I₁⁽²⁾|,|I₂⁽²⁾|,· · ·,· · ·) であり，Pµ⁰, Lµ⁰, P1, L1, P2, L2は次のように書ける．

Pµ⁰= (

g= (gij)∈G|

Ãi∈I^(α), j∈I^(β)(α > β)又は i∈I_a^(α), j∈I_b^(α)(a > b)

!

ならばgij = 0 )

Lµ⁰= (

g= (gij)∈G|

Ãi∈I^(α), j∈I^(β)(α6=β)又は i∈I_a^(α), j∈I_b^(α)(a6=b)

!

ならばgij = 0 )

P1=n

g= (gij)∈G|³

i∈I^(α), j∈I^(β)(α > β)

´

ならばgij = 0o L1=

n

g= (gij)∈G|

³

i∈I^(α), j∈I^(β)(α6=β)

´

ならばgij = 0 o

P2= n

g= (gij)∈G|

³

i∈Ia, j∈Ib(a > b)

´

ならばgij = 0 o

L2=n

g= (gij)∈G|³

i∈Ia, j∈Ib(a6=b)

´

ならばgij = 0o よって，Lµ⁰ =L1∩L2かつL1∩P2=Pµ⁰∩L1である．

(1)ではPµ⁰ ∩L1 = (Bn∩L1)Sµ⁰(Bn∩L1) を示したから，L1∩P2は Lµ⁰(=L1∩L2)をLevi部分に持つL1の標準放物型部分群である．

ちなみに

1 //Uµ⁰∩Lµ //Pµ⁰∩Lµ //Lµ⁰ //1 L1∩P2 L1∩L2

よりL1∩P2のベキ単根基はUµ⁰∩Lµ=L1∩U2である．

(4) Frobenius固定点をとれば(3)より明らか．

(5) U1∩P2はP1∩P2の正規部分群であり，またL1∩U1= 1であるから，

P1∩P2= (L1∩P2)(U1∩P2)

を示せばよい．p∈P1をp=lu(l∈L1, u∈U1)と書くとlはpのブロック 対角成分に等しいことに注意すれば，p∈P1∩P2ならばl∈L1∩P2であり，

このことからu∈U1∩P2もしたがう．

(6) Frobenius固定点をとれば(5)より明らか． ^˜

補題2.7(4)により R^L_L^µ

µ∩wLνw⁻¹⊆Lµ∩wPνw⁻¹:F(Lµ(q)∩wLν(q)w⁻¹)- mod→FLµ(q)- mod が定義される．

またw⁻¹∈ Dνµに注意すれば，w⁻¹Pµ(q)w∩Lν(q)はw⁻¹Lµ(q)w∩Lν(q) をLevi部分に持つLν(q)の標準放物型部分群であるから

∗R_L^wLνw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹ :F(wLν(q)w⁻¹)- mod→F(Lµ(q)∩wLν(q)w⁻¹)- mod が定義される．

定義 2.7 µ, ν ²nとする．FLν(q)-加群M に対して，g ∈ wLν(q)w⁻¹ の作用をg·m:= (w⁻¹gw)mにより定めFwLν(q)w⁻¹-加群とみなしたもの を^wM またはw⊗M と書く．

Gを有限群とし,H, K をGの部分群とするとき，関手 Res^G_K◦Ind^G_H : FH- mod→FK- mod

を関手Ind^K_L ◦Res^H_L (L⊆K∩H)を用いて書き換える式をMackey公式と呼 んだ．次の定理はHarish-Chandra誘導のMackey公式と呼ばれる．

定理 2.1 µ, ν²n,G=L(n)とする.



 R_L^Lµ

µ∩wLνw⁻¹ :=R^L_L^µ

µ∩wLνw⁻¹⊆Lµ∩wPνw⁻¹

∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹ :=^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹

とすると，FLν(q)-加群M に対し次の同型が存在する．

∗R_L^G_µ◦R^G_Lν(M)' M

w∈Dµν

R^L_L^µ

µ∩wLνw⁻¹◦^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹(^wM)

またこの同型は変数M に関して自然である．

証明 まずRes^GL_P ^n(q)

µ(q) ◦Ind^GL_P ^n(q)

ν(q) (Infl^P_L^ν_ν(M))を考える．命題1.7より GLn(q) = `

w∈Dµν

Pµ(q)wPν(q) であるから，M(w) =FPµ(q)wPν(q) ⊗

FPν(q)Infl^P_L^ν_ν(M)とおくと Res^GL_P ^n(q)

µ(q) ◦Ind^GL_P ^n(q)

ν(q) (Infl^P_L^ν_ν(M))' M

w∈Dµν

M(w)

となり，示すべきは自然なFLµ(q)-加群同型 eµM(w)'R_L^Lµ

µ∩wLνw⁻¹⊆Lµ∩wPνw⁻¹◦^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹(^wM) の存在である．ただし，

eµ= 1

|Uµ(q)|

P

u∈Uµ(q)

u

であった．まずw⊗m7→w⊗m(m∈M)により Res^wP_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(^wInfl^P_L^ν_ν(M))→wPν(q) ⊗

FPν(q)Infl^P_L^ν_ν(M)⊆M(w) を定義すると簡単な計算でFPµ(q)∩wPν(q)w⁻¹-加群準同型とわかるから FPµ(q)-加群準同型

Ind^P_P^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹◦Res^wP_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(^wInfl^P_L^ν_ν(M))→M(w) を誘導する．P_µ(q)wP_ν(q)/P_ν(q)にはP_µ(q)が推移的に作用するのでこの準 同型は全射であり，wPν(q)/Pν(q)の固定化群がPµ(q)∩wPν(q)w⁻¹ である ことからM(w)の次元は

|Pµ(q)|

|Pµ(q)∩wPν(q)w⁻¹|dimM に等しい．故にこの準同型は同型であり

eµM(w)'eµInd^P_P^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹◦Res^wP_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(^wInfl^P_L^ν_ν(M)) を得る．ここで^wInfl^P_L^ν_ν(M)にはwUν(q)w⁻¹が単位表現で作用するから，

Res^wP_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(^wInfl^P_L^ν_ν(M)) 'Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹◦Res^wP_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wInfl^P_L^ν_ν(M)) 'Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹◦Res^wL_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wM) であり，N = Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹◦Res^wL_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wM)とおくと eµM(w)'eµInd^P_P^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(N)

である．Pµ(q)∩wPν(q)w⁻¹がUµ(q)∩wPν(q)w⁻¹ を正規部分群にもつ Lµ(q)∩wPν(q)w⁻¹との半直積であることに注意して

e⁰= 1

|Uµ(q)∩wPν(q)w⁻¹|

P

u∈Uµ(q)∩wPν(q)w⁻¹

u とおくと，(FLµ(q),F(Pµ(q)∩wPν(q)w⁻¹))-加群同型

eµFPµ(q)'FLµ(q) ⊗

FLµ(q)∩wPν(q)w⁻¹e⁰FPµ(q)∩wPν(q)w⁻¹ を得る．実際，右辺の元l⊗e⁰p(l∈Lµ(q), p∈Pµ(q)∩wPν(q)w⁻¹)に対し 左辺の元eµle⁰p=eµlpを対応させる写像は全射故，両辺の次元が等しいこと に注意して同型を得る．この同型から

eµM(w)'eµInd^P_P^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(N)'Ind^L_L^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(e⁰N) となることがわかる．そこで以下Lµ(q)∩wPν(q)w⁻¹-加群e⁰N を考える．

X を 任 意 のFPµ(q)∩wLν(q)w⁻¹-加 群 と す る ．Pµ(q)∩wLν(q)w⁻¹が Uµ(q)∩wLν(q)w⁻¹を正規部分群にもつLµ(q)∩wLν(q)w⁻¹との半直積で あることに注意して

e⁰⁰= 1

|Uµ(q)∩wLν(q)w⁻¹|

P

u∈U_µ(q)∩wL_ν(q)w⁻¹

u

とおくと，e⁰⁰X はFLµ(q)∩wLν(q)w⁻¹-加群で e⁰Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(X)'Infl^L_L^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(e⁰⁰X) である．実際，補題2.7(6)と同様に考えれば

Uµ(q)∩wPν(q)w⁻¹= (Uµ(q)∩wLν(q)w⁻¹)(Uµ(q)∩wUν(q)w⁻¹) であり，Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(X)にはUµ(q)∩wUν(q)w⁻¹が単位表現で作用して いることよりe⁰Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(X)はベクトル空間としてはe⁰⁰X に等しく，

Lµ(q)∩wPν(q)w⁻¹の作用を見ると，Lµ(q)∩wUν(q)w⁻¹が単位表現で作用 しているのでInfl^L_L^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(e⁰⁰X)になる．

とくに，X = Res^wL_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wM)とおけばN = Infl^P_P^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(X) であるから，

e⁰N 'Infl^L_L^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(e⁰⁰Res^wL_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wM)) を得る．ここで

e⁰⁰Res^wL_P ^ν(q)w−1

µ(q)∩wLν(q)w⁻¹(^wM) =^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹(^wM) であるから

e⁰N 'Infl^L_L^{µ∩wPνw−1}

µ∩wLνw⁻¹(^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹(^wM)) となり，eµM(w)'Ind^L_L^µ(q)

µ(q)∩wPν(q)w⁻¹(e⁰N)に代入して eµM(w)'R_L^Lµ

µ∩wLνw⁻¹⊆Lµ∩wPνw⁻¹◦^∗R^wL_L ^νw−1

µ∩wLνw⁻¹⊆Pµ∩wLνw⁻¹(^wM) を得る．また以上の議論に現れる同型はすべてM に関して自然である． ˜

ドキュメント内 Dipper-James 22 7 (ページ 55-62)