ベキ単指標の Hall 代数と対称関数環

定義 4.3 GLn(q)（n= 0,1,2,· · ·）のベキ単既約指標全体を基底とする Hall代数Aの部分空間をA^uniと書く．

補題 4.3 A^uniはAのC-部分代数である．

証明 V1がBm(q)-固定ベクトルをもつ既約CGLm(q)-加群でV2がBn (q)-固定ベクトルをもつ既約CGL_n(q)-加群のとき

T =Tm+n=Tm×Tn ⊆L= GLm×GLn⊆G= GLm+n

としてR^G_L(V1£V2)に現れる既約部分加群V がすべてベキ単であることを示 せばよい．しかしV1£V2はR^L_T(triv)の部分加群なのでV は

R^G_L◦R_T^L(triv)'Ind^GL_B ^m+n(q)

n(q) (triv)

の部分加群である．故にV はベキ単である． ˜

Hm(q)£Hn(q)を{Ti|1≤i < n, i6=m}が生成するHm+n(q)のC-部分 代数と同一視し，Hm+n(q)を(Hm+n(q),Hm(q)£Hn(q))-両側加群とみよう．

他方，L= GL_m×GL_n ⊆G= GL_m+nとして CXm+n'R^G_L(CXm×Xn) に注意すると，

Hm+n(q) = EndCGLm+n(q)(R^G_L(CXm×Xn),CXm+n)

であるが，b£c∈ Hm(q)£Hn(q)はR^G_L(b£c)によりR^G_L(CXm×Xn)に 左から作用するから，a, f∈ Hm+n(q)，b£c∈ Hm(q)£Hn(q)に対し

a·f·b£c = CXm+n

R_L^G(bc)

−→ CXm+n

−→f CXm+n a

−→CXm+n

としてもHm+n(q)は(Hm+n(q),Hm(q)£Hn(q))-両側加群になる．

これら２つの両側加群構造は実は同じものである．実際，LをLevi部分に もつ放物型部分群をP とすれば

Xm×Xn=P(q)/Bm+n(q)⊆G(q)/Bm+n(q) =Xm+n

と考えて，R^G_L(b£c)は次の可換図式

CXm×XnInfl^P_L(bc) //

CXm+n

Ind^G(q)_P(q)(CXm×Xn)

∃1

66l

l l l l l l

から定まる写像であるが，w∈Sm×Sn に対しXm×Xn で考えたfwは x⁻¹y∈Bm+n(q)wBm+n(q)のとき(x, y)7→1，

x⁻¹y6∈Bm+n(q)wBm+n(q)のとき(x, y)7→0，

で定まる関数

P(q)/Bm+n(q)×P(q)/Bm+n(q)−→C に等しいことに注意すると，これはXm+n で考えた

fw:G(q)/Bm+n(q)×G(q)/Bm+n(q)−→C の制限写像であって，このことより

Tw∈ Hm+n(q)のCXm×Xnへの制限はTw∈ Hm(q)£Hn(q)

であることがわかる．つまりHarish-Chandra誘導を用いてH_m+n(q)を (Hm+n(q),Hm(q)£Hn(q))-両側加群と見たときの右作用は自然な埋め込み

Hm(q)£Hn(q)⊆ Hm+n(q) :Ti 7→Ti (1≤i≤m+n−1, i6=m) によりHm+n(q)の右作用をHm(q)£Hn(q)に制限したものに他ならない．

定義 4.4 Z-加群Rq を Rq =M

n≥0

K0(Hn(q) -mod)

で定め，Rq の積をAと同様にV ∈ Hm(q) -mod, W∈ Hn(q) -modに対し [V][W] = [Ind^H_H^m+n(q)

m(q)CHn(q)(V £W)]

で定義する．ただし，

Ind^H_H^m+n(q)

m(q)CHn(q)(V £W) =Hm+n(q) ⊗

Hm(q)Hn(q)(V £W) である．

定義 4.5 Hn(q)の1次元表現

Ti7→q (1≤i≤n−1) をtrivq で表わす．

ベキ単既約CGLn(q)-加群の直和のなすCGLn(q) -modの充満部分圏を CGLn(q) -mod^uniとすると，

M 7→Hom_C(Hom_CGLn(q)(CX_n, M),C) は関手Fn:CGLn(q) -mod^uni→ Hn(q) -modを定める．

補題 4.4 Fnは圏同値であり，ベキ単既約CGLn(q)-加群を既約Hn (q)-加群に写す．とくに，単位加群をtrivq に写す．

証明 CGLn(q)とHn(q)は半単純C-代数だから，Fn により既約加群が 対応することを示せば十分である．そこで，CXnのCGLn(q)£Hn(q)-加群 としての既約分解を

CXn=M

V_i⁽ⁿ⁾£W_i⁽ⁿ⁾

とすると，Fn(V_i⁽ⁿ⁾) =W_i⁽ⁿ⁾だからFnによりベキ単既約CGLn(q)-加群は 既約Hn(q)-加群に対応する．また，CGLn(q)の単位表現はCXnの部分加群

C( P

x∈Xn

x)⊆CXn

として実現される．ここで，g∈GLn(q)に対して P

x∈Xn

fw(x, gy) = P

x∈Xn

fw(g⁻¹x, y) = P

x∈Xn

fw(x, y) であるから， P

x∈Xn

fw(x, y)は定数であり，とくにy=x0とすれば P

x∈Xn

fw(x, y) = P

x∈Xn

fw(x, x0) =|Bn(q)wBn(q)/Bn(q)|

である．故に Ti( P

x∈Xn

x) = P

x∈Xn

P

y∈Xn

fsi(x, y)y

= P

y∈Xn

à P

x∈Xn

fsi(x, y)

!

y=q( P

y∈Xn

y)

となり，関手FnはCGLn(q)の単位表現をtrivq に写す． ^˜ A^uniにはAの部分空間として自然に内積が定義されているが，Rq に対し ても，既約加群が正規直交基底であると宣言することにより内積を定めよう．

また，圏同値がGrothendieck群に誘導する同型写像を[Fn]と書く．すると，

次の命題が成立する．

命題 4.3 ⊕

n≥0[Fn]はC-代数計量同型 A^uni'Rq⊗

ZC

を与え，既約指標は既約Hn(q)-加群に対応し，単位指標はtrivqに対応する．

証明 補題4.4よりA^uni→Rq⊗CがC-代数準同型であることを示せば 十分である．CXm,CXn,CXm+nの既約分解を各々

CX_m=M

V_i^(m)£W_i^(m), CX_n=M

V_j⁽ⁿ⁾£W_j⁽ⁿ⁾ CXm+n=M

V_k^(m+n)£W_k^(m+n) とすると，L= GLm×GLn⊆G= GLm+nとして

R_L^G(V_i^(m)£V_j⁽ⁿ⁾) =M

k

c^k_ijV_k^(m+n) と書ける．このとき，

Fm+n(R^G_L(V_i^(m)£V_j⁽ⁿ⁾)) =M

c^k_ijFm+n(V_k^(m+n))

=M

c^k_ijW_k^(m+n) である．他方

Hm+n(q) = Hom_CGLm+n(q)(R^G_L(CXm£CXn),CXm+n) の右辺に

R_L^G(CXm£CXn) =M

i,j

R^G_L(V_i^(m)£V_j⁽ⁿ⁾)£W_i^(m)£W_j⁽ⁿ⁾

CXm+n=M

k

V_k^(m+n)£W_k^(m+n)

を代入して(Hm+n(q),Hm(q)£Hn(q))-両側加群同型 Hm+n(q)'M

i,j,k

c^k_ijHomC(W_i^(m)£W_j⁽ⁿ⁾, W_k^(m+n))

を得るから，

Hm+n(q) ⊗

Hm(q)Hn(q)(Fm(V_i^(m))£Fn(V_j⁽ⁿ⁾))

' M

α,β,k

c^k_αβHomC(W_α^(m)£W_β⁽ⁿ⁾, W_k^(m+n)) ⊗

Hm(q)Hn(q)W_i^(m)£W_j⁽ⁿ⁾ となるが，一般に有限次元半単純C-代数Aと既約A-加群V1, V2に対して

HomC(V1,C)⊗

AV2=





C (V1'V2) 0 (V16'V2) が成り立つことより

Ind^H_H^m+n(q)

m(q)Hn(q)(W_i^(m)£W_j⁽ⁿ⁾)'M

k

c^k_ijW_k^(m+n)

である．以上から，A^uni→Rq⊗CはC-代数準同型である． ˜ ここで，HoefsmitによるH_n(q)の既約表現の構成について触れておこう．

分割λ`nをYoung図形とみなし，Std(λ)をλの標準盤のなす集合とする．

すなわち，Young図形λに1,· · ·, nを１回ずつ使って，各行で左から右へ，

各列で上から下へ数字が増加するように書きこんだものが標準盤である．定義 を見れば明らかなように，標準盤は第３章で触れた半標準盤の一種である．

定義 4.6 標準盤T に対し，cT(i)（1≤i≤n）をiがT のa行b列で あるときcT(i) =−a+bで定める．

補題 4.5 Lを体とし，t∈L^×が

tⁱ+tⁱ⁻¹+· · ·+ 16= 0 (1≤i≤n−1)

をみたすとする．V^λをStd(λ)を基底にもつL上のベクトル空間とし，

Ti:V^λ−→V^λ を次のように定める．

(1) T ∈Std(λ)においてi, i+ 1が同じ行にあるとき，TiT =tT． (2) T ∈Std(λ)においてi, i+ 1が同じ列にあるとき，TiT =−T． (3) (1)，(2)以外のとき，iとi+ 1の位置を入れかえて得られる標準盤を

T⁰とすると，

TiT = (t−1)t^cT(i+1)

t^cT(i+1)−t^cT(i)T+ ( (t−1)t^cT(i+1)

t^cT(i+1)−t^cT(i) + 1)T⁰ このとき，V^λはH_n(t)-加群である．

X1 = 1，Xi+1=t⁻¹TiXiTi（1≤i < n）によりX1,· · ·, Xn ∈ Hn(t)を 定めると

XiXj=XjXi (1≤i≤j≤n)

が成り立ち，T ∈Std(λ)は同時固有ベクトルである．固有値は XiT =t^cT(i)T (1≤i≤n)

で与えられる．

q∈Q≥1ならHn(q)-加群V^λが定義されることに注意しよう．

命題 4.4 q∈Q≥1とする．このとき，{V^λ|λ`n} は既約Hn(q)-加群 の同型類の完全代表系である．

証明 X1,· · · , Xnの同時固有値を与えたとき標準盤がただ１通りに復元 できるので，V^λにおけるX1,· · ·, Xn の同時固有値の重複度は高々1である．

故にV^λ の部分Hn(q)-加群はかならず標準盤を基底にもつから，V^λの既約 性がわかる．また，λ6=µならばV^λとV^µに現れる同時固有値は相異なる からV^λ6'V^µである．最後にRobinson-Schensted対応により

P

λ`n

(dimV^λ)²=n!

だから，これですべての既約Hn(q)-加群が得られていることがわかる． ˜ ここで半単純対称代数の理論を復習しておこう．Lを体とする．有限次元 L-代数Aが対称代数とはTr(ab) = Tr(ba)（a, b∈A）をみたすL-線形写像

Tr :A−→L

であって，ha, bi= Tr(ab)が非退化であるときをいう．このとき，Aの基底 {a₁,· · · , a_N}，{b₁,· · ·, b_N}をha_i, b_ji=δ_ij となるようにとることができる．

とくに次が成り立つ．

a∈Aに対し，abj= P^N

i=1

cijbi（cij∈L）ならば，aia= P^N

j=1

cijaj． V1, V2を絶対既約A-加群とし，f ∈HomL(V1, V2)に対し

I(f) :v7→ P^N

i=1

bif(aiv) とおくと，a∈Aに対し

I(f)(av) =P^N

i=1

bif(aiav) = P^N

i,j=1

bicijf(ajv) = P^N

j=1

abjf(ajv) =aI(f)(v) が成り立つから，I(f)∈HomA(V1, V2)であり，I(f)にSchurの補題を適用 することができる．I(f)はAが群代数CGのときの平均化作用素

I(f) = P

g∈G

g⁻¹f g

の一般化であり，指標の理論を群代数の場合と同様の議論で展開することがで きる．以下に要点をまとめておこう．

命題 4.5 Aを体L上のN 次元対称代数とし，Aの基底 {a1,· · · , aN}, {b1,· · ·, bN}

をhai, bji=δij となるようにとる．このとき各絶対既約A-加群V に対して 次が成立する．

(1) あるf ∈EndL(V)が存在してI(f)6= 0になることとV が射影A-加群で あることは同値である．

(2) V が射影A-加群であるならば，cV ∈L^× が存在して任意のf ∈EndL(V)

に対してI(f) =cV Tr(f, V) IdV となる．また，V の等質成分への射影子は 次で与えられる．

eV = 1 cV

PN i=1

Tr(ai, V)bi

次の性質はHecke代数の表現論において基本的である．

補題 4.6 Lを体，c∈L^×とする．e∈Sn を単位元とするとき，

Tr :Tw7→





1 (w=e) 0 (w6=e) と定めることによりHn(c)は対称L-代数である．

証明 aw=Tw，bw=c^−`(w)T_w⁻¹（w∈Sn）とおき hay, bwi=δyw

が成り立つことを`(y)に関する帰納法で証明しよう．y=eのときは明らか．

y=y⁰siかつ`(y) =`(y⁰) + 1とするとき，

hay, bwi=hay⁰, Tibwi=





cδy⁰,wsi (`(wsi)> `(w)) δ_y⁰_,wsi+ (c−1)δ_y⁰_,w (`(ws<sub>i</sub>)< `(w)) であるが，`(wsi)> `(w)のとき，y⁰=wsiならば

`(wsi) =`(y⁰)< `(y<sup>0</sup>si) =`(w)

で矛盾するから，cδy⁰,wsi = 0 =δy⁰,wsiである．他方，`(wsi)< `(w)のとき，

y⁰=wならば

`(wsi) =`(y⁰)> `(y<sup>0</sup>si)< `(y⁰) =`(w)

でやはり矛盾する．以上からhay, bwi=δy⁰,wsi=δyw となり，とくに非退化

対称形式が定まる． ˜

命題 4.6 Z-代数同型Rq 'R1 が存在し，既約Hn(q)-加群V^λ は既約 CSn-加群V^λに対応する．

証明 tを不定元とし，Hoefsmitの表現をQ(t)の場合に考える．Hoefsmit の表現はt7→q∈Q≥1と特殊化しても定義されるから，特殊化する前と後の

Ind^H_H^m+n(q)

m(q)Hn(q)(V^µ£V^ν)

中のV^λの重複度c^λ_µν を比較しよう．ここで，V =V^λに対するcV をcλ(t) と書く．cλ(t)がt=qに極を持つならば，

I(IdV) =cλ(t)(dimV) IdV

の分母を払ってt 7→qと特殊化すれば矛盾する．t =qに零点を持つと恒等 的にI(f) = 0となりやはり矛盾するのでcλ(q)6= 0である．以上から射影子 e_Vλ はそのまま特殊化できるので

c^λ_µν =dime_VλInd^H_H^m+n(q)

m(q)Hn(q)(V^µ£V^ν) dimV^λ

に注意すれば，t7→qと特殊化するとc^λ_µν は増加しないことがわかる．他方，

c^λ_µν = dim Hom_Hm+n(q)(Ind^H_H^m+n(q)

m(q)Hn(q)(V^µ£V^ν), V^λ)

よりc^λ_µν は連立１次方程式の解空間の次元として計算できる．故にt7→qと 特殊化するとc^λ_µν が減少しないことがわかる．以上からc^λ_µν はq∈Q≥1への 特殊化に依存しない一定の数であることがわかり，題意を得る． ˜

命題4.3と命題4.6を併せて次を得る．

系 4.1 C-代数計量同型A^uni'R₁⊗

ZCが存在し，ベキ単既約指標は既約 指標に対応する．

定義 4.7 各λ`nに対して既約CSn-加群V^λに対応するGLn(q)のベ キ単既約指標をξλと書く．

対称群の元cn= (1,2,· · ·, n)∈Sn を

cn(i) =





i+ 1 (1≤i < n)

1 (i=n)

で定め，µ`nに対しSnの放物型部分群Sµを考え，

cµ=cµ1×cµ2× · · · ∈Sµ1×Sµ2× · · ·=Sµ

と定義する．cµで代表される共役類をC(µ)と書く．{C(µ)| µ`n}はSn

の共役類の完全代表系である．また，

zµ=|CSn(cµ)|=|{w∈Sn|wcµ=cµw}|

とおくと，|C(µ)|=n!/zµである．Sn 上の複素数値類関数πµを

πµ(w) =





1 (w∈C(µ)) 0 (w6∈C(µ)) で定め，線形同型ψ:R1⊗

ZC'Λ⊗

ZCをπµ 7→ 1 zµ

pµで定義する．このとき 次が成り立つ．

補題 4.7 ψはC-代数同型である．

証明 µ`m，ν`nとする．x∈C(λ)⊆Sm+nに対し，

πµπν(x) = Ind^S_S^m+n_m×Sn(πµ£πν)(x)

= 1

m!n!#{g∈Sm+n|g⁻¹xg∈C(µ)×C(ν)}

であるが，

{g∈Sm+n|g⁻¹xg∈C(µ)×C(ν)} 6=∅

ならば最初からx∈C(λ)∩(C(µ)×C(ν))としてよく，このときλは µ1, µ2,· · ·, ν1, ν2,· · ·

を大きい順に並べたものとしてただひと通りに定まる．さらに，xのSm+n中 での中心化群をCSm+n(x)として

{g∈Sm+n|g⁻¹xg∈Cµ×Cν}={zh|h∈Sm×Sn, z∈CSm+n(x)}

と書ける．すなわちこの集合にはCSm+n(x)×(Sm×Sn)が推移的に作用し，

固定化群は

C_Sm+n(x)∩(S_m×S_n) =C_Sm×Sn(x) であるから，

#{g∈Sm+n |g⁻¹xg∈C(µ)×C(ν)}= zλm!n!

zµzν

を得る．よって，pλ=pµpν に注意すれば，

ψ(πµπν) = zλ

zµzνψ(πλ) = 1

zµzνpλ= 1

zµzνpµpν=ψ(πµ)ψ(πν)

となり，ψはC-代数同型である． ˜

次式はCauchy恒等式としてよく知られている．証明するにはxi =yj= 0

（i, j > n）としてから考えればよく，このとき，左辺をh_i(x)とy_jの単項式 の積の和で展開したのちxの基本交代式とyの基本交代式をかけて補題3.9 を用いれば右辺が得られる．

Q∞ i,j=1

1

1−xiyj = P

λ∈P

sλ(x)sλ(y)

このように組合せ論的議論で簡単に証明できる等式ではあるが，表現論的には次 のような理解が重要である．すなわち，Matn(C)にはGLn(C)が両側から作用 するので，Matn(C)上の多項式関数全体のなすC-代数を(GLn(C),GLn (C))-両側加群とみることができる．xi=yj = 0（i, j > n）としたCauchy恒等式 は，この多項式表現の既約分解を指標等式として書いたPeter-Weyl型定理に 他ならない．Cauchy恒等式の左辺をベキ和対称関数で書き直せば

Q∞ i,j=1

1

1−xiyj = exp(P

n≥1

1

npn(x)pn(y)) = P

λ∈P

1

zλpλ(x)pλ(y) も簡単に証明できることを注意しておく．とくに，yi = 0（i≥2）とすれば 次式を得る．

hm= P

µ`m

1 zµpµ

命題 4.7 Smの単位指標をηmとすると，λ`nに対し χ^λ= det(ηλi−i+j)∈R1

は既約CSn-加群V^λの指標で，ψ(χ^λ) = det(hλi−i+j) =sλが成り立つ．

証明 Λにhpλ, pµi=δλµzλ で内積を入れると，

P

λ∈P

1

zλpλ(x)pλ(y) = P

λ∈P

sλ(x)sλ(y)

よりhsλ, sµi=δλµであり，R1の内積を考えると，µ`n, ν `nに対して hπµ, πνi=δµν 1

zµ

が成り立つからψは計量同型になる．他方，η_m= P

µ`m

π_µより

ψ(ηm) = P

µ`m

1 zµ

pµ=hm

であるから，χ^λ= det(ηλi−i+j)とおくと，補題3.9よりψ(χ^λ) =sλである が，χ^λは単位指標の誘導指標の交代和であるから一般指標であり，また

hχ^λ, χ^λi=hsλ, sλi= 1

であるから，χ^λ(1)>0を示せばχ^λは既約指標になる．ところが χ^λ(1) =hχ^λ, π₍₁ⁿ₎i=hsλ, pⁿ₁i=hsλ, eⁿ₁i

であり，命題3.3(2)においてt= 0とすればeⁿ₁ がSchur関数sλの非負整数 係数一次結合であることがわかるからχ^λは対称群Sn の既約指標である．

χ^λ が既約CS_n-加群V^λの指標であることをnに関する帰納法で示そう．

実際，上で用いた命題3.3(2)の式によれば，µ`n−1に対し sµe1=P

λ

sλ

であって，和はλ`n，λ⊇µとなるものを走るので，

ψ(Ind^S_Sⁿ_n−1(χ^µ)) =sµe1= P

µ⊆λλ`n

ψ(χ^λ)

であり，Frobenius相互律より Res^S_Sⁿ

n−1(χ^λ) = P

µ`n−1 µ⊆λ

χ^µ

と書ける．他方，

Res^S_Sⁿ_n−1(V^λ) = M

µ`n−1 µ⊆λ

V^µ

だから，帰納法の仮定よりRes^S_Sⁿ_n−1(V^λ)の指標はRes^S_Sⁿ_n−1(χλ)である．故に V^λがRes^S_Sⁿ_n−1(V^λ)から一意的に決まることに注意すれば題意を得る． ˜

命題4.7を言いかえれば次の命題になる．

命題 4.8 対称群Sn の単位指標をhnに対応させると次のZ-代数同型が 定まる．

R₁=M

n≥0

K₀(CS_n-mod)'Λ

このとき，既約CSn-加群V^λはSchur関数sλに対応する．

命題4.3，命題4.6，命題4.8より，A^uniのZ-部分代数A^uni_Z を

A^uni_Z = ⊕

λ∈PZξλ

で定めるとZ-代数計量同型A^uni_Z 'Rq 'R1'Λ を得る．Schur関数の積を sµsν = P

λ∈P

c^λ_µνsλ

と書くとき，c^λ_µν をLittlewood-Richardson係数と呼ぶ．c^λ_µν を具体的に計算 する方法が知られており，種々の観点から研究されている．GLn(q)のベキ単 指標のHarish-Chandra誘導は，Littlewood-Richardson係数を用いて

R^GL_GL^m+n_m×GLn(ξµ£ξν) = M

λ`m+n

c^λ_µνξλ

と具体的に計算できることに注意しておく．

ドキュメント内 Dipper-James 22 7 (ページ 136-150)