付録A
922．正の有理数3つのリストで、積が互いに等しく、かつ和も互いに等 しいものがη個ある。
3．自然数3つのリストで、積が互いに等しく、かつ和も互いに等しい ものがη個ある。
証明2と3が同値であることは、η個のリストにある3η個の有理数全 ての分母の最小公倍数をそれぞれの有理数にかければ、どのリストも自 然数3つとなることから分かる。
次に、1が成り立つならば、2が成り立つことを示す。
三角形の三辺の長さをJ，m、ηとすると、三角不等式
｛ J＋m＞η m＋η＞王 η十王＞m
（A．1）
を満たす。この自然数1，m、ηに対して、正の有理数α、6，cがあって、
｛ J＝α十6
m＝6＋C
η＝c＋α
（A．2）
を満たすとする。実際、式（A．2）をα、わ、cについて解くと、
五一m＋η α＝
2 三十m一η 6＝
2 −4＋m＋η c＝
2
となり、（A・1）を考慮すれば、α、6，cは正の有理数となる。
このとき、式（A．2）を用いて三角形の周の長さと面積をα、6，cで表す。
まず、三角形の周の長さは2（α十6＋c）となる。また、三角形の面積を3
とすると、ヘロンの公式より、3＝（血十b）十（宇）十（C＋α）＝α十わ十〇とおけば、
付録A
93となる。つまり、三角形の周と面積は有理数α、う、cの和と積で決まり、
周の長さも面積も互いに等しい三角形がη個あれば、積も和も互いに等 しい有理数3つのリストもη個あることが分かる。
次に、3が成り立つならば、1が成り立つことを示す。
リストの1つを［α，6，c1（α，6，c∈N）とすると、α十6，6＋c，c＋αは以 下の不等式
（α十6）十（6＋C）＞C＋α （b＋・）十（・十α）＞α十6 （c＋α）十（α十ろ）＞6＋c
を満たすので、三辺の長さがα十6、う十C，C＋αとなる三角形が作れる。
このとき、やはり三角形の周の長さと面積はそれぞれα、6，Cの和と積で 決まることを考慮すれば、和も積も互いに等しい自然数3つのリストが η個あれば、周の長さも面積も互いに等しい三角形もη個あることが分 かる。 □ そこで、ここでは次のことを示したい。
定理A．1．3ある正の有理数mがあって、和が1、積がmとなるような
正の有理数3つの組は無限にある。リストとして等しくなるような有理数3つの組は高々6組なので、定
理A，1，3が成り立つならば、次が得られる。
定理A．1．4任意の自然数ηに対して、周の長さも面積も互いに等しくな るような、互いに合同でない整数三角形がη個存在する。
A．2 和と積が等しい3つの有理数の組
この節では前節の定理A，！．3のm＝搬のときを示す。
定理A．1．3の証明
ある正の有理数mがあって、
｛α十6＋c＝1 αbC＝m一
（A．3）
を満たす正の有理数α、6，cの組は無限にあることを示す。
付録A
94まず、Cを消去すると、
α6（1＿α＿6）＝m（m≠O） （A．4）
となる。逆に式（A，4）を満たすαと6で、α＞0，6＞O，1一α一わ〉0と なるものがあれば、式（A．3）を満たすα、6，cが得られる。
ここからは、有理数α、6の符号を考えずに、あるmに関して、式（A，4）
を満たすαとわの組が無限に存在することを示し、その後でα〉0、わ＞0，
1一α一6＞0を満たすものも無限に存在することを示す。
λトエ）
とし、g1をλで表される射影変換とする。
ψ1［α，わ，11＝k，μ，11となるとき、
｛
4m
＝α十b−1 ＿4m（α一6）
μ一α十b−1
（A．5）
となる。このとき、
スー÷（1÷二ξ）
なので、何1レ，リ，11＝1α，6，11より、
｛α＝吐吐迎
2π b＝ト砂十4m 2皿
（A．6）
となる。すると、（A．4）の3次曲線をψ1で移した曲線の式は、
μ2＝・3＋・2＋8m・十16m2 （A，7）
となる。ここで、
14．13
η7＝ 23・36 とおくと、（A．7）の曲線は
2 3 2
μ＝ 十 十
14．13 72．132
z＋
36 312
（A．8）
付録A
95となり、この曲線上に
〜）一（141．13，一7313） （…）
となる有理点が存在する。（この点は和が1で積がmとなる組（α，6，c）＝
（蒜，蒜，士）を式（A．5）により変換して得られる。）一方、
・一
i1ギ）
で表される射影変換を物とし、ψ2［ ，μ，11＝［ ，μ ，11とするとき、
z ＝34 μ㌧36μ となる。このとき、
パー illl）
より、
1 ＝一 34 1 μ＝〆
となる。すると、（A．8）の曲線を物で移した曲線は μ 2＝・ 3＋34・ 2＋14・13・32・ 十72132 となり、
！・（・）一（一143．13．7113）
（A．10）
となる。つまり、式（A．10）は整数係数で、（A．10）の曲線は格子点でない 有理点ψ2（P）をもつ。
このとき、系4．4．8より、（A．10）の曲線上の有理点（ ，ツ ）が無限に存在 することが分かるので、式（A14）を満たす
（α，6）＝λ一1M■1（ ，μ ）
付録A
y o．5
九
一1 ・O．5 0 o．5
96
図A．1：μ：g（ ）のグラフ
の組も無限個存在する。
次に、α、6，Cがすべて正である組が無限に存在することを示す。
まず、（A．8）の曲線の概形を考える。式（A．8）の右辺を
・（工）一・・十・…一・1…一…（・…）・，（・一景．ll）
とおくと、
124397 9（一1）＝ ＜0 312
・（一1）一墓69；；・・
9（一4m）：（一4m）3＜0 9（O）＝16m2〉0
より、ひ：g（ ）のグラフは 軸と3度交わる。実際、μ＝g（ ）のグラフ は図A．1のようになる。
このとき、μ2＝g（z）のグラフは右辺が正の部分のみ現れるので、2つ の連結成分からなり、実際、図A．2のようにπ＜一4mと ＞一4mの部 分に分かれる。
このうち、式（A．5）の変換で正の有理数の組（α，わ，c）に対応する部分を 考える。
付録A
ソ
o．5 ／
！
／
／
／ 一一州㎞㌦ 』、
！ 、、、̲ ．■ノー o 文
〜 ＼、 〆
㌔
黶̲郁ノ！＼ へ㌔．、、＿＿一一・一 む，5
＼
㌔．
＼
＼
＼
＼
＼
＼
＼
苅．蔓 ＼
㌔
97
図A．2：μ2＝g（ ）のグラフ
｛
α＝地＞0
2価