＼．
図A．3：∫（ ，μ）、μ＝土（ 十4m）のグラフ
より、μ＝＿ ＿4mはア（ ，μ）の（O，＿4m）での接線であり、μ＝ 十4m は∫（ ，μ）の（O，4m）での接線である。
また、μ＝±（ 十4m）と∫（ ，μ）の上下関係を考えると、 ＜Oでは、
・3＋・2＋8m・十16m2一（・十4m）2＝・3＜O
なので、 ＜一4mではプ（ ，μ）は直線μ＝一 一4mより下にあり、直 線μ＝ 十4mより上にあることが分かる。従って、！（ ，μ）、直線μ＝
＿ ＿4m、直線ひ＝ 十4mの3つのグラフは図A．3の通りである。
以上のことを考慮すれば、（A，11）を満たす∫（z，μ）上の有理点が存在す るのは、！（ ，μ）の零点のうち、 ＜一4mのものである。
ここからは、！（ ，ひ）上の有理点のうち、 ＜一4mのものが無限にある ことを示す。∫（ ，μ）の ＜一4mの部分を01、 ＞一4mの部分を02と する。また、んP＝竹とおくと、式（A．9）より、P＝P1∈01となる。
このとき、片とP1はそれぞれ無限位数より、片十P1≠0となる。従っ て、片≠＿P1であることを考慮すれば、命題3．4．10より、片とP1を結 んだ直線1はひ軸と平行にな一 轤ﾈいことから、
J：μ＝λ 十μ（入，μ∈R）
と表せる。このとき、∫（ ，v）とJの交点を求める式は ・3＋（・斗4m）2一（畑十μ）2＝0
付録A
99となる。ここで、
ψ）＝・3＋（・十4m）2一（畑十μ）2
とおく。
1．片∈0ユのとき、
（a）ん（一4m）くO
（b）ん（ ）の 3の係数が1（＞O）
（c）汽とP1が共に01にあるので、それぞれの 座標は く一4m より、ん（ ）は ＜＿4mに2解をもつ
ことを考慮すれば、ん（ ）＝Oは ＞一4mで1つ解をもつ。つまり、
片＊P1は02土にある。このとき、片十P1の座標は命題3．4，9より、
片＊P1のμ座標の符号を変えたものであるので、P此十P1（＝片十1）
も02土にある。
21Pk∈02のとき、
（a。）ん（一4m）くO
（b）ん（ ）のz3の係数が1（＞o）
（c）Pた∈σ2とP1∈σ1で、それぞれのκ座標はκ＞＿4m、π＜
一4mより、ん（ ）は ＞一4mと ＜一4mで解をそれぞれ1つ
ずつもつ
ことを考慮すれば、ん（ ）＝Oは ＜一4mでもう1つ解をもつ。従っ
て、Pた＊P1は01土にあることが分かる。このとき、片十Pユの座
標は命題3．4．9より、片＊一P1のμ座標の符号を変えたものであるの で、片十P1（＝片十ユ）も01土にある。1と2より、次が分かる。
汽∈0！ならば、片十1∈02 P為∈02ならば、P此十1∈0！
付録A
100従って、
み十！∈0。
となり、01土の有理点は無限に存在する。
つまり、式（A．11）を満たす 、μは無限に存在するので、正の有理数の 組（α，6，C）も無限に存在する。
口
101
おわりに
本研究を進めるにあたり、大学院入学当初から3年間にわたり手厚く ご指導してくださった、主任指導教員の濱中裕明准教授に心から御礼申 し上げます。私は大学時代、法学部に所属しており、数学の知識は全くあ りませんでした。しかしそのような私に対して、濱中先生は本来大学で 学習する数学から丁寧に教えてくださいました。その際、熱心に私にご 指導してくださる濱中先生のお姿をみて、教師のあり方を学ぶことがで きました。また、濱中先生の授業は様々な工夫がされており、私は数学の 楽しさを知りました。ごめ数学の楽レさを現場で生徒に伝えていきます。
最後になりましたが、授業でお世話になった数学教室の先生方、日ごろ から私を支えてくださいました数学教室の皆さまにも深く感謝致します。