ところで、Zo≠0としても一般性を失わない。そこで、F（X，γZ）、
G（X，K Z）、H（X，γZ）、PをZ方向に非同次化したものをそれぞれ∫（ ，μ）、
g（ ，μ）、ん（ ，μ）、ρとすると、G（X，γ；Z）．H（X，KZ）の非同次化はg（ ，μ）、
ん（ ，μ）となる。
ここで、∫（ ，μ）上に動点ρt（叫，ω（ρo＝ρ）をとる。ただし、細士1｛＝o≠o とする。
今、∫（G，F；P）＝α、∫（H，F；P）＝6とすると、系2．5．5より、∫（g，∫；ρ）＝
α、∫（ん，プ；ρ）＝わが成り立ち、以下のように表せる。
（舳・）』／；：：1：ll
（岳〜）』／；lll：ll
このとき、補題2．6．6より、
（壬）｛／舳・）・／／；1：l1続
が成り立つ。従って、∫（gん，∫；ρ）＝∫（GH，F；P）＝α十6なので、題意は 示された。
□
2．7 直線の剥離
この節では以下の交点のリストにおける性質を示す。
定理2・7・1非特異でη次の射影曲線F（X，γZ）、η次の射影曲線G（X，K Z）
と射影直線ムがあり、F（X，XZ）はG（X，γZ）のスカラー倍ではないと する。このとき、
＾士（F，ム）＝工1・士（G，工）＝［α。。．．α。1
ならば、あるμ∈Rがあって、
F（X，KZ）十μG（X，γZ）＝L・K（X，KZ）（ただし、Kはη一1次曲線）
を満たす。
第2章 重複度 52
上の定理を示すために、ここからは様々な準備をする。補題2．7．2射影直線工：γ＝Oを成分にもたない射影曲線F（X，γZ）が
工1，O，o］を含むとする。
このとき、工を工に移し、〃5元（Fo g−1，Z）が点11，O，01をリストにも たない射影変換ψが存在する。
特に、F（X，とZ）が有理数係数の曲線ならば、F（ψ■1（X，KZ））も有理 数係の曲線になるようにρをとることができる。
証明射影曲線F（X，γ；Z）は工を成分にもたないので、命題1．5．4より、
γ＝0土の零点全てがF（X，XZ）上にあることはない。
そこで、γ＝0土にありF（X，とZ）上にないような点P＝［α，O，1］（α∈
R）をとり、点ρ＝［1，0，01とする。このとき、
P→［1，0，01，Q→［0，0，ユ1，［0，1，01→［0，ユ，01
となる射影変換ψ1を用いれば、2点ψ1（P）とψユ（Q）がγ＝0土より、
ψ1（ム）＝工 となる。
また、PがF（X，γZ）上にないことから、ψ1（P）＝［1，0，O1はF（ψ■1（X，γZ））
上にない。
る1：：1∵点∴二二∵な
□ 補題2．7．3η次多項式∫（ ，リ）を同次化したものをF（X，γZ）とする。
このとき、射影曲線F（X，γZ）が［1，0，01を通らないならば、∫（π，ひ）は がの項をもつ。
証明対偶を示す。プ（ ，μ）ががの項をもたないとし、
ル，μ）一 Σα1j州α1ゴ∈R，αれ・一0）
O≦壱，O≦ゴ，｛十ゴ≦n
とする。このとき！（z，μ）を同次化すると
F（X，γ；Z）＝ Σ α1ゴXψZ肌十ゴ 0≦4，O≦〃十ゴ≦几
第2章 重複度 53
となる。X几γ0Zo以外の項は必ずγかZを成分に持つので、乞≠ηであ ることを考慮すれば、F（1，O，o）＝Oとなる。口 これらの補題を用いて以下の定理を示す。
定理2．7．4η次射影曲線F（X，XZ）と射影直線工を考える。このとき、
ムがF（X，γZ）の成分でないならば、F（X，γZ）とムの重複度を込めた 交点の個数はη＿2ん個（ゐ∈N，ん≦書）である。
証明補題1．4．4より、工をγ＝Oに移す射影変換g1が存在する。このと き、仮定より、F（x，γ；z）は工を成分にもたないので、F（何1（x，γz））
はγ＝0を成分にもたない。また、命題1．5．4より、γ＝O上の零点全て がF（何1（X，とZ））上にあることはない。
一方、仮にF（何1（X，γ4））が［1，O，01を含むとしても、補題2．7．2より、
γ＝0をγ＝0に移し、〃5土（F。何1。河1，γ）が［1，0，o］を含まない射 影変換物が存在するので、はじめからF（町1（X，γZ））が［1，0，o］を含ま
ないとしてよい。このとき、F（何1（X，耳Z））をZ方向に非同次化したも のを∫（ ，μ）とすると、射影変換しても射影曲線の次数は不変であり、補 題2．7．3より、∫（ ，μ）はη次の項をもつことから、
F（X，XZ）の次数
＝F（何ユ（X，KZ））の次数 ＝∫（ ，ひ）の次数
＝η
である。
従って、η次で非特異な曲線∫（ ，μ）とμ＝0の重複度を込めた交点の 数がn＿2ん個であることを示せばよい。
ここで、μ＝0の動点ρt（t，0）をとると、補題2．7．3より∫（ ，μ）が〆 の項をもつので、方程式〃，0）＝Oはtれを項にもつ。このとき、η次 方程式∫（亡，O）＝0の解は高々n個であることから、解を重複度を込めて α1＿αm（m≦η）とすると、ある多項式g（亡）に対して、
〃，O）＝（亡一α。）（トα。）．。．（士一αm）9（t）
（ただし、g（古）は実数解をもたない。）を満たす。仮に、g（古）の次数が奇数 であるとすると、
・（1）一・2 ・1