トル岳（X士，η，4）1亡＝。はベクトル（太。，巧，Z。）と平行でないとした理由を述 べる。それは、仮に方向ベクトル岳（Xf，巧，Z士）■t＝oとベクトル（Xo，篶，Zo）
が平行であるならば、同次座標としては動点がPで止まるという不都合 が生じてしまうからである。
また、次も分かる。
補題2・5・2射影曲線F（X，γZ ）上に動点易［Xt，巧，Ztlがあるとする。
このとき、方向ベクトル岳（Xt，巧，易）1士＝oはベクトル（Xo，巧，Zo）（ただし、Zo≠
0）と平行でないならば、乃をZ方向に非同次化したものをρオ（η，眺）とお
くと、
d → 一（叫，ω1｛一〇≠O 〃
を満たす。
証明対偶を示す。岳（均，ω一士＝O＝δより、
岳・仙一出）1士一・一科＝ozゾ島4If＝o一・
岳晩1亡一・一篶）1…一綱オー0z0戸41t−0一・
となり、
d d
万Xl−f一・・ZrXガ蒜Ztll一・一0 d d
−y；lt二〇一・zo−y乙・一z亡1｛＝o＝o 批 枕
を満たす。従って、
d d
−X．1土＿。：一Ztlt一。＝X。：Zo 批 批
d d
一 一。：一Zせ1士一。＝汽：Z。
批 砒
となり、岳（X亡，η，Zt）1t＝oと（Xo，η，Zo）が平行であることが示された。口
次に、射影曲線F（X，XZ）と射影曲線G（X，γZ）の交点Pでの重複度 は動点乃のとり方によって変わらないことを証明する。その前に補題を 用意しよう。
第2章 重複度 42
補題2．5．3t＝Oで無限回微分可能な関数ん（亡）と関数8（士）に対して、ん（0）＝0，8（O）≠0ならば、ん（士）＝0とん（士）・5（t）＝Oの亡＝0での 重複度は等しい。
証明ん（亡）・5（士）をm回微分すると、
（岳）m（州・・（1））一ξ・い（1）（1）・・（・一1）（1）
m−！
＝ん（㎜）（亡）・8（士）十Σ二ん（｛）（t）（mq・5（m…｛）（亡））
｛＝O
となる。従って、ん（m）（O）の値がm＜αのとき0で、m＝αのとき0でな いならば、（岳）m（ん（亡）・5（亡））1土＝oの値もm＜αのときOで、m＝αのとき 0でない。
□ 補題2．5．3を用いて、射影曲線F（X，γZ）と射影曲線G（X，KZ）の共有 点Pでの重複度は動点P亡のとり方によって変わらないことを証明する。
定理2．5．4射影曲線F（X，γZ）と射影曲線G（X，γZ）一があって、共有点 Pをもつとする。ただし、射影曲線G（X，耳Z）は点Pで非特異であると する。また、射影曲線G（X，γ；Z）上に動点刷Xt，巧，Zt1とρμt，励，0f1 があり（片＝QO＝P）があり、方向ベクトル差（Xt，巧，Z士）lt＝Oと方向ベ クトル差（ん，易，0t）lt＝oはベクトル（Xo，巧，Zo）と平行でない。このとき、
F（X亡，耳，Zt）＝0とF（ん，耳，σf）＝0の亡＝Oでの重複度は等しい。
証明点Pの同次座標は全ては0でないので、PをZ方向に非同次化でき るとしても一般性を失わない。そこで、Zo≠0とし、射影曲線F（X，KZ）、
射影曲線G（X，γZ）、動点片とQtをZ方向に非同次化したものをそれ
ぞれ、∫（ ，μ）、g（ ，μ）、ρt（η，ω、％とする。
1．まず、F（片）と∫（ρt）の亡＝0での重複度が等しいことを示す。一 射影曲線F（X，γZ）がん次の同次式とすると、
プ（舳）一・（舳！）一・（多，芸，1）一（去）㌦（石μ）
ここで、・（・・μ）一州、（去）㌧（1）とお／と・4・・であ ることから、ん（O）＝O，8（O）≠oであることを考慮して補題2．5．3を
第2章 重複度 43
用いれば、関数ん（t）と関数ん（士）．8（士）の亡＝0での重複度は等しい ことが分かる。
従って、∫（ρ士）とF（片）の士＝0での重複度が等しいことは示された。
2．次に、プ（ρ壬）＝Oと∫（qt）＝Oのエ＝oでの重複度が等しいことを示 したい。しかし、このことは定理2．3．3で既に証明されている。
3．さらに、F（Qt）＝Oと∫（q｛）＝0の亡＝0での重複度が等しいことを 示したい。ところが、この一ことは1と同様である。
1から3より、
（F（片）でのトOの重複度）
＝（プ（ρt）でのオ＝Oの重複度）
＝（プ（qt）でのt＝Oの重複度）
＝（F（Qt）での亡＝0の重複度）
が分かる。つまり、F（月）とF（Qt）のt＝Oでの重複度は等しい。一よって、
題意は示された。 口 また、上の定理の証明より次が示されている。
系2．5．5射影曲線F（X，X Z）と射影曲線G（X，KZ）があって、G（X，γZ）
上の非特異な点P［Xo，巧，Zo］（Zo≠O）で共有点をもつとする。このとき、
射影曲線F（X，γZ）、射影曲線G（X，γZ）、点PをZ方向に非同次化
したものをそれぞれ、プ（ ，μ）、g（ ，μ）、ρとすれば、
∫（F，G；P）＝∫（ゾ，9；ρ）
である。
以上より、定義2．5．1の正当性は示された。
ところで、定理2．4，3と同様、射影曲線F（X，X Z）と射影曲線G（X，γZ）
が共有点で共に非特異であるときは、動点をどちらの曲線にとっても重 複度は変わらない。
定理2．5．6射影曲線F（X，γZ）と射影曲線G（X，γZ）があって、交点P をもつとする。ただし、F（X，KZ）とG（X，とZ）はPで非特異である。
このとき、
∫（F，G；P）＝∫（G，F；P）