η η η η7
となる。このとき、m、η、m 、η は仮定よりρと互いに素なので、箒・
告．〆■ノ＝1となるにはμ＝レ とならねばならない。従って、
ηユ ητ 一 η η
となる。ところが、両辺は既約分数なので、m＝m 、η＝η となる。
□ 0でない有理数zの式（4．1）の形の表示は一意的なので、上の命題の〃
に次の定義を与える。
第4章 有限位数の点の性質 73 定義4．1．40でない任意の有理数 に対して、ρと互いに素な0でない 整数m、ρと互いに素な0でない自然数η（mとηも互いに素である）が
あって、
m
＝一〆（ひ∈Z）
η と一意的に表せる。
このとき、上式のりを のオーダーといい、ord（π）と表す。
この定義から、0でない任意の既約な有理数 に対して、
1． の分母がρで割り切れるとき、ord（ ）＜0であり、
2． の分子がρで割り切れるとき、orψ）＞Oであり、
3． の分子と分母のどちらもρで割り切れないとき、ord（ ）：0で
ある
ことが分かる。
次に、このオ］ダ］の性質について考察する。
命題4．1．50でない有理数 とμ（≠一 ）に対して、ord（ ）＝レ、or〜）＝
μ iノ≦リ）のとき、
ord（ 十μ）≧〃 （等号成立はリ ＜レのとき）
・・d（剛＝レ十ノ ・・ψ■1）＝一・
・・d（一 ）＝ひ を満たす。
証明
ητ η7 〃 ひ
＝一ρ1μ＝＝7ρ
η η
とおく。ただし、mはρと互いに素なOでない整数とし、ηはρと互いに 素なOでない自然数（mとηも互いに素である）とする。また、m はρと 互いに素なOでない整数とし、η はρと互いに素な0でない自然数（m と η も互いに素である）とする。
第4章 有限位数の点の性質 74 ここからは与式を順に証明する。まず、ord（ 十μ）≧ノを示す。
・・ザ青〆・与〆一（号ジ・与）〆一（m㎡÷十η㎡）〆
1μ くレのとき、㎜ Pレ〟A十㎜ の分子分母がそれぞれρを因数にもた ないことを示す。仮定よりη、m はρを因数にもたないので、ηm∫
もρを因数にもたない。従って、mη ρ用 十ηm もρを因数にもた ない。また、仮定よりη、η はρを因数にもたないので、〃もρを 因数にもたない。
一方、m 一レ、十肌m の分母分子は互いに素でなくてもよい。という 肌几
のは、仮に当該分数が約分できたとしても、分母分子はρを因数に もたないので、o〃（の十ひ）の値は変わらないからである。
よって、ord（ 十μ）＝μ となる。
21μ ＝リのとき、
〜一 im÷㎡）〆
となる。このとき、分母のηη はρと互いに素であるが、分子の mη 十ηm はρを因数にもつ可能性があるので、ord（ 十μ）≧リ と なる。
従って。rd（ 十μ）≧〃 は示された。
次に、残りの3つを示す。
mmひ十ノ μ＝丁アρ ηn
より、ord（ μ）＝μ十ノは示された。
また、
η 一1 一ひ ＝■ρ ㎜
より、o〃（ガ1）＝＿リも示された。
さらに、
m〃
■ ＝一一ρ η
より、ord（＿ ）＝ひも示された。 口 次の性質は3節で頻繁に用いる。
第4章 有限位数の点の性質 75
補題4．1．6任意のOでない有理数uに対して、orψ）＞Oならば、1＋u≠O ・・d（1刊）＝O
を満たす。
証明
u＝箒〆とおく。ただし、mはρと互いに素な0でない整数とし、ηは ρと互いに素なOでない自然数（mとηも互いに素である）とする。
このとき、1＋伽＝m；十nより、mρ；十九の分母分子はρと互いに素であ ることが分かる。特に、一分子はρで割り切れないので0でない。従って、
1＋刎≠0となり、o〃（1＋u）＝Oとなる。
口
4．2 楕円曲線上の有理点の座標のオーダー
この節では、Weierstrassの標準形で表される非特異で有理的な3次曲 線上の任意の有理点（ ，μ）における。rψ）と。rd（μ）の性質について考察
する。
定理4．2．1プ（z，μトμ2一（ 3＋α 2＋6 十。）（α，6，c∈Z）上の任意の有理 点（ ，μ）（ ≠0かつV≠0）に対して、o〃（ ）＜Oまたは。〃（μ）＜0なら ば、o〜（ ）＜Oかつ。〃（V）＜Oで、
・・d（・）：・・〜）＝2：3 を満たす。
証明
1．o〃（ ）＜Oのとき、o〃（ ）＝一μ（リ＞0）とおくと、μ2＝ 3＋απ2＋
6 十Cの右辺のオーダーは、オーダーが最も小さくなる項が 3で、そ れ以外の項のオーダーは。rd（が）より真に大きいことを考慮すれば、
・・ψ3＋α・2＋わ・十・）＝・・d（・3）＝3・・伽）＝一3・
となる。従って、g2＝ 3＋α 2＋6 十Cの左辺のオーダーは。rd（μ2）＝
2o〃（μ）＝一3〃となり、ord（リ）＜Oとなる。また、
3・・ψ）＝2・・〜）＝一3μ
第4章 有限位数の点の性質 76 より、
・・ψ）：・・〜）＝2：3 となる。
2．o〃（μ）＜0のとき、ord（μ）＝＿リ （ひ㌧0）とおく。このとき、1と 同様に考えれば、μ2＝ 3＋α 2＋う 十Cの左辺のオーダーと右辺の オーダーはそれぞれ、2ord（μ）、3ord（ ）となり、
2・・〜）＝3・・ψ）＝一2レ
を満たす。よって、ord（ ）＜0，ord（ ）：o〃（μ）＝2：3となる。
口
補題4．2．2プ（ ，μ）＝μ2一（ 3＋α 2＋6 十。）（α，6，c∈Z）上のμ軸上の有 理点（0，μ）で、μ≠Oかっ。r〜）＜0となるものは存在しない。。
証明背理法を用いる。（0，μ）をμ2＝ 3＋α 2＋6 十。に代入して整理 すると、μ2＝cとなる。μ≠0より、c≠0なので、ord（μ）＝芸。rd（c）≧O
となる。ところが、仮定より、or〜）＜Oとならねばならない。従って、
有理点（O，μ）（μ≠O）は存在しない。
口 定理412．1と補題4．2．2の考察を合わせると、μ≠Oの有理点において、
座標、一ﾊ座標のいずれかが0でなく、そのオーダーが負であれば、orψ）
と。rd（μ）は共に負で、or伽）：or〜）＝2：3であることが分かる。以上 のことをふまえて、Weierstrassの標準形で表される非特異で有理的な3 次曲線の有理点に関連して記号を用意する。
定義4．2．3Weierstrassの標準形で表される非特異で有理的な3次曲線
∫（ ，μ）＝μし（ 3＋α 2＋う 十。）（α，う，c∈Z）上の有理点の集合をFと 表す。
また、自然数ひに対して、
F（〆）＝｛（ ，ひ）∈Flμ≠0，・・d（μ）≦一3レ｝
とおく。
補題4．2．2より、F（〆）内にz＝Oとなる有理点は存在せず、orψ）≦一2び となる。
第4章 有限位数の点の性質 77
4．3 γ方向に非同次化した楕円曲線
まず、4．2節の∫（ ，μ）を同次化したものを
F（X，KZ）＝γ2Z一（X3＋αX2Z＋わXZ2＋・Z3）
とし、それをγ方向に非同次化したものを
∫（・，・）＝・一（・3＋α・2・斗6・・2＋・・3）
とする。この節では、このF（X，γZ）上の2点P，Qに対して、P，Q
の座標のオーダーとP＊Qの座標のオーダーとの関係を∫（ ，z）上で考察する。
まず明らかなことは、同次化や非同次化により、無限遠点に対応する 点を除けば、有理点は有理点に移ることである。そこで、本節の前半で
は、∫（ ，μ）上の有理点のオーダーに関する性質がプ（ ，z）の有理点として はどのように表せるのか考察する。
ところで、F（X，γZ）のZ方向の非同次化で無限遠点となるのは、補 題3．4．5より、0［0，1，O］のみであり、この点はγ方向の非同次化により 原点に対応する。また、F（X，γZ）のγ方向の非同次化により無限遠点
となるのは、［X，O，Z］の形で表されるが、これはZ方向への非同次化に おいては、［1，0，0］及び 軸上の点となる。しかし、F（！，O，0）≠0より、
［！，0，01はF（X，γZ）上にない。
よって、 μ平面上のF（ρひ）は特にz軸上の有理点を除いているので、
F（〆）の点は全て、同次化とγ方向の非同次化によって〃平面上の原点 を除いた有理点に移る。このF（〆）の点と対応する z平面上の有理点の 集合もF（〆）と表す。また、肌平面での∫（ ，z）においては、0に対応す
る点である原点を単位元として演算を考える。
次に、！（ ，z）上の点の座標のオーダ］について考察する。
補題4．3．1土で述べた∫（ ，z）上の有理点（ ，z）∈F（〆）の各座標のオ］
ダーは
o・ψ）1・・d（・）＝1：3 を満たす。
証明4．2節の∫（ ，μ）上の有理点（ ，μ）∈F（ρ ）は、 ≠0、μ≠0であ ることを考慮すれば、
〜）1（・，・）同年ヒ［舳11一［川井瞥化（㍍）ll（・，・）
第4章 有限位数の点の性質 78
よ／・伽・）上の（1，1）に純
このとき、定理4．2．1より、orψ）＝＿2〃、ord（μ）＝一3μとすると、
…（麦）一・州一・州一リ
…（1）一一・叩）一・ひ
を満たす。よって、題意は示された。 □
命題4・3・2土の！（ ，z）＝z一（が十α 2z＋わ肌2＋cz3）上の有理点（ ，z）
がr（〆）（ただし、〃＞0）に含まれる必要十分条件は ≠O，z≠0で、
・・伽）≧リ ・・d（・）≧3ひ
を満たすことである。
証明（ ，z）∈F（〆）で卒るとする。z＝0とすると、ア（ ，zト0に代入 すれば、 ＝0となるが、この点は同次座標の0［0，1，0］≠F（〆）となって
しまい矛盾する。よって、z≠Oであることが分かる。
また、z＝0とすると、榊座標でも ＝0となるが、補題4．2．2より、
F（〆）はzμ平面でのV軸上の点を含まないので、やはり矛盾し、 ≠0と
なる。
そこで、z，z≠0として考える。
ル，・）1（・，・）弾ヒr・，！，・1一［1÷l1非肇化（1，1）ll（剛
であることを考慮．すれば、定理4．2．1、補題4．3．1より、
…（…）一・州一。・ψ）一一・・州・一・1
…（1）一一…（・）・一・ひ
となることから、
・・ψ）≧ひ
・・d（・）≧3・
第4章 有限位数の点の性質 79
を満たす。
逆に、∫（z，z）上の有理点（ ，z）が、 ≠0，z≠0かつ、
・τ伽）≧ひ ・・d（・）≧3ひ
を満たすとき、（ ，z）を μ平面上に移すと（妾，圭）であり、
・叶）一一…（・）・一・リ・・
が成り立つ。ここで、葦≠0、圭≠0であることを考慮すれば、定理4．2．1
より、（妾，芸）はF（〆）の点である。
□
ここからは、∫（ ，z）におけるF（〆）の点の性質や、同曲線におけるF（〆）
の2点を通る直線の傾きのオーダーについて考察する。
命題4．3．3上記のア（ ，z）におけるF（ρレ）の2点P（ 1，z1）とQ（ 2，z2）に 対して、π1＝ 2ならば、P＝Qを満たす。
証明点P（ 1，z1）とQ（ 2，z2）はプ（ ，z）上の点より、
Z1＝ぺ十α〆Z1＋b 1Z子十CZ芋 ・。＝・姜十αみ。十わ・。・婁十α婁
が成り立つ。上式の辺々を引いて 2＝ 1を代入すると、
・1一・。＝α・子（・ド・。）十う・。（・子一・婁）十・（・ト・婁）
となる。
ここで、z1≠z2と仮定し、上式の辺々をz1＿z2（≠0）で割ると、
1＝αぺ十う・。（・。十・。）十・（・芋十・。・。十・；） （4．2）
となる。ここで、上式（4．2）の両辺のオーダーを考える。命題4．3．2より、
ord（z1）≧ひ、ord（z1）≧3μ、ord（z2）≧3μが成り立つので、ord（α 子）≧
2ひ、0 （6 1（z1＋z2））≧4リ、ord（c（z子十z1z2＋z三））≧6ひであることを考 慮すれば、式（4．2）の右辺のオーダーは
・・d（α4＋6・。（・。十・。）十・（・子十・。・。十・婁））≧2μ
となる。ところが、式（4．2）の左辺のオーダーは。rd（1）＝0となり右辺と 左辺のオーダーが異なり矛盾する。従って、Z1＝Z2となり、題意は示さ
れた。 □
第4章 有限位数の点の性質 80
上記のことから、プ（ ，z）におけるF（ρレ）の2点を通る直線はz軸と平 行でないことが分かる。
次に、！（ ，z）におけるF（ρ ）の2点を通る直線の傾きについて考察する。
定理4・3．4プ（ ，z）におけるF（P ）の異なる2点P（ 1，z1）、Q（ 2，z2）（ ！≠
2）に対して、
岩一・・または…（三三菱）・・リ
を満たす。
証明z1＝z2のとき、名1−z2＝0より題意を満たす。
π1一血2
ここからは、z1≠z2のときを考える。点P（ 1，z1）とQ（ 2，z2）はア（ ，z）
上の点より、
・。＝ぺ十α冷。十6・。・子十α芋 ・。＝・；十αみ。斗6・。・三十α婁 が成り立つ。このとき、上式の辺々を引くと、
・r・。＝（ぺ一・姜）十α（和一・1・。）十ψ。・…一・。・三）十・（・手一・婁）
＝（・ユー・。）（〆十・。・。十・；）十α｛・。（〆一・；）十・；（・1一・。）｝
十6｛・子（・r・。）十・。（・子一・婁）｝十・（・手一・婁）
＝（ 1一 2）｛ぺ十 1 2＋ 姜十αZ1（ 1＋Z2）十6イ｝
十（・r・。）｛α・；十わ・。（・1＋・。）十・（・…十・1・。十・婁）｝
より、
（・1一・。）｛1一α・；一6・。（・。十・。）一・（・子十・1・。十・婁）｝＝（・r・。）｛朴〃。十・三十α・。（・ユ十・。）十わ・子｝
（4．3）
となる。
ここで、u＝＿α 姜＿あ 2（Z1＋Z2）＿C（Z芋十ZlZ2＋Z三）とおく。
1，u≠0のとき、命題4．3．2より、ord（u）＞0なので、補題4．1．6より、
1＋伽≠0となる。このとき、式（4．3）を式変形すると、
・。一・。〆十・。・。十・姜十α・。（・。打。）十わ・子
1一 2 1＋u
第4章 有限位数の点の性質 81 となる。命題4．3．2と補題411．6より、上式の分子のオーダーは2リ 以上で、分母のオーダーはOとなるので、
…（着三姜）…
となる。
2．刎＝0のとき、命題4．3．2より、
・寸1三姜）一・州｝…1・α小・…）・1・1）・・リ
1，2より、題意は示された。
口 次に、∫（ ，z）上の接線の傾きについて考察する。
定理4．3．5∫（ ，z）上のr（〆）の点P（ 1，z1）における接線の傾きをαと すると、
α＝O、または。〃（α）≧2レ を満たす。
証明
∂∫ 。 。
一（P）＝一3 1−2α・。・r6・。
∂｛
∂プ 。 2
一（P）＝1一α 1一助1・・一3・・。
∂z
ここで、u＝一α〆一2ろ 1z1−3cz子とおく。
1．諾（P）≠0のとき、
（a）u≠Oのとき、命題4．3．2より、ord（刎）＞0なので、補題4．1．6 よ／・語（・）一1・・≠・・…（芸（・））一…（・刊）一・と なる。
このとき・命題・・…よ／…∂（語（・））…であることを考 慮すれば、
ψ）一州（鈴）・ル
となる。