このとき、ψ（ ）＝（プ1（π），プ2（ ），。．．，∫れ（ ））（π＝（ 1，Z2．。．叫）∈R肌）
に対して、
1．ψ（O）＝0
2．
∵練・・
であるならば、原点の近傍σとひ および無限回微分可能な変換φ：ぴ→σ
があって、φ＝（ψ1σ）一1となる。
この定理を用いて次の補題を証明する。
補題2．2．2〃平面上の曲線プ（ ，μ）上に非特異な点ρ（ o，μo）があるとす
る。
このとき、ん：R？→Rを
∂∫ ∂∫
〜）＝下（ρ）（H・）十荻（ρ）（〔・）
とし、ψ：R2→R2をψ（ ，ツ）＝（！（ ，μ），ん（ ，μ））と定めると、ψはρの 近傍から（0，0）の近傍への全単射で且つ、（O，O）の近傍で無限回微分可能 な逆変換をもつ。
証明。点ρは曲線∫（ ，μ）上の点なので、∫（ρ）＝0である。また、仮定 よりん（ρ）＝0も明らかである。よって、ψ（ρ）＝（ア（ρ），ん（ρ））＝（0，O）で ある。
また、諾（ρ）＝＿話（ρ）、諸（ρ）＝諾（ρ）であることを考慮すれば、
由・
i靴；靴；）一由t（靴；省κ））一（黒（1））∵（話（！））2・・
を満たす。従って、逆関数の定理より上記のψはρの近傍から（0，0）の近 傍への全単射で、（0，O）の車傍で無限回微分可能な逆変換をもつ。 □ このψを用いて次の定理を示す。
第2章 重複度 31
定理2．2．3 μ平面上の曲線プ（π，V）上に動点〃、軌があり、ρo＝qo＝ρ で、細｛lt＝O≠σ、細t−t＝o≠σとする。また、点ρは非特異点とする。こ のとき、ある無限回微分可能な関数5（t）があって、5（0）＝0，5 （0）≠Oで あり、t＝Oの近傍では〃＝q、（士）と表せる。
証明まず、ρ＝（ o，蜘）とし、補題2．2，2のψを用いて動点ρ｛、軌を〃
平面に移す」すると、動点賜、軌はそれぞれ曲線プ（z，ツ）上にあることよ りψ（ρ亡）とψ（gt）の∫座標はそれぞれOなので、ψ（ρ亡）とψ（g亡）はん軸上を 動く。また、ψ（ρ）＝（O，0）である。
ここで、紗（ρt）■t＝o≠Oを示す。
ρ｛＝（ρ1（オ），ρ2（古））とすると、補題2．2．2より、ん（ ，μ）＝＿話（㌘）（ ＿ o）十
諾（リーツ。）であることを考慮すれば、
d ∂ん d ∂ん d 万舳■1一・＝π（ρ・）．万ρ1（O）十か） 万ρ・（O）
一（一話（！・））・岳1・（・）・祭（／・）・岳／・（・）（・・1）
となる。ところで、定理1，311の証明の中で示したことから、
岳1土1亡一・⊥（矧
が成1立つので・（一紬・）伽・））と純一・は平行で純また・仮定
よ1・（一話（ρ・）伽・））≠㍑ρルー・≠δであるから・式（・・1）の右辺 は、0でない平行な2つのベクトルの内積なので0でない。
同様に、紗（qf）一t＝o≠Oである。
従って、逆関数の定理より、ん（q亡）はRの0の近傍から0の近傍への全 単射であることが分かる。
そこで、ん（qt）の逆関数をρとする。このとき、5（亡）＝ρ（ん（ρ亡））とおき、
ρ亡＝ρ（亡）、軌＝q（亡）と表すと、q・ρ・んがρの近傍で恒等的だから、
ん（q。（1））＝ん・q・・（士）＝ポq・ρ・ん・ρ（士）＝ん（ρ亡）
が成り立つ。これより、
ψ（q。（亡））＝ψ（ρt）
である。補題212．2より、ψの逆変換を施せば、
％（t）＝ρt
第2章重複度
であることが示された。
最後に、8（0）＝0，8 （O）≠0を示す。
まず、8（O）＝ρ（ん（ρo））＝ρ（0）＝Oである。
また、ρ（ん（q亡））＝士に注意すると、
32
d
・ （0）＝一ρ（ん（ρ亡）ルー。
批
dρ d
＝一1。一。・一（ん（ρf））1亡一・
批 批 岳（ん（ρ1）ルー・
差（ん（qt））1亡一・
≠O
口
最後にもう1つ補題を用意する。この補題も次の節で用いる。補題2・2・4（陰関数定理）榊平面上の曲線∫（z，μ）があり、プ（0，0）＝0、
話（0，0）≠Oとする。このとき、曲線！（ ，μ）のρ（0，0）の近傍にある動点
〃で（亡，ρ（亡））と表されるものがある。
証明（ 、μ）を（ ，∫（z，μ））に移す写像ψ1：R2→R2を考える。
仮定より、
唯靴；）一心、）話1、））・・
である。従って、逆関数め定理より、ρ（0，0）の近傍でψ1の逆写像可1が 存在する。
ψ1の形より、灯！（ ，μ）＝（ ，g（ ，ひ））となる、滑らかな関数g：R2→R で、g（0，0）＝Oとなるものが存在する。
辺が座標軸に平行な長方形ひ＝［一ε，ε1×卜ε ，ε 1の形のρ（O，O）の近傍 をψ11σが滑らかな逆関数をもつように選ぶと、（ ，μ）∈ひに対し、
ル，μ）＝0⇔ル，μ）＝（・，O）⇔（・，μ）＝ψ丁1（・，0）⇔（・，μ）＝（・，9（・，O））
を満たす。従って、（ ，ひ）∈σの範囲では、各 に対して∫（ ，μ）：Oと なるμは唯一で、そのときμ＝9（ ，0）となる。そこで、ρ（ ）＝9（ ，O）と おけば、ρ（z）は微分可能で、動点ρ亡（τ，ρ（亡））は∫（ ，μ）上の題意を満たす