第 4 章 交流回路 65
4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成
(3) コンデンサの容量性リアクタンスXCはいくらか (4) コンデンサの静電容量Cはいくらか
問題4.9F
電源電圧の瞬時値がe1=√ 2 sin
( ωt+π
3 )
およびe2 =√ 2 sin
( ωt+π
6 )
である2つの交流電源 を図4.7のように接続した。ここで、以下の問に答えよ。
図4.7問題4.9
(1) e1,e2のフェーザE1,E2を指数形式で求めよ。
(2) E1,E2を用いて電圧eのフェーザEを直交形式で求めよ。
(3) Eをもとに電圧eの瞬時値を求めよ。
問題4.10F
図4.8のように電源電圧E,角周波数ωの交流電源に抵抗R、コンデンサC、コイルLを接続した 回路を作った。これらの回路において抵抗を流れる電流の大きさ|IR|、コンデンサを流れる電流の 大きさ|IC|、コイルを流れる電流の大きさ|IL|がすべて等しかった。このとき、ωとRをCおよ びLを用いて表せ。
図4.8問題4.10
4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成
【例題4.5】
角周波数がωのときの図4.9の(a)から(d)の各回路のインピーダンスを求めよ。
図4.9例題4.5
〔解答4.5〕
(a)
1 1 R+ 1
jωL
= jωLR
R+ jωL (4.21)
(b)
1 1 R + jωC
= R
1 + jωCR (4.22)
(c)
1 1
R+ jωL+ jωC
= R+ jωL
1−ω2LC+ jωCR (4.23) (d)
1 1 R+ 1
jωC + 1
jωL
= −ω2LCR+ jωL
1−ω2LC+ jωCR (4.24)
J
問題4.11
図4.10において各素子のインピーダンスがZ1= 2−j4,Z2 = 4 + j2,Z3 = 2 + jであるとする。
(a)から(d)の回路の合成インピーダンスを求めよ。有効数字は考慮しなくてよい。
4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成 °c大豆生田利章2009 73
図4.10問題4.11
図4.11問題4.12
問題4.12
図4.11に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、円周率πは3.14として計 算せよ。
(1) 抵抗Rが15 Ω,周波数fが50 Hzのときの図4.11(a)の回路のインピーダンスを求めよ。
(2) 静電容量Cが0.16µF,周波数fが1.0 MHzのときの図4.11(b)の回路のインピーダンスを求 めよ。
(3) インダクタンスLが32 mH,周波数fが5.0 kHzのときの図4.11(c)の回路のインピーダンス を求めよ。
(4) 抵抗Rが20 Ω,静電容量Cが2.1µF,周波数fが1.5 kHzのときの図4.11(d)の回路のイン ピーダンスを求めよ。
(5) 抵抗Rが3.0 Ω,インダクタンスLが8.0 mH,周波数fが50 Hzのときの図4.11(e)の回路の インピーダンスを求めよ。
図4.12の回路に対して、以下の量を有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗Rは4.0 Ω、 コイルの誘導性リアクタンスXLは3.0 Ωである。
図4.12問題4.13
(1) 図4.12(a)の回路のインピーダンス (2) 図4.12(a)の回路のアドミタンス (3) 図4.12(b)の回路のアドミタンス
(4) 図4.12(b)の回路のインピーダンス
問題4.14F
図4.13の回路に関して以下の問に答えよ。交流の角周波数はωとする。
図4.13問題4.14
(1) 図4.13 (a)の回路のインピーダンスZaを求めよ。
(2) 図4.13 (b)の回路のインピーダンスZbを求めよ。
(3) ωC2R2 = 1のときに、Za=Zbとなった。R1およびC1をR2およびC2を用いて表せ。
問題4.15
図4.14の回路の合成インピーダンスZを求めよ。角周波数はωとする。
図4.14問題4.15
4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成 °c大豆生田利章2009 75
問題4.16F
図4.15のRLC直列接続のコンダクタンス分Gとサセプタンス分Bを求めよ。角周波数はωと する。
図4.15問題4.16
問題4.17
図4.16の回路の合成インピーダンスを求めよ。ただし、角周波数をωとする。
図4.16問題4.17
問題4.18F
図4.17の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、角周波数をω(6= 0)とする。
(1) 回路の合成インピーダンスZを求めよ。
(2) Z= 0となる角周波数ω1を求めよ。
(3) 回路の合成アドミタンスY を求めよ。
(4) Y = 0となる角周波数ω2を求めよ。
図4.17問題4.18
問題4.19F
図4.18の回路の合成インピーダンスが0になる角周波数ω1と合成アドミタンスが0になる角周波 数ω2を求めよ。ただし、角周波数は0でないものとする。
図4.18問題4.19
問題4.20
図4.19の回路のA–B間の合成インピーダンスを有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗 R1は0.70 Ω、抵抗R2は3.0 Ω、誘導性リアクタンスXL1 は0.10 Ω、誘導性リアクタンスXL2
は1.0 Ωであるとする。
図4.19問題4.20
問題4.21
図4.20の回路のA–B間の合成インピーダンスを有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗 R1は0.40 Ω、抵抗R2 は2.0 Ω、容量性リアクタンスXC1は0.50 Ω、容量性リアクタンスXC2
は1.0 Ωであるとする。
4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成 °c大豆生田利章2009 77
図4.20問題4.21
問題4.22
図4.21の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗R1は5.0 Ω、抵抗R2は2.0 Ω、誘導性リ アクタンスXL1は10 Ω、誘導性リアクタンスXL2は1.0 Ωであるとする。
図4.21問題4.22
(1) a–b間の合成アドミタンスを求めよ。
(2) a–b間の合成インピーダンスを求めよ。
問題4.23
図4.22の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗R1は2.0 Ω、抵抗R2は1.0 Ω、容量性リ アクタンスXC1は2.0 Ω、容量性リアクタンスXC2は3.0 Ωであるとする。
(1) a–b間の合成アドミタンスを求めよ。
(2) a–b間の合成インピーダンスを求めよ。
問題4.24
図4.23の回路の合成インピーダンスZがZ1に等しいときに、Z1,Z2,Z3 の間に成立する条件を 求めよ。
問題4.25F
図4.24の回路の合成インピーダンスがZ1に等しくなる条件を求めよ。
図4.22問題4.23
図4.23問題4.24
図4.24問題4.25
問題4.26F
角周波数ωのときに、図4.25の左の回路と右の回路のインピーダンスが同じになった。ここでR0
とL0をR、Lおよびωを用いて表せ。
図4.25問題4.26
問題4.27F
図4.26の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、R16=R2とする。
4.4 直列回路 °c大豆生田利章2009 79
図4.26問題4.27
(1) 合成インピーダンスZを求めよ。
(2) インピーダンス角が0になる条件を求めよ。
4.4 直列回路
【例題4.6】
図4.27の回路に関して以下の問いに答えよ。
(1) インピーダンスZ1が(3.5 + j2.0) Ω、インピーダンスZ2が(1.5−j2.0) Ω、電圧V が(4.0 + j1.0) Vであるときの電圧V1を求めよ。
(2) インピーダンスZ1がj7.0 Ω、インピーダンスZ2が6.0 Ω、電圧V1が14 Vであると きの電圧V を求めよ。
図4.27例題4.6
〔解答4.6〕
V1= Z1 Z1+Z2
V = (3.5 + j2.0) Ω
(3.5 + j2.0) Ω + (1.5−j2.0) Ω×(4.0 + j1.0) V
= (3.5 + j2.0)×(4.0 + j1.0)
5.0 V = (2.4 + j2.3) V (4.25)
(2)
V =Z1+Z2
Z1 V1=6.0 Ω + j7.0 Ω j7.0 Ω ×14 V
= (6.0 + j7.0)×(−j2.0 V) = (14−j12) V (4.26) J
問題4.28
図4.28に関して、以下の各問に有効数字と単位に注意して答えよ。
図4.28問題4.28
(1) 図4.28において、抵抗Rが4.0 Ω、コイルの誘導性リアクタンスXLが3.0 Ω、電圧V が (15−j20) Vである。このときの電流Iを求めよ。
(2) 図4.28において、抵抗Rが1.2 Ω、コイルの誘導性リアクタンスXLが1.4 Ω、コイル両端の 電圧VLが4.2 Vである。このときの電圧V を求めよ。
問題4.29
図4.29に関して、以下の各問に有効数字と単位に注意して答えよ。
図4.29問題4.29
4.4 直列回路 °c大豆生田利章2009 81 (1) 図4.29において、抵抗両端の電圧の大きさ|VR|が24 V、コンデンサ両端の電圧の大きさ|VC|
が10 Vである。このときの電圧の大きさ|V|を求めよ。
(2) 図4.29において、抵抗Rが4.0 Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXCが2.0 Ω、電圧V が30 Vである。このときの抵抗両端の電圧VRを求めよ。
問題4.30
図4.30において、抵抗Rは6.0 Ω、誘導性リアクタンスXLは13 Ω、容量性リアクタンスXCは 5.0 Ω、電圧V は(30 + j20) Ωである。ここで以下の問に答えよ。
図4.30問題4.30 (1) 全体の合成インピーダンスZを求めよ。
(2) 電流Iを求めよ。
(3) コンデンサ両端の電圧VCを求めよ。
【例題4.7】
図4.31の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧 Eは100 V,抵抗Rは3.0 Ω,容量性リアクタンスXCは4.0 Ωとする。
図4.31例題4.7
(1) 回路のインピーダンスZを求めよ。
(2) 回路を流れる電流Iを求めよ。
(3) 抵抗両端の電圧VRを求めよ。
(4) コンデンサ両端の電圧VCを求めよ。
(1)
Z =R−jXC= (3.0−j4.0) Ω (4.27) (2)
I=E
Z = 100 V
(3.0−j4.0) Ω = (12 + j16) A (4.28) (3)
VR=RI= 3.0 Ω×(12 + j16) A = (36 + j48) V (4.29) (4)
VC=−jXCI=−j4.0 Ω×(12 + j16) A = (64−j48) V (4.30) J
問題4.31
図4.32の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、コイルの誘導性リア クタンスXLは1.0 Ω、抵抗Rは2.0 Ω、電源電圧Eは20 Vであるとする。
図4.32問題4.31
(1) 回路のインピーダンスZを求めよ。
(2) 回路のアドミタンスY を求めよ。
(3) 回路を流れる電流Iを求めよ。
(4) EとIの関係をフェーザ図で示せ。
(5) 回路を流れる電流の大きさ|I|を求めよ。
(6) EとIの位相差θを求めよ。
問題4.32
図4.33の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧Eは100 V, 回路を流れる電流の大きさ|I|は10 A,電圧と電流の位相差θは60◦であるとする。
4.4 直列回路 °c大豆生田利章2009 83
図4.33問題4.32
(1) EとIの関係をフェーザ図で示せ。
(2) 電流Iを極形式で求めよ。
(3) インピーダンスの大きさ|Z|を求めよ。
(4) インピーダンスZを極形式で求めよ。
(5) 抵抗Rを求めよ。
(6) 誘導性リアクタンスXLを求めよ。
問題4.33F
図4.34のようにLR直列回路に電圧E(=E0+ jE1)（ただしE0, E1は実数）を加える。このと き回路に流れる電流Iおよびその大きさ（実効値）|I|を求めよ。
図4.34問題4.33
問題4.34
図4.35のように電源電圧Eの電圧源に抵抗RおよびコイルLを接続した。この回路に関して以下 の問に答えよ。角周波数はωとする。
図4.35問題4.34
(2) 回路を流れる電流Iを求めよ。
(3) 回路を流れる電流の大きさ|I|を求めよ。
(4) 抵抗両端の電圧VRを求めよ。
(5) コイル両端の電圧VLを求めよ。
(6) E,VR,VLおよびIの関係をVRを基準にしたフェーザ図を用いて示せ。
(7) 電圧Eと電流Iの位相差θを求めよ。
問題4.35
図4.36の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、角周波数ωは 10 krad/s、抵抗Rは3.0 Ω、コンデンサの静電容量Cは25µF、電圧V は(20−j10) Vとする。
図4.36問題4.35 (1) コンデンサのインピーダンスZCを求めよ。
(2) 回路全体の合成インピーダンスZを求めよ。
(3) 回路を流れる電流Iを求めよ。
(4) 抵抗両端の電圧VRを求めよ。
問題4.36
図4.37の回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、電流Iは10 A、抵 抗Rは4.0 Ω、容量性リアクタンスXCは3.0 Ωであるとする。
図4.37問題4.36 (1) 回路のインピーダンスZを求めよ。
(2) 電源電圧Eを求めよ。
(3) 電圧VR、電圧VC、電源電圧Eと電流Iの関係をフェーザ図で示せ。
(4) 電圧Eと電流Iの位相差θを求めよ。ただし、電流を基準とする。
4.4 直列回路 °c大豆生田利章2009 85 (5) 電源の角周波数が正確に半分になったときの、回路のインピーダンスZ0を求めよ。
(6) 電源の角周波数が正確に半分になったときの、電圧Eと電流Iの位相差θ0を求めよ。ただし、
電流を基準とする。
問題4.37F
図4.38の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数はωとする。
図4.38問題4.37
(1) 回路(a)の合成インピーダンスZaおよび回路(b)の合成インピーダンスZbを記せ。
(2) 回路(a)の合成インピーダンスの大きさ|Za|および回路(b)の合成インピーダンスの大きさ
|Zb|を記せ。
(3) R=√
3rかつL= 2r/ωのときに、|Za|=|Zb|となった。このときL、Cおよびrの間に 成立する関係を求めよ。
問題4.38
図4.39の回路に、直流電圧1.5 Vを加えたときの電流の大きさは0.10 Aであった。また、周波数 50 Hz、大きさ100 Vの交流電圧を加えたときの電流の大きさは4.0 Aであった。ここで、以下の 問に有効数字2桁で答えよ。
図4.39問題4.38
(1) 抵抗Rの値を求めよ。［ヒント：直流に対するコイルの抵抗は0 Ωである。］ (2) 回路のインピーダンスの大きさ|Z|を求めよ。
(3) コイルの誘導性リアクタンスXLを求めよ。
(4) コイルのインダクタンスLを求めよ。
問題4.39F
図4.40の回路に関して以下の問に答えよ。
(1) 図4.40(a)の回路に大きさ100 Vの電圧V を加えたとき、大きさ20.0 Aの電流I1が流れた。
インピーダンスの大きさ|Z|を有効数字3桁で求めよ。