非線形性による波の崩壊

非線形偏微分方程式の差分スキームを論じるのはそれほど簡単ではない．ひとまずそのことを，非粘

性Burgers方程式を差分法によって解くことで考えてみよう．すでに，粘性Burgers方程式の初期境界値

問題を定式化しておいたが，ここでは，動粘性率が十分小さい場合の方程式

∂u

∂t +cu∂u

∂x = 0 を考えるのである．ここでは，3つの差分スキームを考える．

全体を通して共通なのは，tについて前進，xについて後退差分を適用することである．xについて後 退差分を適用するのは，1階波動方程式のところで安定な差分スキームを得ることが出来たのは，c > 0 の場合，後退差分を適用した場合だったからである．

3つの方法で異なるのは，非線形項cu∂u/∂xの部分のuの部分をどうするかである．

：uをそのままu^k_j とした場合．

これは，

u(x, t+ ∆t)−u(t, x)

∆t +cu(x, t)u(x, t)−u(x−∆x, t)

∆x = 0

となり，差分方程式の形にすると，

u^k+1_j −u^k_j

∆t +cu^k_ju^k_j −u^k_j−1

∆x = 0 となる．これを整理すると，

：u^k+1_j =u^k_j [

1−c· ∆t

∆x(u^k_j −u^k_j−1) ]

となる．

：u^k_j の部分をu^k+1_j とした場合．

この場合は，

u^k+1_j −u^k_j

∆t +cu^k+1_j u^k_j −u^k_j−1

∆x = 0 なる差分方程式を得る．これを整理すると，

：u^k+1_j = u^k_j

1 +c·_∆x^∆t(u^k_j −u^k_j−1)

となる．

：u^k_j を(u^k_j +u^k_j−1)/2とした場合．

この場合は，

u^k+1_j −u^k_j

∆t +c· u^k_j +u^k_j−1

2 ·u^k_j −u^k_j−1

∆x = 0 なる差分方程式を得る．これを整理すると，

：u^k+1_j =u^k_j − c 2·

(∆t

∆x )

·(u^k_j +u^k_j−1)·(u^k_j −u^k_j−1) となる．

以下，ひとまず，この3つのスキームについて，数値結果を紹介してみる¹⁶．

そもそも非粘性Burgers方程式を解析的に考察してみると，微分可能な初期関数に対して，有限時間 で波が崩れ，微分不可能になってしまうことが証明できる．その詳細は付録にまわす．その波の崩れる 瞬間とその後の様子を差分法で捉えるのは，無理な相談である．

初期関数としてsin波を考えると， 〜 のどれも，最も振幅の高い部分が右側にずれていく．

本来ならばこの先，波の形は次のようなものになることが経験的に予想される．（図はあくまでもイメー ジ図で少し誇張して書いてある．）そしてやがてはがしゃがしゃと（ばしゃっと？）崩れてしまうのであ る．（砂浜に打ち寄せる波を想像して欲しい．）

関数が多価になってしまう．

しかし，多価となってしまう現象を差分法で捉えるのは無理である．実際には， ・ の場合，三角 形状の解が出現する．

16実は，[金子]の記述とは若干相違がある．

初期関数sinx

三角形状の解がだんだんと小さくなっていく．

しかし，この場合も，そのままでは済まず，三角形状の解がだんだん小さくなるにつれて，わずかだが，

解の台が右にずれるのである¹⁷． 初期関数sinx

三角形状の解がだんだんと小さくなっていく．

解の台がやや右へずれる．

一方， の差分スキームでは，本来崩れるはずの時間以降も波が右方向へ広がってしまう．

もちろんこれは真の解の姿ではないが，，多価になった解の中でも波高の一番大きな解（最大の分枝）

の良い近似であると見ることも出来る．

17[金子]では， では，この種の右ずれが観測されるが， では起こらないと書いてある．しかし，筆者の実験結果だと，

も も観測され，しかもむしろ の方が右にずれ出す時間が早かった．